La fonction

essentiellement unique, déterminée et finie, tant que la série qui la constitue reste convergente, n'est, si l'on peut s'exprimer ainsi, qu'une portion de la fonction y, généralement multiple, définie par l'équation

qui a servi à calculer la valeur initiale y^ et les coeflicients différentiels des divers ordres

le lieu représenté par l'équation

\dx), 1 ' V^^^'Vo ^-2

n'esta de même, qu'un segment du lieu total représenté par l'équatiori

La détermination précise de ce segment constitue évidemment une partie essentielle de la théorie de la série de Taylor.

Cette question ne présente pas de grandes difficultés : je ferai toutefois remarquer qu'elle n'était abordable qu'autant, d'abord, qu'on disposât d'un moyen convenable de classification des solutions imaginaires d'une II® p. 6

équation à deux variables, ensuite qu'on eût une métliode directe pour déterminer la valeur finale que prendrait la fonction y, assujettie à la continuité, lorsque la variable x serait parvenue de sa valeur initiale à la valeur finale qu'on voulait lui faire prendre, en suivant une loi de progression donnée; car, quant à se servir de la série elle-même pour calculer de proche en proche les valeurs de y, comme l'avait proposé M. Puiseux, ce serait peu réalisable.

Nous avons désigné sous le nom de région de convergence la portion du plan recouverte par l'ensemble des points fournis par l'équation

il s'agit de déterminer le périmètre de cette région et la portion de chaque conjuguée qui s'y trouve comprise.

Ce périmètre passe par le point critique du lieu considéré où s'arrête la convergence de la série, et tous ses autres points ont pour abscisses les quantités qui, retranchées de la valeur initiale x^ de x, fournissent des différences de même module que la différence entre x^ et l'abscisse du point d'arrêt.

Ainsi, si *

x^=a-\- h \l — 1 , 1/^ = a' -\- h' sj — 1 est celui des points critiques où s'arrête la convergence, et que

soient les valeurs initiales de x et de y, le périmètre de la région de convergence sera caractérisé par l'équation

ou

(««- a«) -f ir - é^) -2 (a-a) «„- 2 {li~b)%=0,

« et ^ désignant les parties réelle et imaginaire variables de x.

La question est donc de suivre de proche en proche la marche de y lorsque x= ol-{- ^y — 1 varie à partir de a^j = a -j- ô \J — l, en suivant le chemin

(«"- a^)+ (fi^- è«)-2 («- a)a„ 2(p- *)Iâ, = 0.

Les points du périmètre qui auront même caractéristique appartiendront à une môme conjuguée et formeront les extrémités de l'arc de cette conjuguée compris dans l'intérieur de la région de convergence; de sorte que, si l'on a tracé d'avance ces conjuguées et qu'on relève pour chacune d'elles la portion comprise dans l'intérieur de la région

de convergence, on aura le tableau de toutes les valeurs de la fonction y que pourra fournir la série.

511. Si l'équation f{x,y) = 0 est du degré m, elle fournira entre a, fi, a' et ^' deux équations de degré m. En y joignant les trois équations

«•^ «s } p* ô« 2 (a - a) «0 - 2 (^ - b) {\ = 0, a? = a -j- fi,

et éliminant a, [i, a' et f>', on aurait l'équation du périmètre de la région de convergence, qui serait du degré 2m-.

Mais la courbe ainsi obtenue comprendrait une foule de branches parasites, puisqu'elle contiendrait les m points du lieu f {x, y) =0 qui correspondraient à une même valeur de x satisfaisante la condition

tandis que la courbe cherchée n'en devrait comprendre qu'un.

D'ailleurs la méthode qu'on aurait suivie ne pourrait fournir aucune indication propre à permettre d'éliminer Jes branches parasites du lieu.

On ne recourra donc pas habituellement à celte méthode, qui ne donnerait qu'un résultat brut dont on ne saurait que faire.

Le principal moyen qu'on emploiera pour traiter la question se tirera de cette remarque, que la courbe cherchée ne saurait entamer ni l'une ni l'autre des deux branches de la courbe caractérisée par l'équation générale

qui comprendraient immédiatement celle où se trouve le point origine. Cette remarque fournira le moyen d'éliminer les solutions étrangères que le calcul aura fournies.

