SÉRIE DE TAYJ.OR. SOLUTION GÉNÉRALE

lorsque x aura varié d'abord de tto-[- ^o V^ — ^ à On -f- Po v' — * et ensuite de «„+ Po V^^ à an + on y/^-

Or on trancherait effectivement la question d'une façon sûre en divisant le chemin en parties telles que le module de la différence des valeurs de x correspondant à deux points de division consécutifs restât toujours inférieur au module de l'excès de la valeur de ar correspondant au premier de ces deux points sur l'abscisse du point critique le plus voisin, et se servant de la série pour calculer de proche en proche la valeur finale de y.

L'application de cette méthode serait au reste singulièrement facilitée par cette circonstance, que l'accroissement donné à x pour passer d'un point de division du chemin dont il s'agit au suivant serait toujours composé d'une seule partie, réelle ou imaginaire, ce qui éviterait la formation des puissances successives d'un même binôme, formation à laquelle il eût fallu se résoudre dans le cas général pour lequel M. Puiseux avait imaginé sa méthode.

Ainsi, en s'en tenant même à cette méthode, quelque imparfaite qu'elle soit, on n'en devrait pas moins regarder la question comme résolue, au moins théoriquement.

Mais il est bien facile de montrer d'autre façon que les recherches pratiques qu'exigera l'emploi de la règle énoncée ne comporteront jamais que des difficultés que l'on sait d'avance résoudre.

Nous insisterons d'abord sur le procédé à employer pour rejeter à l'avance tous ceux des points critiques qui ne se trouveraient pas compris entre les deux branches de la courbe

qui comprennent elles-mêmes celle où se trouve le point origine.

Les points critiques appartenant tous à l'enveloppe totale des conjuguées, il suffira, pour trancher la question, de savoir d'une part en quels points celte enveloppe est coupée par les m branches de la courbe

^ = « + Po v^HT,

et de distinguer ensuite parmi ces points de rencontre celui qui appartiendra à celle des branches de cette courbe qui passerait par le point origine ; car les points critiques qui n'appartiendraient pas aux deux segments de l'enveloppe limités à ce dernier point devraient être écartés. Or, pour déterminer tous les points de rencontre en question, on n'aura qu'à résoudre les équations

(h-\-d^\l—i df

réel,

D'un autre côté, la construction d'une branche définie de la courbe

de celle, par exemple, qui passerait par le point origine, se fera pour ainsi dire à main levée, lorsqu'on aura tracé à l'avance, comme on doit le supposer, et comme il est toujours si facile de le faire, le tableau général des conjuguées du lieu ; en effet, la valeur variable de (â est la moitié de la projection sur l'axe des x de la corde réelle menée du point [x, y\ dans la conjuguée à laquelle appartient ce point ; de sorte que la courbe

n'est autre chose que le Ueu des extrémités des cordes réelles des diverses conjuguées dont les projections sur l'axe des x sont égales à S^^. Ainsi il sera toujours relativement facile d'écarter à l'avance le plus grand nombre des points critiques.

Pour déterminer ensuite le point d'arrêt, parmi les points critiques qui resteront à considérer, on n'aura plus à faire varier que la partie imaginaire de x, et par conséquent la question se présentera dans des conditions bien plus simples que celles oti je l'ai traitée dans les chapitres XX et XXI, sur des exemples assez compliqués déjà pour montrer que la méthode était praticable.

CONSTRUCTION DU PÉRIMÈTRE DE LA. RÉGION DE CONVERGENCE DE LA SÉRIE DE TAYLOR ET DES PORTIONS DES DIFFÉRENTES CONJUGUÉES COMPRISES DANS CETTE RÉGION, OU CONSTRUCTION DU TABLEAU GÉNÉRAL DES VALEURS D'unE FONCTION QUE PEUT FOURNIR LE DÉVELOPPEMENT DE CETTE FONCTION SUIVANT LA SÉRIE DE TAYLOR.