Considérons d'abord l'équation xy
Le lieu comporte deux points critiques situés à l'infini sur l'axe des y, dans les deux sens, mais qui correspondent à une même abscisse ar= 0, de sorte que la courbe d'équilibre relative au système de ces deux points n'existe pas, en ce sens qu'elle est indéterminée et que la région de convergence, par suite, sera limitée à la fois aux deux points critiques, quel que soit le point qu'on choisisse pour point origine. Le même fait se présentera évidemment toutes les fois que la courbe représentée par l'équation proposée aura deux branches asymptotes en sens contraires à une même parallèle à l'axe des y, et pourra se reproduire lorsque deux points critiques situés ou non à distance finie auront même abscisse.
La relation entre x et y n'attribuant qu'une seule valeur à y pour chaque valeur de x, la question de la construction du périmètre de la région de convergence sera ici aussi simple que possible.
Soient
les coordonnées du point origine, le périmètre de la région de convergence sera caractérisé par l'équation
(« - «o)^ + ([i - ^oY = K ~ 0)^ + i{\ - oy
ou
à laquelle il faudra joindre
d'où
Si l'on veut en coordonnées réelles l'équation du périmètre de la région de convergence, il faudra éliminer a et ^ entre les équations
« + P et y = -
(fONSTRUCTION DU PÉRIMÈTRE DE LA RÉGION DE CONVERGENCE. 97
rélimination donne
+ 4c* («0 + I^o) [4 (a„ - Po) y - ^''J ^ = 0,
ou, en supprimant la solution x = 0, sur laquelle nous reviendrons plus tard,
32^^ («^ 4- ^l) + Sry (p„- «,) + à '
La courbe représentée par cette équation est asymptote à l'axe des y, comme on devait le prévoir. Si l'on égale le dénominateur de x à zéro, on trouve
^ ^ ,«o-^o±(a,+^,)v/Zi:
^ H'^l + Fo)
par conséquent, l'abscisse de la courbe reste toujours finie, comme on devait s'y attendre.
Supposons {\ nul, l'équation de la courbe deviendra
-8cXy+2c*a„
Le dénominateur de x étant toujours positif, x sera positif ou négatif,
1 c^ suivant que y sera plus petit ou plus grand que r - .
Si l'on fait x = Sa^, on trouve, pour déterminer y, l'équation 32<y* — 4^'«oy =0, d'où y = ^,
qui correspond au point de contact de l'hyperbole avec le périmètre de la région de convergence, et y = 0, qui signifie a = — (J', d'oti ct=[i, et, par suite, a = a^,.
Le point de rencontre du périmètre de la région de convergence avec
l'axe des x est donc le point du lieu xy = - dont les coordonnées sont
c^ 1 — y/ITT^ ^-û, 2 '
il appartient à la conjuguée dont la caractéristique est j.
L'équation du périmètre, résolue par rapport ù y, donne
II" p. 7
y = g' (^' — «o) ± C^ V — ^' + ^apa? + «0
les racines de l'équation
x^ — 2aoa; — a^ = 0 sont
x = a,±:a,s/2', par conséquent, x ne peut varier qu'entre
-a,(v/i-l) et +«,(v/2 + l); les valeurs correspondantes de y sont
^(,+V,) et £(.-Vi).
c OC , Supposons, pour prendre un exemple, a^ = -=:—-: le point origine
sera en A; l'ordonnée du point de rencontre 'de la courbe avec l'axe
1 c^ c des y sera - — = - ; ce point de rencontre sera en D ; la courbe pas-
4 ajj 2
sera aux points E et B, qui correspondent à ^ = 2ao = c. Les limites de x seront
-|(s/^-i) et +|(v/i + l), ou
OA'±OA, c'esl-à-dire '
— OG et + OH ;
les valeurs correspondantes de y seront
î(2+s/i) et î-(2-Vi,
ÔU
c'est-à-dire