512. Nous commencerons par la construction de la tangente à la courbe en un quelconque de ses points, parce aue cette question est la plus simple.

Soient

a-=a + Ps/— 1, y ==a'+fl'v/— 1 les coordonnées d'un point du périmètre cherché, et m -\- rt \ — 1

la valeur du coefficient différentiel —- =^- — -^ en ce point; les coor-

ax I r

données du point infiniment voisin du périmètre seront

et

= y + {mdoi — nd^) + {nd<t + md^))J— I ;

de sorte que le coefficient angulaire de la tangente cherchée sera

mda — nd^ -\- ndv. -(- md^ ~ da + d[6

ou

D'ailleurs -~ s'obtiendra en différentiant l'équation

(«^ - cr) -{- {{6' - h^) ^2 (a - a) «, - 2 ([i - b) ri„ = 0, qui donnera

{«-«o)^«-f(fi- W4i = o,

d'où

Par suite, le coefficient angulaire cherché sera

(m 4- n) {[i — fio) — (m — n) (g — «,)

s 1 5. On déterminera tout aussi aisément le rayon de courbure de la

même courbe en un quelconque de ses points.

Soit p + q s — 1 la valeur de —-^ au point considéré, le coefficient

différentiel -^, au point [x 4- dx, y + dy} du périmètre, sera ax

+ nV-l +(;9 + ^v/— i)rf^

,« + n V- 1 + (/> + q V - Ij (^^ - 1^ V'- 1 j f/«, 'est-à-dire

,;, 4 prf„ ^ ,^ ^^« rfa + [« + qd<. - p ^^V«) \/^ ;

le coefficient angulaire de la tangente au périmètre en ce point [x -f- dx, y -}- d;/] sera donc

[m + n + (/> + ?) rfa - (p ^) '^^«] ([i + d^ - f^o)

m — n^{p — q)d^ + {p-\- ^)^^Va J(a + «fa — «,)

l'angle de contingence sera, en conséquence,

'/a (,B-^o+a-ao) { jp+g) \{^-^^Y - {<^-a^f] - 2 ( j;-y)(^-pp1(a-a„) { - 2m [(p-p,)^+ (a-gg)^] <^-% (^p^+a-ao)« + [(OT+M)(p-Po.)-(»«-«)(a-ao):i-

quant à l'élément du périmètre, c'est

ou

V' + L ^-^o + «-«o J l'~^=ïJ'"'

le rayon de courbure sera donc

[(^-^o)-(«-«o)] ! (p-Po+a-ao)«+[(m+n)(fi-Po)-(m-?^)(a-ao)]' 1 1 ' (?-Po+a-ao) { {p+?)[(fi-fio)'-(«-ao)^l-2(;>-'7)(p-Po)(a-ao) j-2wî[(P-?o)^ + (a-«o?

514. Voyons maintenant comment on obtiendra des points de la courbe en nombre suffisant pour la construire.

La question se réduit à trouver les points où elle coupe chaque conjuguée. Or soit C la caractéristique d'une conjuguée, de sorte que

le long de cette conjuguée ^ = C; les points cherchés seront fournis

r par les deux équations comprises dans

/•(a + fl v/=l, a + fiC v/^) =0.

et par la condition

(« - a„)^ + (fi-p„r = (^- «o)^ + [b-%f;

ces trois équations donneront a, ^ et a', dont on formera les coordonnées des points cherchés ; mais elles fourniront beaucoup de solu' lions étrangères, dont on se débarrassera comme il a été dit plus haut.

JPour ne pas multiplier inutilement les essais, on fera bien de commencer par déterminer les conjuguées tangentes au périmètre de la région de convergence; pour cela, on n'aura qu'à éliminer a et a' entre

les cqualions

(« - a,y + ([â - p^ = {a- oij- + {b- {\)\

et à exprimer que l'équation résultante en ^ a deux racines égales. A la vérité, l'équation propre à déterminer les valeurs extrêmes de G fournira aussi beaucoup de solutions étrangères ; mais on s'en débarrassera par les moyens qu'on a déjà indiqués.

31S. Le point important de la question est de fixer la figure du périmètre de la région de convergence aux environs du point d'arrêt.

