MARCHE DUNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

± )f^ \/h' -\- ab.

Mais comme la partie imaginaire de cette variable avait commencé par être positive et qu'elle n'a pas repassé par zéro, la seule valeur admissible sera

x = -\-sl~\\lh}^ab.

Quant à z, il aura pris l'une des valeurs

ab__f^

qui sont réelles, car la condition

revient à

ai» > A^ (a — 6),

et A* étant moindre que — ——, est, à plus forte raison, inférieur à

ab^ a — b'

D'ailleurs la partie réelle de z étant d'abord positive et n'ayant pas encore passé par zéro, sera restée positive, de sorte que la valeur finale de z sera

ab/^

le point [Xf z] se trouvera donc alors sur la partie de droite de la

S" branche supérieure de la conjuguée — == 0.

P La caractéristique changera de signe aussitôt après, car en vertu de l'équation

xdx = rdr où il faudrait faire

x = -\- s/^ v/A* -}- ab, r = + \/^ \'ab ,

et rfp' négatif, la partie imaginaire de dx sera négative.

Au moment donc où p' sera nul et où p prendra la valeur — yaô, le point [x, z] devra se trouver sur le second quadrant de l'ellipse

A partir de là, il changera de branche sur la conjuguée oh. il se transpor tera, car en vertu de l'équation

xdx = rdr

où X serait réel et négatif, r égal à — \ab, et oîi dr aurait sa partie imaginaire négative, la partie imaginaire de dx redeviendra négative,

ft" tandis que, par suite, celle de dz deviendra positive, pour que —

P reste négatif, comme cela doit être.

Le point [x, z] restera maintenant sur une branche inférieure de la conjuguée, tant que p' ne repassera pas par zéro.

Il repassera sur la conjuguée ^=0 au moment oîi p redeviendra

nul et p' égal à — s/ab ; mais comme il n'aura pas pu passer sur la

S" conjuguée t='^^ puisque x n'aura jamais pu prendre de valeurs

P réelles supérieures à a, les mêmes faits se reproduiront ensuite en sens inverse, de sorte que quand p et p' auront achevé leur évolution, le point [x, z] reviendra à sa place primitive.

Ainsi, après l'évolution complète, chacune des parties supérieure ou inférieure de la section réelle du cyUndre

et de l'ellipsoïde

a'^ b'^c'~ sera revenue occuper sa position primitive. Faisons maintenant varier h entre -\- b K/ • — —r et -j- * :

X = \/r^ — A* sera encore, comme dans le cas précédent, réel, ou imaginaire sans partie réelle, lorsque p' ou p passeront par zéro, tandis que, dans tout autre cas, il se composera d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.

Au départ, c'est-à-dire lorsque, p' étant nul,' p aura la valeur

+ s/ab, X sera réel et par exemple positif, et z imaginaire sans partie

S" réelle. Le point [x, z] se trouvera alors sur la conjuguée —. = oo

de l'ellipse réelle

a^'^c^~ b^' supposons qu'il appartienne à la branche supérieure de cette conju-

MARCHE d'une FONCTION DE DEUX VARIABLES. 121

guée, ou que le point [x, y, z] appartienne à la nappe supérieure de l'hyperboloïde

le coeffleient de V — 1 dans la valeur initiale de z étant ainsi positif : comme, au départ, la caractéristique du point [x, z\ se trouvait infinie, nous devons, avant tout, nous demander quel signe elle aura pris immédiatement après.

Or l'équation

xdx = rdi\

dans laquelle il faudrait faire

X = + sjab — y^^ r—.-\- \jab et dr = 4 + ^p' V^— *» donne

d9, sjab — h} = c?p' \lâb,

c'est-à-dire que d^ sera d'abord positif; et comme ^" était déjà positif et avait une valeur finie, la caractéristique du point [x, z] commencera par être positive.

Ainsi le point de contact, avec l'ellipse, de la conjuguée sur laquelle se transportera d'abord le point [x, z], se trouvera dans le quatrième quadrant.

