DE LA MARCHE DES VALEURS D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

524. La question que nous avons traitée dans les chapitres xx et xxi a été posée par M. Caiichy et traitée d'abord par M. Puiseux.

Après avoir résolu les questions qui se rapportent aux fonctions d'une seule variable, M. Gauchy a tenté d'appliquer ses méthodes à l'étude des fonctions de plusieurs variables.

Peut-être l'illustre maître n'a-t-il consacré que trop peu d'efforts à ces nouvelles recherches; peut-être a-t-il pensé que la manière dont il figurait la marche de la variable indépendante, en géométrie plane, ne conviendrait plus aux cas où la fonction dépendrait de deux ou d'un plus grand nombre de variables.

Quoi qu'il en soit, on n'a jusqu'ici rien proposé, dans l'École de M. Gauchy, relativement à l'étude de la marche d'une fonction implicite de plusieurs variables.

Cette question cependant ne présentera aucune difficulté nouvelle, la méthode que nous avons développée dans le chapitre xx s'y appliquera, sans presque subir de modifications, et le passage même sera assez facile.

La question, restreinte au cas des fonctions de deux variables indépendantes, peut être posée de trois manières différentes : nous commencerons par les distinguer.

Soit

l'équation qui définit z implicitement. On pourra d'abord supposer que X et y partant des valeurs initiales a^^, ?/o, z parte en même temps d'une de ses valeurs correspondantes, z^, et demander ce que deviendra z, assujetti à la loi de continuité, lorsque x et y passeront d'une manière continue, de leurs valeurs initiales x^, y^, à des valeurs quelconques .r,, y,, en suivant des chemins définis par trois équations entre leurs parties réelles et imaginaires.

Le second cas dont nous aurons à nous occuper sera celui où l'on ne donnerait plus que deux équations entie les quatre parties qui composent X et y.

Enfin nous supposerons que les parties réelles et imaginaires de x et de y ne soient plus liées entre elles que par une seule équation permanente.

Dans le premier cas, l'une seulement des six variables a, [i, a, ^', a", p" sera indépendante, et la question sera de trouver les valeurs finales des cinq autres.

Dans le second, si l'on attribuait une valeur arbitraire à l'une des variables indépendantes, ou, plus généralement, si l'on introduisait entre les six variables une relation complémentaire arbitrairement choisie, l'ensemble des solutions communes aux équations formulées représenterait une ligne ; or cette ligne devant être en général composée de plusieurs branches, on pourra se proposer, connaissant les deux formes initiale et finale de la relation complémentaire et la loi suivant laquelle elle a passé de l'une à l'autre, de déterminer, sur le lieu final, la branche qui serait provenue d'une branche désignée du lieu initial, cette branche n'ayant pu se déplacer et se déformer que d'une manière continue.

Enfin, dans le troisième cas, si l'on introduisait entre les six variables une relation complémentaire arbitraire et variable de forme, les solutions communes aux équations considérées représenteraient une surface, composée en général de plusieurs nappes, et l'on pourra se proposer de déterminer, dans le lieu défini par l'équation complémentaire, arrivée à sa forme finale, la nappe qui serait provenue d'une nappe définie du lieu initial, par déplacement et déformation continus. La question se décompose donc en trois autres bien distinctes. Dans la première, le cas pratique sera celui où, des trois relations qu'on doit fournir entre les parties réelles et imaginaires de x et de y, deux seraient données par une équation entre x et y, la troisième cp (a, p) = 0 définissant le chemin que devrait suivre x.

Dans la seconde, pour s'écarter le moins possible de la réahté, il faudra de même donner, par une équation entre x et y, les deux conditions que devront remplir les parties réelles et imaginaires de ces deux variables.

Enfin dans la troisième, pour les mêmes motifs, nous examinerons principalement le cas oti la relation qu'on devrait donner serait définie par une équation entre x et y, mais contenant une constante arbitraire réelle.

On eût pu chercher à ramener les trois questions à la dernière, qui comprend en effet les deux autres par sa plus grande généralité \ mais ce seront au contraire les deux dernières que nous ramènerons à la première, parce qu'en effet, pour que la nappe considérée du lieu initial •soit venue se confondre avec une nappe désignée du lieu final, dans la dernière question, il faudra que la branche, contenue sur la nappe initiale, d'un lieu curviligne défini par l'introduction d'une nouvelle équation, soit venue se superposer à la branche, contenue sur la nappe finale, du même lieu curviligne mobile; de même que la première branche ne sera venue se placer sur la seconde , qu'autant que les

MARCHE DUNE FONCTIOiN DE DEUX fARIABLES. 109

points de l'une seront venus occuper la place des points de l'autre. En sorte qu'en général les deux dernières questions pourront être considérées comme résolues lorsque la première le sera; avec celte restriction toutefois que, comme la nappe considérée du lieu initial, dans le dernier cas, ou la branche considérée, dans le second, pourraient se scinder à un certain moment et fournir dans le lieu final des nappes ou branches séparées, ou qu'il convînt de distinguer, il ne suffira pas, en général, d'avoir étudié le mouvement d'un seul point [x, y, 2], du lieu mobile, pour pouvoir conclure d'une manière certaine à l'égard des deux dernières questions.

De la marche des valeurs d'une fonction de deux variables imaginaires assujetties à trois conditions.

52S. La question qui va nous occuper n'est pas seulement de l'ordre de celles que nous avons traitées dans le chapitre xx ; car si deux des trois équations qui doivent régler la marche des variables indépendantes X et y, dont dépend la fonction z, étaient renfermées dans une équation entre x et y, l'autre ne contenant d'ailleurs que les parties réelle et imaginaire de x, par exemple, l'élimination préalable de y ferait même disparaître toute espèce de différence.

