DÉVELOPPEMENT D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

qui donne

et que l'on pose d'ailleurs

y — yo t>

X — Xq a le point mobile [x, y] décrira une asymptote du contour apparent

de la surface, asymptote qui ne rencontrera ce contour nulle part ailleurs qu'à l'infini ; z devra donc alors se développer en série convergente, quel que soit le module de x — x^.

Et en effet, dans ce cas z ne sera qu'une constante c; toutes les sommes de termes homogènes du développement

seront donc nulles d'elles-mêmes ; les modules de {x — xj et de {y — y^ pourraient donc être infinis, que la série, définie comme nous l'avons définie, n'en resterait pas moins convergente.

On voit par là combien il était contraire à la réalité des choses de supposer, comme on l'a fait, avant tout examen, que les modules de {x — Xq) et de {y — y^ fussent indépendants et eussent des maxima respectifs fixes.

554. On a dû reconnaître que ce qui précède se réfère à cette notion, prédominante en effet dans la question, et qu'il convient pour cette raison d'énoncer formellement, que dès que les valeurs finales de x et de y ont été choisies, le développement de z — Zq, ordonné suivant les puissances croissantes des deux variables {x — xj et (y — y^^ coïncide identiquement avec celui delà fonction de la seule variable (a; — x^ qu'on obtiendrait en remplaçant, dans la valeur de (2 — z^j, y — y^ par k [x — x^, k désignant le rapport des différences supposées données y — yo et a: — x^.

Ce rapprochement permet de donner une forme plus simple aux énoncés des propositions précédentes.

La relation entre z et x n'est autre que l'équation de la projection sur le plan des xz de la section de la surface /"(a:", y, z) = 0 par le plan y — t/^z= k {x — Xq), de sorte que les points d'arrêt de la convergence ne peuvent être que les points critiques de cette projection.

Mais les points de la projection de la section où les tangentes à cette projection sont parallèles à l'axe des z, ne sont autre chose que les projections des points oti la section a elle-même ses tangentes parallèles ù l'axe des z, c'est-à-dire des points de rencontre du contour apparent de la surface; par rapport au plan des xt/, avec le plan sécant.

II en résulte que, pour chaque valeur de k, les systèmes de valeurs de X et de y où peut être limitée la convergence de la série sont les coordonnées x et y des points de rencontre du plan

avec le contour apparent de la surface par rapport au plan des xy. Le point d'arrêt de la convergence, dans chaque plan

y — y, = k{x — xj

sera donc l'un de ces points de rencontre; et l'on déterminera ce point d'après les règles données pour les fonctions d'une seule variable.

Gela posé, la région de convergence, dans chaque plan, serale lieu des points satisfaisant aux conditions

f{x,y, z) = 0, y — !/o = k{x — x^) et

Mod {x — Xq) < R,

R désignant le module, de la différence entre Xq et l'abscisse du point d'arrêt. Cette région sera bornée par une courbe qui en sera le périmètre et dont les points satisferont aux équations

Mod (x — a? J = R ;

et si l'on suppose que k varie suivant une loi

k = m-{- \/ — 1 çp (m),

m désignant la tangente d'un angle qu'on fera varier de 0 à ir, de façon que le plan sécant exécute une révolution complète, l'ensemble des

DÉVELOPPEMENT DUNE FONCTION DE DEUX VARIABLES. id\

régions de convergence relatives à tous les plans constituera dans l'espace la région de convergence du développement de la fonction des deux variables x — x^Qiy — ^o ^^^^^ entre elles par la relation

y — y,=^\'m + sj—i<^{rn)]{x — x,\

c'est-à-dire la région de convergence relative à la loi

Cette région aura pour périphérie le lieu des périmètres des régions de convergence relatives à tous les plans sécants et pour limite le lieu des points d'arrêt dans tous ces plans, lieu qui sera l'une des branches de la courbe d'intersection du contour apparent de la surface par la série des plans considérés.

Si la loi de variation de k venait à changer, la région de convergence changerait aussi, naturellement.

55o. Si la surface proposée présentait- une ligne double, la section de cette surface par un quelconque des plans

aurait pour points doubles les points oti la ligne double percerait ce plan.

Il n'y aurait pas Heu de tenir compte de cette ligne double si en chacun de ses points les deux plans tangents à la surface étaient distincts, car dans ce cas les tangentes à la section seraient elles-mêmes distinctes.

Mais si la ligne double était formée de la rencontre de deux nappes tangentes de la surface, les points doubles de la section seraient généralement des points de rebroussement et pourraient devenir points d'arrêt de la convergence.

