Les points du lieu

où le développement de z peut être arrêté, sont ceux où les tangentes sont parallèles à l'axe des z.

La dérivée de z par rapport à a; en un point du lieu

est

dx dy

dj ' dz

y désignant la variable x^ -\-k[x — x^ ; les points critiques seront donc fournis par les équations

fz [^. ^0 + ^ (^ — ^o). 2] = 0 et

Ces points appartiennent à la courbe de contact de la surface f[x,y,z) = Q

avec le cylindre qui lui serait circonscrit parallèlement aux z, car cette courbe aurait pour équations

et

où il suffirait de faire y — yçi-\- k{x — x^ pour retrouver les précédentes.

Ainsi les points critiques du lieu

/'[^o.yoH-^(^'— ^o), 2] = *^

sont les points d'intersection du plan réel ou imaginaire avec la courbe de contact dont nous parlons.

Si la projection sur le plan des xy de cette courbe est représentée par

. • cp(x, y)=0,

les abscisses des points critiques du lieu seront donc fournies par les équations

c'est-à-dire que les projections de ces points sur le plan des xy seront les intersections du contour apparent

cp (a;, y) = 0 et de la droite

si, bien entendu, dans cet énoncé, par contour apparent de la surface on entend le contour apparent réel et toutes ses conjuguées.

555, La constante h marque la direction du cliemin qui conduirait du point [a^o, y^ au point [x, y], et il est évident que le module de la différence entre x^ et l'abscisse du point critique où s'arrêtera le développement dépendra essentiellement de k; ainsi le module maximum de la différence x — x^^^i par suite celui de y — y^, seront essentiellement variables et intimement liés à la valeur de k.

Gela est tellement vrai, que la direction k pourrait être telle, que les modules de

x — x^ et de y—y^

pussent devenir infinis sans que la série cessât de rester convergente. Il suffirait en effet pour cela que la droite

y = yo-\-^ {x — ^o)

coïncidât avec une asymptote réelle ou imaginaire du lieu

cp {x, y) = 0,

qui ne rencontrât celui-ci nulle part ailleurs qu'à l'infini. En voici un exemple :

Soit l'équation