MARCHE D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES. H

l'une des deux conditions que l'on devait fournir entre x el y \ enQn supposons que la seconde condition soit donnée par le système

! p«4-p'» = aè;

et faisons passer p et p' par toutes les valeurs que prendraient successivement les coordonnées d'un mobile assujetti à décrire de droite à gauche la circonférence du cercle

y'-\-x^=ab,

et qui, partant du point situé sur la partie positive de l'axe des x, y reviendrait après un tour complet.

A chaque valeur de p, il correspondra une valeur de p, par suite une valeur de r; les solutions communes aux deux équations

fourniraient une surface, mais la condition y = réel réduira ce lieu à une ligne.

A l'origine du mouvement, c'est-à-dire lorsque p' était nul et p égal

à -\- \/ab, la ligne mobile sera composée d'une courbe d'entrée et d'une courbe de sortie ; à la fin du mouvement, la ligne mobile sera revenue occuper sa position initiale : la question sera donc de savoir quelles permutations auront pu se produire entre les branches de cette courbe, du commencement à la fin du mouvement.

Pour traiter cette question conformément au plan tracé dans les explications qui précèdent, il nous suffira, puisque y doit rester constamment réel, d'étudier le mouvement du point de rencontre de la ligne mobile avec un plan réel parallèle aux xz,

car en faisant varier h, nous pourrons ensuite assigner la position finale d'un point quelconque de la ligne mobile. L'équation

y'4-x'=(p-}-pW^'

représente les cylindres parallèles aux z qui auraient pour traces sur le plan des xy les conjuguées du lieu

Ces conjuguées sont toutes égales entre elles; elles ont pour enveloppe imaginaire la circonférence du cercle

mais celle dont les ordonnées sont réelles nous occupera seule.

Cette conjuguée touche l'enveloppe imaginaire aux extrémités du diamètre dirigé suivant l'axe des a^ et a pour asymptotes les bissectrices des angles des axes ; elle^e réduit soit à l'hyperbole équilatère qui a pour axe transverse Taxe des Xy lorsque p s'annule, soit au cercle et à l'hyperbole équilatère , qui a pour axe transverse l'axe des y, lorsque c'est au contraire p' qui passe par zéro.

Le plan y =h coupe le cylindre

2/^ + a.^ = (p+p'V'=ir

suivant les génératrices partant des points d'intersection de la droite y = h avec la conjuguée dont il vient d'être question.

Lorsque h est moindre que b, le plan y =^h coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse réelle dont la projection, en vraie grandeur, sur le plan des xz^ a pour équation

et toutes ses conjuguées.

Tandis que lorsque h est plus grand que b, l'intersection se compose des conjuguées de l'enveloppe imaginaire elliptique

Cela posé, déterminons d'abord la courbe fournie par le système des équations

x^ -\- y^= ab, y = h,

dans lequel on ferait passer h par toutes les valeurs réelles de — oo h -f-oc.

Lorsque h varie entre — \/ab et -f \/ab, x reste réel ; quant à z, il prend la valeur déterminée par l'équation