DBS INTÉGRALES SIMPLES.

Des intégrales prises entre des limites imaginaires.

536. La définition d'une intégrale n'est pas encore complète lorsque

Ton connaît la fonction explicite ou implicite placée sous le signe / , et

les valeurs limites de la variable et de la fonction. Il faut en outre savoir par quelles valeurs intermédiaires passent la variable et la fonction, pour aller de leurs limites inférieures à leurs limites supérieures. La valeur de l'intégrale peut changer avec le parcours.

Nous commencerons par assigner, pour chaque couple des limites, une des valeurs de l'intégrale, nous verrons ensuite quelles peuvent être les autres et comment l'intégrale les acquiert.

La théorie des aires des courbes imaginaires se lie d'une façon tellement intime à celle des intégrales étudiées sous le point de vue le plus général qu'elles comportent, lorsque, pour passer de la limite inférieure à la hmite supérieure, on admet toutes les suites continues possibles de valeurs de la variable indépendante, que toutes les questions si ardues qu'embrasse la seconde théorie se trouvent réduites à un degré extrême de simplicité, lorsqu'on y adapte la méthode d'interprétation dont nous avons étabU les bases dans la première partie de cet ouvrage.

On se borne habituellement, dans la notation d'une intégrale définie, à indiquer les limites entre lesquelles varie la variable indépendante; nous indiquons également les limites de la variable dépendante; l'intégrale ne sera pas encore par là complètement définie, mais elle ne pourra plus varier que de constantes indépendantes des limites.

Nous entendons par limites de l'intégrale les couples de valeurs de a; et de ?/ qui figurent les deux extrémités du chemin suivi par le point [x.yl.

Nous supposerons toujoufs, dans ce qui va suivre, les axes rectangulaires.

557. Du cas où les limites sont réelles par rapport à x. — Si les deux points limites appartiennent à la courbe réelle et qu'un arc continu

DES LNTÉGRALES SIMPLES. 133

de cette courbe les réunisse, une des valeurs de l'intégrale / ydxseraila.

mesure de l'aire du segment correspondant à cet arc.

Si les deux limites appartiennent à la conjuguée G = oo , et qu'un arc continu de cette courbe les réunisse, une des valeurs de l'intégrale sera la mesure de l'aire correspondant à cet arc; la partie réelle de cette valeur de l'intégrale sera l'aire du diamètre conjugué des cordes parallèles aux 7/ de la conjuguée C = oo , qui se trouvera comprise entre les limites de l'intégrale, par rapport à x, et la partie imaginaire sera l'aire comprise entre la conjuguée et son diamètre.

Si les deux limites appartiennent à la courbe réelle, mais qu'aucune branche de cette courbe ne les réunisse, les branches de la courbe réelle sur lesquelles elles se trouveront comprendront entre elles un anneau de la conjuguée G = oo . Dans ce cas, entre autres valeurs, l'intégrale représentera la somme des mesures de l'aire correspondant à l'arc compris sur la courbe réelle entre la limite inférieure de l'intégrale et le point où la branche qui contient cette limite touchera la conjuguée G = 00 , de l'aire de la portion du diamètre conjugué des cordes parallèles aux y de la conjuguée G = oo , comprise dans l'intérieur de l'anneau considéré, de l'aire correspondant à l'arc compris sur la courbe réelle entre le point où la branche qui contient la limite supérieure, touche la conjuguée G= oo et la limite supérieure, cette somme, augmentée ou diminuée de la moitié de l'aire intérieure imaginaire de l'anneau considéré, suivant que le point [x,y],pour passer de l'une des limites à l'autre, aura décrit la partie supérieure ou la partie inférieure de cet anneau.

Les deux limites pourraient être séparées l'une de l'autre par plusieurs anneaux de la conjuguée et de la courbe réelle : dans ce cas l'intégrale, parmi d'autres valeurs, représenterait la somme des aires correspondant aux branches extrêmes et au diamètre commun des différents anneaux, comme dans le cas précédent, augmentée ou diminuée de la moitié de l'aire réelle ou imaginaire de chaque anneau de la courbe réelle ou de la conjuguée G = 00 .

Si les deux limites appartiennent à la conjuguée G = « , et qu'elles soient séparées par un ou plusieurs anneaux de la courbe réelle et de la conjuguée elle-même, ce cas s'analysera comme le précédent.