Au reste le point [x, z] ne pourra jamais passer sur l'ellipse réelle

puisque toutes les fois que x reprendra l'une de ses valeurs réelles

± s/ab — h*

correspondant à p' = 0, z en même temps reprendra l'une de ses valeurs imaginaires sans partie réelle

il restera donc toujours sur la même branche de la conjuguée qui le contiendra, ou plutôt il suivra cette branche de conjuguée dans son évolution autour de l'ellipse.

Il ne s'agit donc que de savoir par quelles valeurs passera la caractéristique de cette conjuguée.

Lorsque p' atteindra la valeur + sfcib et que, par conséquent, p se trouvera nul, x aura l'une des valeurs

x = d- v/A* + ab v/^ ;

mais comme la partie imaginaire de a; a commencé par être positive et qu'elle ne s'est pas encore annulée, elle sera restée positive ; de sorte que la seule valeur admissible pour x sera

x=-\-s/h^-\-ab\/—i.

Quant à z, il aura l'une des valeurs

ab

qui sont réelles, car la condition

revient à

ab' >h^a— b)

qui est satisfaite dans l'hypothèse oti nous raisonnons, puisque h est moindre que b.

Mais la partie réelle de z, un peu après le départ, était négative, et elle n'est pas encore devenue nulle ; elle a donc dû rester négative, par conséquent la valeur de z doit être

ab

le point [a;, z] se trouve donc alors sur la partie droite de la branche

inférieure de la conjuguée !— = 0 de l'ellipse

Aussitôt après, la caractéristique du point mobile changera de signe ; en effet la différentielle de x sera déterminée par l'équation

xdx = rdr

y/ 1 sfff^b [dx + d^ \j— l) = v^ V^ [dp + d^\l — l), c'est-à-dire

c?a sjh* -\- ab = d^ \]ab

MARCHE d'une FONCTION DE DEUX VARIABLES. 123

et

dp Va* -\-ab = dp' \/aà, tandis que celle de z le sera par l'équation xdx , zdz

./ h' k' + ab

c'est-à-dire

doi\!h^-\-ab et

dp V«* + ab

^rv'i / 1

d."\Ji-

-fn

Or dp ainsi que rfp étant négatifs, da, dp et </|i" sont aussi négatifs, de de sorte que p qui était fini et positif, restant positif, la caractéristique devient négative, c'est-à-dire que le point [x, z] se transporte sur la partie de droite de la branche de conjuguée de l'ellipse

qui la touche dans le troisième quadrant. Il en résulte que lorsque p' redeviendra nul, p ayant alors la valeur

— yjab, le point [x, z] viendra se placer sur la partie inférieure de la

P" branche de gauche de la conjuguée !— = 0 de l'ellipse

Le mouvement se continuera ensuite évidemment dans le même sens ; et lorsque p et p' seront revenus à leurs valeurs initiales/, le point [x, z] sera revenu aussi à sa position initiale.

Ainsi les deux portions supérieure et inférieure de la courbe que nous étudions, dans l'intervalle compris entre les plans

— et y = 6,

après l'évolution complète, reprennent aussi leurs positions primitives. Supposons enfin que h dépasse la limite b. Le point [x, z], alors, se déplacera sur les conjuguées de l'ellipse imaginaire

X =i\l r'^ — A* pourra ou non devenir réel, en même temps que r, selon que h^ sera moindre que ab, ou plus grand. Selon le cas, le point [x^ z]

pourra donc ou non passer sur la conjuguée ^ = oo du lieu.

La discussion, au reste, dans chacun des deux cas A* <C db et A* >> ab, s'achèverait comme précédemment, et il est inutile que nous insistions davantage.

Nous avons, dans ce qui vient d'être dit, supposé toujours que p et p' achevassent complètement leur évolution, mais la discussion a été dirigée de telle manière, que si l'on voulait s'arrêter à des valeurs correspondantes quelconques de p et de p', on pût immédiatement assigner la place que serait venue occuper la branche mobile de la courbe considérée.