Nous rappellerons d'abord que les points critiques appartiennent toujours à l'enveloppe totale des conjuguées. Ce sont les points de contact des tangentes à cette enveloppe parallèles à l'axe des y, le mot tangente étant pris ici dans son acception la plus générale, c'est-à-dire que ce sont les points situés à l'infini sur les branches de l'enveloppe qui ont leurs asymptotes parallèles à l'axe des ?y, les limites de ses diverses branches dans le sens des x, ses points de rebroussement, etc., les points multiples où les dérivées de y par rapport à a? se séparent, sans devenir infinies, étant seuls exceptés.

L'examen complet de la question comporterait naturellement une infinité de cas, puisqu'il faudrait distinguer ceux oii les degrés de multiplicité des points d'arrêt seraient différents, et, pour chaque valeur du degré de multiplicité, passer en revue toutes les hypothèses possibles.

Nous nous bornerons à l'examen des trois cas les plus simples et les plus usuels : celui où le point d'arrêt serait l'extrémité d'une branche de l'enveloppe asymptote à une parallèle à l'axe des y; celui où ce serait le point de contact avec l'enveloppe d'une tangente simple parallèle à l'axe des y ; enfin celui où ce serait un point de rebroussement de

1 enveloppe ou -j^^ serait inhni.

Dans le preinier cas, le périmètre de la région de convergence devant contenir le point d'arrêt sera naturellement asymptote à la même parallèle à l'axe des y que la branche de l'enveloppe qui irait passer par ce point.

Dans le second cas, le périmètre de la région de convergence sera tangent à l'enveloppe au point d'arrêt, puisque l'enveloppe est tangente à toutes les courbes continues qui ont un point commun avec elle ; mais, au reste, on le vérifierait aisément sur la formule trouvée plus haut du coefficient angulaire de la tangente au périmètre,

Cm + n) (^ — Po) — (m. — n) (a — a,,) ^

en effet, ^ étant infini au point d'arrêt, m ou n seront infinis, et par

conséquent le coefficient angulaire de la tangente au périmètre sera aussi infini.

Enfin, dans le troisième cas, la formule trouvée, plus haut pour représenter le rayon de courbure du périmèlre, donnera évidemment une valeur nulle pour ce rayon de courbure au point d'arrêt, puisque l'une au moins des quantités /) et «^ sera infinie ; par conséquent, lorsque le point d'arrêt sera un point de rebroussement de l'enveloppe du lieu, ce sera aussi un point de rebroussement du périmètre de la région de convergence.

516. Nous placerons ici une autre remarque qui aidera puissamment à la construction du périmètre de la région de convergence, à partir du point d'arrêt; c'est qu'une courbe quelconque, caractérisée par une «kjuation

(lui passerait au point d'arrêt, où elle serait naturellement tangente à l'enveloppe, ne saurait, en aucun cas, pénétrer dans la région de convergence que par l'un seulement des deux arcs qui partiraient en sens contraire de ce point d'arrêt. En effet, l'équation ^ (a, ^) = 0 étant supposée admettre la solution a = a, ^ = 6, si l'on fait varier a et fl à partir de a et de h, en désignant par dv. et d^ les accroissements de a et t!e |â, on aura

rfa f'a{a,b)

'd^~~ib{a,by

^a pouvant être positif ou négatif, mais rfa et d^ devant changer en même temps de signes.

D'un autre côté, l'inégalité

(« - «o)^ -f- (fi - hf < (« - «o)' 4- {b - [5„)S qui, pour rester satisfaite à partir de a= a, |i = ô, exigerait que

restât négatif, sera bien remplie par l'un des systèmes de valeurs de rf« et de d^, données par l'équation

d^ cp'« {a, b)

da. çp'i {a,b)'

mais ne le sera pas par l'autre ; par conséquent, la courbe caractérisée par l'équation <p (a, p) = 0 ne pénétrera dans la région de convergence que par l'un de ses deux arcs partant en sens contraire du point d'arrêt.

Cette remarque, appliquée à l'enveloppe et à la conjuguée qui la touche au point d'arrêt, conduit à des résultats importants.