Enfin, si l'une des limites appartient à la courbe réelle et l'autre à la conjuguée G = x, l'intégrale représentera la somme des aires correspondant aux arcs de la courbe réelle'et de la conjuguée, compris entre les limites et le point où les deux courbes se touchent. Dans le cas où les deux limites seraient séparées par quelques anneaux fermés de la conjuguée et de la courbe réelle, on tiendrait compte, comme dans les cas précédents, de la présence de ces anneaux.

3Ô8. Bu cas oh l'une des limites appartient à la courbe réelle et l'autre à une conjuguée qui touche la courbe réelle. — Ce cas se ramène aisément au précédent. Si l'on imagine que l'on ait rendu l'axe des y parallèle

134 CHAPITRE XXVIIl.

aux cordes réelles de la conjuguée à laquelle appartient la limite imaginaire, la formule

/ W^ = ^^"+ sinY'X / y'dx,

établie dans le chapitre XV, montre qu'à la différence près de la partie

algébrique ^' ^°, l'intégrale aura" pour valeur la somme des aires

correspondant aux arcs de la courbe réelle et de [sa conjuguée, "qui se trouvent compris entre les limites et le point oti les deux courbes se touchent, ces aires étant, bien entendu, limitées par des parallèles aux cordes réelles de la conjuguée considérée. Si les deux limites étaient séparées l'une de l'autre par quelques anneaux fermés de la conjuguée et de la courbe réelle, on tiendrait compte de cette circonstance comme dans les cas précédents.

559. Du cas où les deux limites appartiennent à deux conjuguées différentes, qui touchent la courbe réelle. — On formera, dans ce cas, une des valeurs de l'intégrale, en imaginant que le point mobile [Xy y] décrive successivement l'arc de la conjuguée à laquelle appartient la limite inférieure, compris entre cette limite et le point oti la conjuguée qui la contient touche la courbe réelle, l'arc de la courbe réelle compris entre les points oh elle touche les deux conjuguées, enfin l'arc de la seconde conjuguée compris entré le point où elle touche la courbe réelle et la limite supérieure.

[^o> Uo] 6t [Xi, 3/i] désignant toujours les' limites de l'intégrale, si nous appelons [a, b], f«j, b^] les points oh. la courbe réelle touche les deux

conjuguées : l'intégrale / ydx pourra se décomposer en

ydx -\- ydx + ydx;

Xf^Vo ^ ah ^ aibi

cela posé, si nous rendons successivement l'axe des y fparalièle aux cordes réelles des deux conjuguées, en désignant par x', y', x'\ y" les variables x ei y transformées successivement dans les deux systèmes, par Go et C^, les caractéristiques des deux conjuguées, l'intégrale

Xab ydx pourra être remplacée par ~oyo

— -^+sinY'X / y'dx',

et l'intégrale l ydx par

^aibi

ydx pourra donc être égalée à

ij'dx".

Cette expression s'interprète aisément :

représente l'aire comprise entre l'arc de la courbe réelle qui s'étend du point [a, h] au point [Oj, ôj, les tangentes à la courbe en ces deux points et l'axe des x-, par conséquent l'expression entière, à la différence près

de sa partie algébrique -^ -^ , représente l'aire comprise entre

l'axe des x, les cordes réelles des deux conjuguées menées l'une d'une des limites, l'autre de l'autre, et enfin l'arc composé qui joint ces deux limites.

540. Du cas où les limites appartiennent à des conjuguées qui ne touchent pas la courbe réelle. — Quand les deux limites appartiennent à une même conjuguée, et qu'un arc continu de cette courbe s'étend entre elles, l'interprétation de l'intégrale ne présente aucune difficulté.

L'identité

ydx =^l^—^ + smrX y

dx'

montre que l'intégrale fournit toujours, à la différence près de la-

y\ — yl

quantité algébrique ■ , l'aire correspondant à l'arc de la conju-

guée qui s'étend entre les deux limites de l'intégrale, cette aire étant comprise entre des parallèles aux cordes réelles de la conjuguée.

Lorsque les deux limites n'appartiennent pas à une même conjuguée, on peut imaginer que le point mobile [x^ y], pour passer d'une des limites à l'autre, ait suivi l'arc de la conjuguée à laquelle appartient la. limite inférieure,] usqu'au point où cette conjuguée touche l'enveloppe

136 CHAPITRE xxvni.

imaginaire, qu'il ait ensuite parcouru celte enveloppe, jusqu'au point où elle touche la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure, enfin qu'il ait suivi cette dernière conjuguée jusqu'au point correspondant à la limite supérieure de l'intégrale.

