OA'±|OA
ce qui donnera les points J et I.
La courbe aura la forme
SJDEIBT.
Cette courbe est tout entière comprise entre l'hyperbole xy = - et
(à sa supplémentaire xy = — -.En effet, si l'on cherche les solutions
communes à son équation
32 a%xy' 8c^ao(a? -«„) y + c* (j; - 2 a^) = 0, et à l'équation
on trouve, en remplaçant partout xy par
— ^^Ic'y + ^c\ + ^c\ly -{■ àx — "^c^ =0 ou x=^.
Le périmètre de la région de convergence étant obtenu, il reste à fixer le sens dans lequel cette courbe forme Umite, ou à déterminer la région de convergence elle-même.
Pour cela, considérons une conjuguée de Thyperbole donnée,
KLMRNPQ, qui touche la courbe réelle en M et Q, et l'enveloppe imaginaire des conjuguées en K et P, le point M étant d'ailleurs entre EetS.
Le tracé de cette courbe rencontre celui du périmètre de la région
de convergence en L, R et N, et il s'agit de savoir quelles sont les limites de l'arc de cette conjuguée qui se trouve dans la région de convergence ; car il ne suffit pas que les tracés de deux courbes imaginaires se coupent en un point pour que les coordonnées de ce point forment une solution commune aux équations des deux courbes, les valeurs réalisées de ces coordonnées pouvant très-bien se séparer différemment, sur les deux courbes, en parties réelles et imaginaires.
Or l'ordonnée du point M peut certainement être fournie par la série ; par conséquent, l'arc LR au moins est tout entier dans la région de convergence.
Mais la rencontre R n'est qu'apparente ; les coordonnées analytiques du point R de la conjuguée et du point R du périmètre de la région de convergence sont effectivement différentes ; car les équations
(«'+pGv/:iI)(« + Pv/=ni)=.î\
et
où G désigne la caractéristique d'une conjuguée, n'admettent que deux solutions. En effet, la première se décompose en
aa' — [â^G = — , et aC + a = 0,
et la seconde se réduit à
a^ -f- ^2 2 a^oc =0; en éliminant «' entre les deux premières, il vient
-G(a^ + ^^)=|; et, par suite,
2ao 8 G ao
ce qui conduit pour [i à deux valeurs égales et de signes contraires
Ghaque conjuguée n'a donc sur le périmètre de la région de convergence que deux points d'ailleurs imaginaires conjugués, comme il était facile de le prévoir, le point origine étant réel.
Pour la conjuguée KLMNPQ, ces deux points sont L et N^ situés sur une même parallèle au diamètre KP de contact avec l'enveloppe imaginaire des conjuguées.
L'arc de la conjuguée en question qui se trouve dans la région de convergence est donc LMN.
La rencontre R ne se présente sur la figure que parce que la partie SJDEAS de la région de convergence est, si l'on peut s'exprimer ainsi, redoublée, ou que les points qui y sont renfermés peuvent être donnés de deux manières différentes par l'équation
(dy\ X — x^ 3' = J'» + UA -!—+■•■•
comme si une partie de la portion du plan qui forme la région de convergence avait été repliée sur elle-même et que la conjuguée dût être tracée sur la portion du plan non repliée; de sorte que sa rencontre avec la partie repliée du périmètre de la région de convergence ne serait qu'un effet de perspective.
Nous avons trouvé plus haut, pour les abscisses des points de rencontre de la conjuguée G avec le périmètre de la région de convergence,
pour qu'il y ait rencontre effective, il faut que
— i6Ga^ c^ > 0, ou que
Or le dernier point de l'hyperbole réelle dont la série puisse donner l'ordonnée (c'est ici le point E) a pour abscisse Sa^,; le coefficient angulaire de la tangente en ce point, ou la caractéristique de la conjuguée qui y passe, est
Sa» C"
les conjuguées qui ont des points dans l'intérieur de la région de convergence sont donc exclusivement celles qui touchent l'hyperbole réelle entre E et S.
Lorsque la caractéristique d'une conjuguée se rapproche fle l'infini, cette conjuguée tend à s'aplatir suivant l'axe des y, et la branche de droite de celte conjuguée se trouve tout entière dans la région de convergence.
En résumé, la région de convergence se compose de la portion SJDEAS du plan, doublée, et de la portion DEIBTD simple.
On voit maintenant pourquoi on a trouvé la solution, en apparence étrangère, .'c = 0.