Il en résulte que la série qui, selon les cas, peut représenter les ordonnées d'arcs plus ou moins étendus, à partir du point d'arrêt, de l'enveloppe ou de la conjuguée qui passe en ce point, ne saurait en aucun cas fournir l'ordonnée d'un seul point du prolongement de l'un de ces arcs au delà du point d'arrêt ; le point d'arrêt est toujours l'une des extrémités de l'arc de l'enveloppe ou de la conjuguée qui y passe, dont la série puisse fournir les ordonnées, en d'autres termes la série ne peut servir à passer de l'une à l'autre des deux branches de Penveloppe que sépare le point d'arrêt, ou de la conjuguée qui y passe. On peut le vérifier directement de la manière suivante :

Soient x^, y^ ; les coordonnées du point d'arrêt —■ y étant infini,

dx *

- y sera nul ; l'abscisse x du lieu, développée à partir de a? = x^ , sera

donc représentée par

c'est-à-dire qu'à des valeurs de y équidistantes de y^^ il correspondra des valeurs égales de x.

Or si (/) -f- // V — i) représente la valeur de — en un point

de l'enveloppe, la condition pour que le point mobile \x, y] reste sur cette enveloppe est que la différentielle de ~, o\\\p -{- q \l — l) dy, soit réelle, c'est-à-dire que

pd^' -f qdtt! = 0.

On obtiendra donc deux points de l'enveloppe, voisins du point [x^, y^], dans l'un et dans l'autre sens, en donnant à y les deux valeurs

équidistantes de y^.

Or ces deux ordonnées, équidistantes de 3/1, correspondraient à une même abscisse. Si donc la série pouvait fournir les ordonnées des points d'un arc de l'enveloppe s'ôtendant de part et d'autre du point critique, elle pourrait, pour une même valeur de x, fournir deux valeurs différentes de y, ce qui est impossible.

Le théorème est donc établi en ce qui concerne l'enveloppe. Soit maintenant G la caractéristique du point critique [Xy, y^]; l'abscisse du lieu étant représentée par

les différentielles da ~{- d^^ y — 1 et da' -\- dp' \ — 1 de a: et de y à partii du point [x^, y,] seront liées par la relation

rf«+.Nrï = (,+,v^)(i£±i|vEI):

d'où

2rfp = ^pdoi'dp' + g {doi'' — dP) ;

pour que le point mobile reste sur la conjuguée G, il faudra donc que

2pd<xdp' + g {da^ — dp) ou que

^ = 2pd^'^.g[d^'—-df>'].

da' Cette condition exige que — soit infini : a devra donc varier seul ; par

conséquent, en prenant pour y les deux valeurs

y = y^± dx,

on obtiendra deux points de la conjuguée passant au point critique, infiniment voisins de ce point et placés de part et d'autre par rapport à lui.

Mais ces deux points ayant leurs ordonnées équidistantes de y^, correspondraient à une même abscisse. Si donc la série pouvait fournir les ordonnées des points d'un arc de la conjuguée critique s'étendant de part et d'autre du point critique, elle pourrait, pour une même valeur de X, fournir deux valeurs différentes de y, ce qui est impossible.

On peut encore ajouter que, si l'on place le point origine sur l'enveloppe à une distance suffisamment petite de l'un des points critiques, la série ne pourra pas fournir l'ordonnée d'un seul point de la conjuguée passant en ce point critique.

En effet, la région de convergence s'étendant du point [x^, j/q] au point critique [a?,, y,] et pouvant fournir tous les points de l'arc de l'enveloppe limité à ces deux points [x^,, y„] et [x^, y,], si l'on conçoit une conjuguée tangente à l'enveloppe en un point [x, y\ compris entre [x,,, y^] et [x,, y,], comme la série ne sera pas encore divergente en [x', y],

elle pourra servir à passer sur cette conjuguée et à la parcourir dans un sens et dans l'autre jusqu'aux points [x, y] pour lesquels le module de la différence x^ — x serait égal à celui de x^ — a^^.

Mais des deux arcs de la conjuguée allant du point [x', y'] aux deux points [x, y] qui viennent d'être définis, l'un prolonge directement le chemin déjà parcouru sur l'enveloppe et se rapproche du point critique; et cet arc, le long duquel le module de la différence x^ — x ne peut qu'augmenter, sera d'autant moindre que le point [x', y] sera plus voisin du point [x^, yj, de sorte que les deux arcs [x. y'... x^, yj, \x\ y'... x, y] s'évanouiront en même temps. L'arc de la conjuguée mobile que pourra représenter la série à partir du point où cette conjuguée touchera son enveloppe et dans le sens que nous considérons sera donc d'autant moindre que la conjuguée mobile se rapprochera davantage de la conjuguée critique et se réduira à zéro sur cette conjuguée elle-même.

