MARCHE D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

il est donc réel ou imaginaire, suivant que y* est moindre ou plus grand que , de sorte qu'entre les limites

le lieu est réel et appartient par conséquent à l'ellipsoïde. Tandis qu'entre les limites

le lieu est imaginaire ; mais ses x et y étant réels, il appartient à l'hyperboloïde à une nappe circonscrit à l'ellipsoïde le long de son contour apparent par rapport au plan des xy.

Enfin en dehors des limites — \/ab et -{- yoé, les y de la courbe sont réels, ses x sont imaginaires sans parties réelles, et quant à ses z, déterminés par l'équation

ils sont aussi imaginaires, sans parties réelles, puisque y* surpassant ab, à plus forte raison ab^ — (« + *) y* est négatif; la courbe appartient donc à l'hyperboloïde à deux nappes

qui du reste n'est pas une conjuguée de l'ellipsoïde. Lorsque

y = ±: sjab, x = 0 et 1=1—^, le point correspondant

x — 0, y = slab, z = c W ^ - 1

appartient à la fois, comme cela devait être, aux deux hyperboloïdes

^4-^-^-1 et ^-^-4-i- i a«^6* ,»-! et - + ^^__i.

Gela posé, il ne nous reste qu'à donner successivement à h des valeurs comprises entre 0 et -|- * V/ , , , entre rf * W ■ .-'Qi-^-sJoby

enfin entre + slab et -[- oo , et à examiner ce qui, dans chaque cas, aura dû se passer lorsque p et p' seront revenus à leurs valeurs initiales + slâi) et 0.

Supposons d'abord h compris entre 0 et -f- ^\l ~~T~l^ ^^ point [â?, z] alors se déplacera sur les conjuguées de l'ellipse

s'il était d'abord (c'est-à-dire lorsque p' était nul et p égal h.-\-\lab) sur la nappe supérieure de l'ellipsoïde, p' devenant positif, l'équation

xdx = rdr,

où il faudrait faire x réel et positif, r égal à + \/ab et dr égal à

dp -\- dp \] — 1 , dp étant positif, montre que la partie imaginaire de dx sera positive.

D'un autre côté, l'équation

xdx zdz

où il faudrait faire z réel et positif, montre à son tour que la par : imaginaire de dz sera négative.

Le point {x, z] se placera donc d'abord sur une branche inférieure de conjuguée de l'ellipse

il restera d'ailleurs du même côté du point de contact de l'ellipse avec la conjuguée où il pourra se transporter, jusqu'au moment où p' repassera par zéro, payant alors la valeur — \jab : car en vertu de l'équation

x^={p^p'sj--if-h\

X ne peut être réel qu'autant que p' est nul.

Mais avant que p' redevînt nul, p lui-même aura passé par zéro, et ce passage doit attirer notre attention.

Au moment où p sera devenu nul, p' aura pris la valeur -f- V^aô, et X aura l'une de celles que comprend la formule