Considérons maintenant l'équation

les points critiques sont

(a? = -f- «, y = 0), et [x =. — a^ y =■ 0) ;

la courbe d'équilibre entre ces deux points est caractérisée par l'équation

qui se réduit à a = 0; cette courbe est donc la conjuguée à ordonnées réelles de l'ellipse proposée, ou l'hyperbole SBS'TB'T'. Le point d'arrêt sera par conséquent en A ou en A', selon que la branche de conjuguée où se trouvera le point origine touchera l'ellipse en un point de l'arc BAB' ou en un point de l'arc BA'B'.

L'équation du périmètre de la région de convergence, en supposant, par exemple, que le point d'arrêt fût le point A, résulterait de l'élimination de a, p, a', p' entre les équations

flî («'2 ^'2) ^ ^2 ^„2 [1^2) ^2^2 ^ 0,

a^a>' 4- by. = 0,

(«- «0^ + (I^- W^ = («0 - «r + P^; a -|- p = a? et (X -\- ^' = y ;

elle serait donc du huitième degré. Mais, comme le point origine n'est plus ici déterminé par son abscisse seulement, l'équation trouvée fournirait à la fois les périmètres des régions de convergence relatives aux deux origines

x=x^' ei y = ±:- s/a" — xl-

Il vaudra donc mieux construire la courbe cherchée sans recourir à son équation.

Supposons le point origine situé sur la conjuguée à abscisses réelles en un point Q, de sorte que ^q sera nul et que «^ sera égal à Oo).

La série pourra donner' les ordonnées de tous les points des deux arcs QA et QG, en supposant ojc = wa; mais elle ne pourra donner l'ordonnée d'aucun point de la courbe réelle ; par conséquent le point [x, y] restera toujours sur la branche supérieure de la demi-conjuguée à laquelle il appartiendra et [â' restera toujours positif. Quant à ^, qui est nul au point origine, il sera positif si le point [x, y\ appartient à une conjuguée tangente à l'ellipse en un point de la demi-ellipse inférieure, et négatif dans le cas contraire.

Déterminons d'abord les conjuguées que viendra seulement toucher le périmètre de la région de convergence et au delà desquelles, par conséquent, il ne faudra plus chercher de points de la courbe.

Les points de rencontre du périmètre avec la conjuguée G du lieu sont fournis par les équations

a} a'^ -f h^a^ — {a^Q} -f b^) ^^ = a'b\ a^Ga! -I- è^a = 0,

en éliminant a entre les deux premières, on trouve

en éliminant p^ entre celle-ci et la troisième il vient, réductions faites,

4- 2a*C\ + 2a^^C\ — 2a*ô^C*= 0; pour que cette équation ait ses deux racines égales, il faut que

d'où ,

Mais la solution doit se rapporter aussi bien à l'un qu'à l'autre des deux points

^o = ao» .Vo^4--\/«' — «0.

et

•2^0 — «0' .Vo = — - v/«' — «0-

On aurait donc dû trouver pour G quatre valeurs deux à deux égales et de signes contraires.

Cependant la solution G = 0, qui a été supprimée, n'était pas admissible, car en faisant G = 0 dans les équations primitives du problème elles deviennent

et

p' = a' — 2rta„,

qui donnent

a = 0, [:i = dz \/ a^ — 2aao,

/ 2rt^^^ — 2aéa,f

et, comme a„ est plus grand que «, ^ et a seraient imaginaires.

Il résulte de là que les deux valeurs de G trouvées plus haut sont bien les caractéristiques des conjuguées limites de celles que rencontre le périmètre de la région de convergence ; du reste ces deux conjuguées

limites ayant leurs caractéristiques égales et de signes contraires, cela explique comment elles conviennent aussi bien à l'un qu'à l'autre des deux points

pris pour origines ; seulement les points de contact de chaque conjuguée limite avec les périmètres des deux régions de convergence se trouvent sur les deux branches dans lesquelles cette conjuguée est séparée par son diamètre transverse.