Cette élimination sera toujaurs permise et devra même être pratiquée dans tous les cas où elle sera possible ; mais nous n'y recourrons pas dans nos explications générales.

Si la fonction z n'entrait qu'au second degré dans l'équation

f{x,y,z) = 0, qui la définit, elle s'exprimerait par

s = p±Vq,

P et Q étant deux fonctions rationnelles de a: et de y : l'évaluation de P ne pouvant donner lieu à aucune ambiguïté, ce serait, en conséquence, sur z — P que devrait porter la discussion.

Or les parties réelle et imaginaire de z — P ne pouvant changer de signes qu'en passant par zéro, ou par l'infini (on pourrait toujours, par une transformation de variables, écarter à l'avance, si on le voulait, le cas où z aurait à passer par des valeurs infinies), la valeur qu'aura dû prendre la fonction z — P, assujettie à la loi de continuité, lorsque X et y auront passé d'une manière continue, par le chemin convenu, de leur état initial à leur état final, cette valeur sera toujours facile à assigner, lorsqu'on aura suivi les variations de signe d'une des parties de la fonction.

Si le chemin parcouru par le système des variables x et y est fermé, les deux valeurs de z s'échangeront entre elles, lorsque la partie qu'on

no CHAPITRE XXVI.

aura étudiée de z — P aura changé de signe un nombre impair de fois, tandis que, dans le cas contraire, chacune des valeurs âez reviendra à son état initial.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la fonction z définie par l'équation .

qui donne

nous poserons comme^toujours la condition de réalité de z étant

et celle qui en ferait disparaître la partie réelle étant

+X==o avec 1 -^--l-<0,

les points importants de la discussion porteront sur les passages de a, p, a', f>' par des valeurs dont le système satisferait à la condition

a'~^ b' ~ Or, celle des parties de z qui s'annulera en même temps que ^ 4" "^ changera de signe avec cette quantité ; en sorte que tout se

réduira, à chaque passage, à savoir si -j + "Ta" ^"^"^ ou non changé de

signe en passant par zéro, ce qui sera toujours aisé puisq^ie ayant entre

a, B, a et B' trois relations connues, qui pourront fournir -^^ , -r- et -|-

«a ax. dix

en fonction de a, [5, a, [i', on pourra connaître le sens dans lequel aura

varié ^-^-^ ^^"^ a' ^ b''

MARCHE DUNE FONCTION DE DEUX VARIABLES. Hl

La question analytique étant ainsi traitée, il nous reste à étudier le caractère concret de la condition

elle exprime que le point [x, y, 2] passe sur une conjuguée dont les 2 sont réels, ou imaginaires sans parties réelles; mais ce point demande quelques éclaircissements.

Concevons par l'axe des z un plan mobile

y = mx,

ayant pour coefficient angulaire le rapport variable '^, prenons à

chaque instant sa trace pour axe des x et, pour axe des y, le diamètre conjugué

de la section horizontale.

z, dans cette transformation, ne changera pas; pour ne pas multiplier inutilement les notations, continuons de représenter par x et y les coordonnées horizontales de la surface : y sera maintenant constamment réel et x restera représenté par a -\- ^ \/ — i; x, y, z seront d'ailleurs liés entre eux par une nouvelle équation

dans laquelle a' et b' dépendront de m. La condition de réalité de z sera maintenant

«p=0 avec 1 -^ fi>^'

et la condition pour que z manque de partie réelle

a^ = 0 avec 1 -J__|L<o,

0 u, en décomposant : les conditions de réalité de z seront

a = 0 avec l + ^-f.>0, ou

fi = 0 avec i^-}-^>0;

et les conditions pour que z manque de partie réelle,

a = 0 avec 1 4- -L ^ < 0, ou

p = 0 . avec l-^^|!<0.

Cela posé, le plan parallèle aux xz, mené à la distance y, coupera la surface suivant une ellipse réelle et toutes ses conjuguées hyperboliques, si y^ est moindre que V^, et, dans le cas contraire, suivant des hyperboles imaginaires ayant pour enveloppe une ellipse imaginaire.

Or si nous supposons d'abord y^ moindre que è'^, quand a passera par zéro,

sera nécessairement positif et le point [x, z] se trouvera, dans le plan que nous supposons, sur l'hyperbole conjuguée dont les z sont réels, dont l'axe transverse, par conséquent, est parallèle aux z : Et quand [i passera par zéro, le point [x, z\ sera sur l'ellipse réelle, si

est positif, ou, dans le cas contraire, sur la conjuguée dont l'axe transverse est parallèle aux x.

En second lieu, si nous supposons y^ plus grand que b'^, quand a passera par zéro, le point [x, z] se trouvera sur la conjuguée dont l'axe transverse est parallèle aux z, si

est positif, et sur l'enveloppe imaginaire dans le cas contraire : Et quand p passera par zéro.

étant nécessairement négatif, le point [x, z] se trouvera sur la conjuguée dont l'axe transverse est parallèle aux x.

Cela posé, nous pouvons répéter ici les mêmes observations que nous avons présentées, dai^s le cas analogue, en géométrie plane.

Supposons que x ei y reviennent à leur>état primitif. Si a a passé par zéro, il aura dû changer de signe un nombre pair de fois ; à chaque fois la partie réelle aura changé de signe, par conséquent il n'y aura