TROISIEME CAS

V équation f (x, y) = 0 a ses coefficients imaginaires.

506. Si l'on suppose d'abord que le point origine ait son abscisse réelle, on démontrera, comme dans le cas précédent, que les points critiques à considérer seront seulement ceux auxquels on parviendrait directement en partant des points situés sur la branche de la conjuguée G = GO oii se trouve l'origine, qui auraient pour abscisses les parties réelles des abscisses de ces points critiques, et faisant varier fi de zéro aux parties imaginaires de ces mêmes points critiques.

Celui des points critiques, remplissant cette condition, dont l'abscisse retranchée de l'abscisse de l'origine donnera la différence de moindre module, sera la limite de la région de convergence. On le démontrerait comme précédemment.

Supposons maintenant que le point origine ait son abscisse imaginaire et soient

a?o=«o + PoV— 1> 2/o = «o + ^'oV/— 1-

Si l'on remplace, dans l'équation proposée f (a?, y) = Çs, x par

jx: -f- Po V— -1, le lieu, considéré dans son ensemble, ne changera pas; les points critiques seront les mêmes, leurs ordonnées seront les mêmes

et leurs abscisses auront seulement diminué de Po y — 1 ; les conjuguées auront bien, changé, mais elles seront formées des points de l'ancien lieu, et il sera facile de les construire. D'un autre côté, le point origine sera devenu

^0 = «o> .Vo = «0 + ^'o V^;

mais la région de convergence sera restée la même par ces deux raisons que, aux points correspondants, les dérivées de tous les ordres de y par rapport à x seront restées les mêmes, et que les valeurs de X — a?o, pour les points correspondants, seront aussi restées les mêmes, X et x^ ayant varié de la même quantité.

La question sera donc restée au- fond la même; mais, l'abscisse du point origine étant devenue réelle, on pourra appUquer la méthode qui convient à ce cas.

SÉRIE DE TAYLOR. SOLLIfON GÉNÉRALE. 77

507. Si l'on voulait éviter la substitution de a? -f" ^o V — i k x dans l'équation, substitution qui en effet pourra quelquefois compliquer beaucoup cette équation, on le pourrait en considérant que la conjuguée C = 00 du nouveau lieu ne sera autre chose que la courbe

de l'ancien, et que cette courbe jouera par conséquent, dans la question, le même rôle que la conjuguée G = oo , dans le cas où l'abscisse du point origine était réelle.

On construira donc la branche de la courbe

qui partirait du point origine, et pour savoir si l'un des points critiques du lieu,

Xn = a,, + an V— U yn = a'n -\- b'n sj — 1 ,

serait à considérer, on en fera partir un point [x, y] dont on fera varier l'abscisse de

an + bn V — 1 à o„ + (i^o V— ^ •

Si l'un des points dans lesquels se décomposera ce point [a?, y] vient tomber sur la branche en question de la courbe x =a -\- ^^V — 1» il faudra conserver le point critique correspondant.

On prendra toujours ensuite pour limite de la région de convergence celui des points critiques conservés, dont l'abscisse retranchée dea?o donnera la différence de moindre module.

308. On peut évidemment résumer dans un même énoncé général les règles relatives aux trois cas, que nous n'avons du reste distingués que parce qu'il y correspondra des difficultés pratiques bien différentes.

Soient f [x, y} = 0 l'équation quidéfmit la fonction y, que Ton veut développer, et

^o = ao + ^o\/— 1, «/o = «0 + l^'o V— 1

le système de valeurs de x et de y h partir duquel on veut développer y ; on déterminera le point d'arrêt par la règle suivante :

On construira les courbes formées des points [x, y] correspondant aux solutions de l'équation f [x, y] = 0 ohx serait de la forme

x = ^-\-{\ sf-i,

la partie réelle de x variant ainsi seule. Ces courbes partageront le plan en bandes, et les points critiques qui

78 CHAPITRE XXJV.

seront à considérer seront seulement ceux qui se trouveront contenus dans les deux bandes comprises entre la courbe sur laquelle se trouvera le point origine [x^,, y^ et les deux courbes voisines, dans un sens et dans l'autre.

Soient

Xn=an-\- hn \l 1 Ct 3/« = «'n + b'n \l — 1

les coordonnées d'un des points critiques remplissant cette condition,

et p son degré de multiplicité : on fera varier x de a« + bn \l — 1

à a« 4" 1^0 V — 1> et l'on suivra dans leur marche les p points qui partiront du point critique .

Si aucun de ces p points ne vient tomber sur la branche de la courbe caractérisée par l'équation

à laquelle appartient le point origine, le point critique en question ne sera pas à considérer.

On prendra, parmi les points critiques qui resteront, celui dont

l'abscisse, retranchée de a^-j- [i„ y — 1, donnera la différence de moindre module; la série sera convergente pour toute valeur de x telle que le module d^e, x — x^ se trouve moindre que le module trouvé, et divergente pour toute autre valeur.

509. Cette règle est assez compliquée, et sa mise en pratique exigera des opérations délicates qui deviendront même très-pénibles, pour peu que l'équation /' {x, y) = 0 se complique ; mais il ne peut subsister aucun espoir de réduire ces opérations, par la raison que la règle comprend toutes les conditions du problème et ne comprend qu'elles; il ne saurait donc être question que de faciliter cette mise en pratique par l'application d'une méthode convenable.

Je crois que celle que j'ai donnée dans les chapitres XX et XXI, pour suivre la marche d'un point [x, y] assujetti à la continuité, sera adoptée de préférence; mais avant d'indiquer les simplifications qu'elle comportera, en raison des conditions particulières que présente la question actuelle, je ferai remarquer que l'on pourrait toujours, si l'on y tenait, se servir de celle qu'a indiquée M. Puiseux en 1851, dans un autre bat.

En effet tout se réduit, en définitive, à savoir si un point [x, y] parti de

•z^o = «0 + h \/— 1. yo = «0 + ^'o V— 1

arrivera à un point critique désigné

x'' =an-\- b„\/—i, yn = a'n -\- b'n \/— 1 ,