Cela posé, il est facile de voir que le second arc de la conjuguée mobile que la série pourrait fournir, dans le sens contraire, s'évanouira en même temps que le premier. En effet, ici le point infiniment voisin du point critique sur le premier arc de la conjuguée mobile, au moment où elle vient se confondre avec la conjuguée qui passe au point critique, n'échappe à la 'représentation par la série que parce que le module de la différence x — x,, entre son abscisse et celle du point origine, surpasse celui de la différence x^ — Xq. Mais cette abscisse est aussi celle d'un point de l'autre arc ; la série ne peut donc pas plus fournir l'un que l'autre de ces points.

De même, si l'on place le point origine sur la conjuguée passant en un point critique, à une distance suffisamment petite de ce point critique, la série ne pourra pas fournir l'ordonnée d'un seul point de l'arc de l'enveloppe passant par ce point.

En effet, si le point origine [x^, yj était sur l'une des conjuguées voisines de la conjuguée issue du point critique et tangente à l'enveloppe en un point [x\ y'], la série pourrait représenter l'arc compris sur cette conjuguée entre le point [Xf^.y^] et le point [x\ y'], plus un arc de l'enveloppe s'étendant dans les deux sens à partir du point [x', y'], et limité, dans un sens, au point critique [x^, y^\ et, dans l'autre, en un point [x, y] tel que le module de la différence x^ — x fût égal à celui de la différence x^ — x^. Mais il est facile de voir que ce point {x, y] serait d'autant plus voisin de [x\ y'] que celui-ci le serait lui-même davantage de [x^, y^, et que les deux distances s'évanouiraient en même temps.

En effet l'arc [.Tj, y^... x, y] devrait changer de sens, sur l'enveloppe, si le point [x^^ yj, après s'être rapproché de la conjuguée issue du point critique, passait sur une conjuguée placée de l'autre côté par rapport à celle où il se tiouvait d'abord; or, avant de changer de sens, cet arc devrait s'évanouir.

Lors donc que le point origine sera sur la conjuguée issue du point d'arrêt, la série ne pourra représenter l'ordonnée d'aucun point de l'enveloppe.

II est clair du reste que cette dernière proposition ne fournira d'indications sûres qu'autant que le module de j?i — x croîtra constamment de zéro à la valeur du module de x^ — x^,, lorsque x passera par les valeurs des abscisses des points de la conjuguée issue du point [x^, y,l compris entre [x^, yj et [Xj, yj.

517. Les théorèmes qui précèdent permettent de se rendre compte de la l'orme que doit adecter dans chaque cas la limite de la région de convergence et de la manière dont cette limite change.

En premier lieu, lorsque le point origine M^ est situé sur l'enveloppe BAC, la région de convergence coupe chaque conjuguée, qu'elle entame en deux points placés de part et d'autre du point où elle touche l'enveloppe, pourvu que ce point soit assez voisin de M^. Ces deux points de rencontre tendent à se confondre sur la conjuguée inflniment voisine de la conjuguée DAE qui passe au point critique.

-ôr Tr J

Fig. 14.

Sur la conjuguée qui touche l'enveloppe au point A' tel que les modules des différences des abscisses des points Mq et A d'une part, M, et A' de l'autre, soient égaux, l'un des arcs s'évanouit, mais l'autre subsiste encore un certain temps.

Si la conjuguée s'éloigne encore un peu, l'arc restant a ses deux extrémités d'un môme côté du point de contact et fiflit par s'évanouir lorsque la conjuguée devient tangente au périmètre de la région de convergence.

Cette courbe dessinée en points ronds sur la figure, est tangente à l'enveloppe en A et en A' : en A elle présente un point de rebroussement, la conjuguée qui y est tangente touche l'enveloppe en A"; les points où elle coupe toutes les conjuguées sont marqués d'une manière distincte.

La région de convergence est formée de deux espaces clos, séparé-

ment limités, d'une part, à l'arc AA' de Tenveloppe, et, de l'autre, aux deux arcs ARA' et ASA' de son périmètre.

