MARCHE DUNE FONCTION DE DEUX VARIABLES. H

pas d'effet produit dans la valeur de z ; mais si p a passé par zéro et changé de signe deux fois, l'une avec la circonstance

'et l'autre avec la circonstance contraire, les parties imaginaire et réelle de z auront successivement changé de signe et les deux valeurs de z se seront permutées.

526. Si l'équation proposée contenait la fonction z à un degré supérieur au second, le calcul pourrait présenter des difficultés plus considérables ; mais la méthode serait encore pareille à celle que nous avons appliquée, en géométrie plane, au cas analogue.

On classerait toujours les conjuguées de la surface proposée en deux catégories, suivant que ces conjuguées toucheraient ou non la surface réelle.

Les conjuguées tangentes à la surface réelle se diviseraient en plusieurs classes, selon qu'elles toucheraient cette surface sur telle ou telle nappe.

Chaque conjuguée tangente à la surface réelle serait divisée en parties distinctes, par la courbe de contact.

Or le point [x, y] ne pourrait passer d'une catégorie de conjuguées à l'autre, sans prendre son passage sur une conjuguée limite commune des deux catégories ; ces passages devraient être relevés avec soin.

Il ne pourrait non plus passer d'une classe de conjuguées d'une même catégorie aune autre classe, sans prendre passage sur une conjuguée limite commune des deux classes.

Enfin il ne pourrait passer d'une partie à une autre d'une conjuguée, sans passer sur la surface réelle.

Quant aux conjuguées non tangentes à la surface réelle, elles donneraient lieu à une discussion plus compliquée; mais on pourra appliquer au cas où le point [x, y, z] aurait passé sur ces conjuguées, une autre méthode d'ailleurs générale.

On pourra, en effet, si on le veut, comme nous l'avons fait pour étudier l'équation

faire suivre au plan des xz le mouvement du plan

ce qui rendra y perpétuellement réel, et étudier la marche du point [x, z] dans le plan mené parallèlement à celui des xz à une distance égale au nouvel y.

ii« p. 8

La question alors sera ramenée à une question de géométrie plane qui ne différerait de celle que nous avons traitée dans le chapitre XX qu'en ce que les équations données entre z et a; contiendraient des variables intermédiaires et seraient, par suite, en plus grand nombre.

De la marche des valeurs d'une fonction de deux variables imaginaires assujetties à deux conditions.

527. Les solutions communes à l'équation f{x,y,z) = 0 et à deux autres équations permanentes

Tormeraient un système doublement indéterminé, auquel par conséquent correspondrait une surface. Mais si l'on joint à ces équations une condition mouvante

cp («, |â) = 0,

les solutions communes ne fourniront plus qu'une ligne courbe, pour chaque forme de l'équation <». On pourra donc chercher à savoir comment une branche désignée de cette courbe se déplacera et se déformera, lorsque la fonction cp se déformera elle-même; on pourra, en particulier, demander ce qu'une branche désignée de la courbe primitive serait devenue en passant de l'équation ct^ (a, [â) = 0 à l'équation

cp,(«,P)=0.

Telle serait dans toute sa généralité la question que nous aurions à étudier dans ce paragraphe.

Comme nous la ramenons à savoir ce que sont devenus les points de la branche assignée de la courbe définie par les équations

F (a, p, a', ^') = 0, F, («, p, a', fi') = 0,

il nous suffira de montrer par un exemple comment cette réduction peut s'effectuer.

Soit

l'équation qui lie la fonction z aux deux variables a? et y ; ^' = 0, c'est-à-dire y = réel,