De la marche des valeurs d'une fonction de deuçc variables assujetties à une seule condition.

528. Il suffirait évidemment de supprimer, dans l'exemple précédent, la condition

pour en former un qui se rapportât à la question présente. Les équations

r = p + p'V— 1, p^ + p- = aô

détermineraient une surface variable de forme et de position avec la valeur de p; de sorte que la valeur initiale de p étant par exemple

-f \/ab, il s'agirait de savoir ce qu'une nappe désignée de cette surface initiale serait devenue lorsque p et p' auraient achevé leur évolution.

Or la surface mobile contiendra toujours la courbe mobile dont nous avons étudié le mouvement dans le numéro précédent; on peut donc dire que la position finale de la nappe considérée de cette surface sera déterminée par la position finale de la branche correspondante de la courbe mobile.

de la convergence du développement, par la formule de taylor, d'une fonction de deux variables.

529. Xq et ^0 désignant les valeurs initiales des deux variables indépendantes X et y, et z^ celle de la fonction z, cette fonction est représentée jusqu'à un certain point par

(dz\ x — x^ fdh\ {x — x,?

Cette suite, comme étant indéfinie, constitue bien une série, si l'on prend le mot dans son acception la plus large, mais en réalité elle en fournira autant qu'on voudra imaginer de modes d'en grouper les termes; et non-seulement les conditions de convergence de toutes ces séries ne seraient pas identiques, mais même elles ne porteraient pas sur les mêmes groupes de coefficients différentiels.

Ainsi on pourrait regarder le développement comme représentant la somme des valeurs des séries formulées dans les diverses lignes horizontales; on pourrait grouper les termes suivant les lignes diagonales, etc.

Dans chaque cas, la condition de convergence dépendrait du mode de groupement des termes.

Il est donc indispensable de poser avant tout la question qu'on a en vue et de définir la série dont la convergence est mise en question.

Nous nous occuperons exclusivement de la série formée des sommes de termes homogènes, par rapport k{x — x^) et à (y — y^), dans le développement général.

Dans ce cas, qui est celui qu'on a effectivement à considérer dans la pratique, la question de la convergence du développement d'une fonction de deux variables se ramène presque immédiatement, comme on

va le voir, à celle de la convergence du développement d'une fonction d'une seule variable.

550. x'q et 3/0 étant toujours supposés connus, au lieu de nous donner X et y, c'est-à-dire {x — x^) et {y — y^), nous nous donnerons

(x — Xq) et

-, ce qui reviendra au mênie.

La fonction z, alors, dépendra de x et du rapport

yo

que nous

X — Xq

désignerons par k, de sorte que si l'équation, qui définissait d'abord z, était ^

f{x,y,z) = 0, la nouvelle sera

et nous développerons z suivant les puissances croissantes de {x — x^), par la formule de Maclaurin, comme une fonction d'une seule variable.

Le développement de z contiendra bien toujours deux variables x et k, mais nous nous bornerons, d'abord, à déterminer, pour chaque valeur de k, la limite que ne devrait pas dépasser le module de {x — x^), pour que la série restât convergente.

En procédant ainsi nous n'aurons pas seulement obtenu les réponses propres à toutes les questions que pourrait comporter l'étude de la série, dans tous les cas oti les valeurs finales des deux variables indépendantes seraient données à l'avance : nous aurons encore établi des bases pour résoudre la question inverse, où il s'agirait de déterminer la relation d'inégalité à laquelle devraient satisfaire les modules de {x — Xq) et de (y — yj pour que la série restât convergente.

551. Le développement de z, ordonné suivant les puissances croissantes de (x — Xo), est

(dz

-^KÎA

'^ " \dxdy).

Or, pour chaque valeur de k, la condition de convergence ne dépendra plus que de la nature du lieu

et de la place occupée sur ce lieu par le point [Xq, zJ. La question sera

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION DE DEUX VARIABLES. iil

donc entièrement identique à celle que nous avons traitée dans les chapitres XXII, XXIII et XXIV.