Si le point origine passait de l'enveloppe sur une conjuguée quelconque, telle que celle qui touche l'enveloppe en M^ dans la figure précédente, le périmètre de la région de convergence changerait peu du côté de A'; mais cette courbe couperait alors la conjuguée passant en A près de ce point, de sorte qu'un petit arc de cette conjuguée pourrait être fourni par la série. Cet arc, au reste, resterait limité en A et s'étendrait vers D. La série pourrait encore fournir des arcs de plus en plus petits des conjuguées tangentes à l'enveloppe, de A en G, jusqu'à une certaine distance; ces arcs auraient leurs deux extrémités d'un même côté du point de contact avec l'enveloppe. D'ailleurs le rebroussement du périmètre, en A, disparaîtrait.

Si la conjuguée contenant le point origine se rapprochait de la conjuguée issue du point critique, le point de contact de cette conjuguée avec l'enveloppe se rapprochant du point A, l'arc AA' de cette enveloppe, que pourrait fournir la série, diminuerait, et l'arc de la conjuguée passant au point critique, compris dans la région de convergence augmenterait en même temps, tout en restant toujours limité en A. Le point de contact avec la branche AC de l'enveloppe, de la dernière conjuguée rencontrée par la limite de la région de convergence reculerait en même temps vers G.

Enfin, si le point origine M,, venait se placer sur la conjuguée passant

Fi g. 15.

au point critique, comme le point mobile [x.y] ne pourrait pas passer sur l'enveloppe, les deux points de rencontre de la limite de la région de convergence avec une conjuguée quelconque appartiendraient toujours à une môme des deux branches séparées sur cette conjuguée par le point où elle toucherait l'enveloppe. Cette branche serait celle qui occuperait par rapport au point de contact la même position que le

point Mo par rapport au point A, ou celle qui serait en continuité avec MqA.

518. Ces observations générales seront utilement complétées par cette remarque, importante dans la question dont il s'agit, que, si les conjuguées qui avoisinent celle où se trouve le point origine étaient construites avec assez de soin, on pourrait, jusqu'à un certain point, déterminer par tâtonnement les points où chacune d'elles serait coupée par le périmètre de la région de convergence; car lia position d'un point d'une conjuguée dont la caractéristique est donnée déterminant les deux parties de l'abscisse de ce point, il n'y aurait, pour savoir si un point d'une conjuguée est ou non compris dans la région de convergence, qu'à déterminer le signe de la différence

(a - «o)* + (1^ - Po)' - («1 - «o)' - (*i - ^y--

310. Lorsque le point origine x^ = «^ -f- [i^, v — 1 ^ «/o =«'o + ^^' o V — * se déplace sur le lieu f{y, x) = 0, la région de convergence se déforme insensiblement en conservant pendant un certain temps pour limite le même point critique

[tt« -h bn V~l, a'n + b'n V^J ;

mais, si le déplacement du point origine est assez considérable, la limite de la région de convergence doit finir par tomber en un autre point critique

[ttp 4- hp V— 1, a' y + b'p V— l].

Au moment où le point d'arrêt va changer, il y a un instant où le périmètre de la région de convergence passe à la fois par le point [cLn + On V — 1, a'n + b' „ \J — 1 J, dout il va se séparer définitivement, et par le point [op -\- bp \J— 4, a'p -f b'p^— i], sur lequel il va rouler pendant un certain temps.

On peut appeler courbe d' équilibre , relativement aux deux points critiques

\an-^bn\J~, a'n + 6'«V^] et

[op -f bp V— I , a'p -\- b'p >J— l],

le lieu des points du lieu f{x,i/)= 0, tels que, s'ils étaient pris pour points origines, la région de convergence correspondante serait limitée à la fois à ces deux points critiques; l'équation caractéristique de cette courbe d'équilibre est

(«.- anf -f (^ - bnY = (« - apY 4- (fi ~ bpY

OU

2a {np — an) 4- 2p(èp — b„) = of, - al -|- hf, - bl

Cette équation est du premier degré; elle ne donnera donc qu'une valeur de fi pour chaque valeur de a ; toutefois, à chaque valeur de x = ai-{-^\/ — l,il correspond m valeurs de y, en sorte que chaque courbe d'équilibre paraîtrait devoir se composer de m branches s'étendant de — oo à -|- x ; mais de ces m branches il n'y en aura évidemment qu'une qui répondra à la question, parce que, lorsqpe le point [Xq, y^ aura dépassé dans un sens ou dans l'autre la courbe d'équilibre entre les deux points critiques considérés, la région de convergence cessera de passer par le point critique où elle était limitée d'abord, et que la question de sa limite se posera alors entre l'autre de ces deux points critiques et un troisième.