Il n'y aura lieu de faire varier G qu'en dehors des deux valeurs qui viennent d'être obtenues, puisque la valeur initiale delà caractéristique est ± co .

Déterminons maintenant les points de contact du périmètre de la région de convergence avec les deux conjuguées limites dont on vient de trouver les caractéristiques.

L'équation en a,

{b^ -1- a^Q?f «^ — 'iéC.\ {a^Q? +■ è^)a — a«G*

+ 2a^G\ + ^a'b^C\ ~ 2a' bH? = 0,

ayant ses deux racines égales, lorsqu'on donne à G l'une des valeurs trouvées, l'une d'elles est donnée par la formule

Cette valeur de a convient à la fois aux points de contact avec les deux conjuguées limites, puisque a ne dépend que de c^. a sera fourni par l'équation

a^Ga' + è^ a = 0, Enfin p le sera par

(«-«„)^ + ^^=(a+«„)^ d'où

|à^ = 2ao (a — a) — a^ + a\

D'ailleurs, nous savons que {i' doit toujours rester positif; par conséquent, la valeur positive de p correspondra à la valeur positive de G, et la valeur négative dé ^ à la valeur négative de G.

Si Ton voulait maintenant construire d'autres points de la courbe, rien ne serait plus aisé.

Les équations

(^f/ ^ «2^2)2^2 2a^c--oL, (a^G^ -f è^) a — a'C

+ 2a^G\ + 2aV/C\ — 2a'b'G' = 0, a'Ga' + b^a = 0, p^ = 2ao(a— a) — a^ + o^ et p'=Cji

donneraient successivement pour chaque valeur de G les valeurs de «, a', ^ et p'. p' devant toujours rester positif, p devrait être de môme signe que C.

La tangente en A au périmètre de la région de convergence sera évidemment la tangente à l'ellipse, car, les points infiniment voisins de A appartenant à des conjuguées tangentes à l'ellipse en des points infiniment voisins de A, et ces points devant ôtre, sur ces conjuguées, à des distances infiniment petites de leurs points de contact avec l'ellipse, les droites qui les joindront au point A seront infiniment peu inclinées sur la tangente en A à l'ellipse.

Il importe, pour construire la courbe, de savoir si elle présente un point de rebroussement en A, auquel cas elle aurait tous ses points audessus de l'axe des x ; cherchons donc si elle peut^couper l'une des x ailleurs qu'en A.

Si l'on fait a = — (i' dans les équations du problème, il vient

et

En ajoutant la première et la troisième, on trouve

2a^ — Sa^a — 2a* -f 2«ao = 0, d'où

«0 ± \/a,^ — 4aa, + 4a* «„ ± (a^ — 2a)

c'est-à-dire

a = a,, — o et a=0.

a = a donne ^ = 0 et correspond au point A. Considérons dans la solution

elle donne

qui n'est admissible que dès que a^ dépasse 2a.

La figure a été faite en supposant i = a et a^ = | a. Dans ces hypothèses, les valeurs extrêmes de C sont ± 2, auxquelles correspondent les conjuguées tangentes en D et en D', et la valeur commune des parties réelles des abscisses des points de contact avec le périmètre de la région de convergence est ± ^ a, ce qui fournit les points E et E'.

Le périmètre de la région de convergence est

AE'CEA.

Les deux exemples que nous venons de discuter sont les plus simples qu'on pût'trouver, et il est clair que, pour peu que l'équation du lieu considéré se compliquât un peu, la discussion du problème que nous

Fig. 17.

avions en vue présenterait des difficultés de détail bientôt inabordables, à cause de la longueur des calculs qu'exigerait la résolution des équations; mais la méthode resterait évidemmentla même; or, nous n'avions d'autre but que de montrer que cette méthode peut bien réellement fournir la réponse à la question posée.