520. La considération des courbes d'équilibre peut être très-utile pour simplifier des recherches particulières; ces courbes présentent, en tout cas, un grand intérêt; mais il n'y aura lieu d'en faire une étude spéciale qu'à propos de chaque exemple.

Je me bornerai ici à faire remarquer que la courbe d'équilibre relative à deux points critiques imaginaires conjugués es£ toujours la courbe

réelle; car^ si ap -}- bp \j — 1 = a« — bn \l — 1, l'équation de la courbe d'équilibre se réduitàfi=0. Or cette équation ne saurait s'appliquer à aucune branche de la conjuguée G = c» ; car, relativement à cette branche, elle signifierait que, si la région de convergence relative au point

était limitée au point critique

Cln + bn V— < , «'« + b'n \J — 1 ,

celle qui se rapporterait au point

^0 = «0 — f^o \/— 1, yo = «0 - f^'o v^— 1

serait limitée au point

dn — bn y— 1 , «'« — b'n \l — 1 .

521. On sait que les points critiques réels d'un lieu sont les points de contact avec la courbe réelle des tangentes qu'on peut lui mener parallèlement à l'axe des y, et que les points critiques imaginaires sont les points de contact des tangentes qu'on peut mener dans la même direction à l'enveloppe imaginaire des conjuguées , c'est-à-dire au lieu

des points du lieu pour lesquels j- est réel, parce qu'une valeur infinie

de -j- doit être considérée comme réelle, la tangente d'un angle imaginaire <p + '1* V^— 1 »e pouvant devenir infinie que dans l'hypothèse o = A-TT -f - et i]^ = 0.

Quant aux autres points critiques, où les dérivées de y par rapport à X ne commencent à devenir infinies qu'à partir du second ordre, ou du troisième, etc., ils proviennent toujours de la réunion accidentelle de divers points critiques simples en un seul, et, par conséquent, n'appartiennent pas moins que les premiers à l'enveloppe.

Or, lorsque les coefficients de l'équation du lieu varient d'une manière continue, tout en restant réels, la courbe réelle et l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées se déforment d'une manière continue. Il résulte de ces deux observations que, les coefficLents de l'équation venant à varier d'une manière continue, les points critiques se déplaceront aussi d'une manière continue sur le plan, et que, par conséquent, si l'abscisse Xf,= oi'f^-\-{\\/— 1 du point origine reste fixe, son

ordonnée ?/o = a^ -|- ^'o v — 1 restant, bien entendu, assujettie à satisfaire, concurremment avec x^, à l'équation variable du lieu, ou encore si Xq et ^0 varient ensemble d'une manière continue, en même temps que les coefficients de l'équation du lieu, la région de convergence se déformera elle-même d'une manière continue.

Mais si, partant d'une équation à coefficients réels, représentant une courbe réelle, dont les conjuguées pourront avoir une seconde enveloppe imaginaire, on donne à ces coefficients, assujettis à la condition de continuité, des accroissements imaginaires, d'abord infiniment petits, l'enveloppe totale, alors complètement imaginaire, des conjuguées du nouveau lieu, différera d'abord infiniment peu, comme position et comme forme, de l'enveloppe, en partie réelle, en partie imaginaire, de l'ancien lieu, et elle se déformera ensuite d'une manière continue.

. Cette proposition a été établie dans le tome premier.

Il en résulte que, dans le cas encore oîi les coefficients de l'équation d'une courbe passeraient d'une manière continue de l'état réel à l'état imaginaire, la région de convergence se déformerait toujours d'une manière continue.

Il y a toutefois à cette règle générale une exception d'un genre particulier qu'il importe de signaler : si les coefficients de l'équation varient de façon que le lieu acquière un point multiple où les valeurs

dy de — soient différentes, les points critiques qui viennent se confondre

en ce point multiple disparaissent alors comme points critiques, de sorte que si, en raison de la position du point origine, la région de convergence était auparavant limitée à l'un d'eux, son périmètre doit alors changer brusquement.

APPLICATIONS