La première et la dernière partie de l'intégrale ainsi décomposée représentent des aires connues; quant à la partie intermédiaire, engendrée par le déplacement du point mobile le long de l'enveloppe, elle se liera de même très-simplement, comme on va le voir, à l'aire de cette enveloppe.

La méthode qui nous servira h obtenir une interprétation simple de

l'intégrale / ydx , prise le long d'un arc de l'enveloppe imaginaire,

fournirait aussi bien l'expression géométrique de la même intégrale prise le long d'un parcours quelconque, mais le but que nous nous proposons étant de réduire autant que possible le nombre des parcours à considérer, nous n'aurons naturellement lieu d'appliquer celte méthode qu'à l'enveloppe imaginaire.

Soit AqA, un arc quelconque formé des points correspondant à une

suite continue mais arbitraire de solutions de l'équation du lieu \y, x], et A'oA'i l'arc dont tous les points auraient pour coordonnées les valeurs de X et de y, conjuguées de celles qui fournissent A^Aj.

L'arc A'oA'i fera ou non partie du

lieu selon que l'équation de ce lieu

aura ses coefficients réels ou en aura

d'imaginaires. Dans le second cas,

l'arc A'qA'j appartiendrait au lieu

représenté par l'équation conjuguée

de la proposée; mais cette remar-

Fig- 18. que n'a pas même d'importance

dans la question, car si l'on a pu

construire par points l'arc AoAj, on saura par là même construire l'arc

A'oAV

Soif, d'un autre côté MoM^ le lieu des milieux des cordes joignant les pomts de A^Aj aux points conjugués de A.'qX\ : les coordonnées de AqA^ seront a -f fi y/^ et a' -f fi' \J— i , celles de A'^A'i seront a — fi y/— 1 et a — fi \/ — 1 ; enfin celles de M^Mi seront a et a'. Gela posé, l'intégrale / ydx prise le long de A^A^ serait

!:(«' + fi' v/^)(^«+rfpv/^)

2 (aVa — ^'d^) -j- /-^ 2 (a'</fi -f fi't/a) :

DES INTÉGRALES SIMPLES. i37

mais si l'on représente par S^, S' et Sj les aires a^ A^ A, a^, a\ A'j A', a\ et WoMoMjm,, on aura évidemment

S = 2 (a' 4- P') (rfa -f t/p) = 2 (a'rfa + ^'rfp) + 2 (a'c?.^ + ^'^a) S' = 2 («' — ^') ((/a — c/p) = 2 («rfa -f- ^'rfp) ~ 2 (aV/^ + ^'t/a)

Sj = 2 (Jt'rfa, d'où l'on lire aisément

2 (a'rfa — ^V/^) = — 5i5. + 2S,

2(«V/.^ +pWa) = ^'.

Il en résulte pour la valeur de l'intégrale prise de A,, à A,

On trouverait de même pour l'intégrale prise de A',, à k\ *^'» S-fS' S — S' / — -

= r = 2s,-îi5.-"-=:iv/-i

Cette formule pourrait suffire à l'institution complète de la théorie des intégrales simples et de leurs périodes, comme je l'ai montré dans le XLiv' Cahier du Journal de r Ecole polytechnique, mais il nous suffira ici

de l'utiliser à l'interprétation de l'intégrale / ydx prise le long d'un arc

de l'enveloppe imaginaire. On voit combien cette intégrale s'exprime simplement en fonction des aires de deux segments de cette enveloppe et de l'aire d'un segment du diamètre lieu des milieux de ses cordes réelles.

341. Du cas où l'une des limites appartient à une conjuguée qui ne touche que la courbe réelle et où l'autre limite appartient à une conjuguée qui ne touche que l'enveloppe imaginaire. — Il arrive quelquefois que les conjuguées dont les caractéristiques sont comprises entre certaines limites ne touchent que la courbe réelle, et que celles dont les caractéristiques ne sont pas comprises entre ces limites ne touchent que l'enveloppe imaginaire des conjuguées. Le lieu représenté par l'équation

en offre un exemple : les conjuguées dont les caractéristiques ne sont

138 CHAPriRE XXVIII.

pas comprises entre — 1 et -|- 1 ne touchent que la courbe réelle, tandis que les autres ne touchent que l'enveloppe imaginaire.

En pareil cas, l'intégrale ne peut plus être réduite à trois parties seulement, elle en contient forcément quatre, dont la première se rapporte à l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la Hmite inférieure, correspondant à l'arc qui s'étend de cette limite au point de contact de cette conjuguée avec la courbe réelle; la seconde, à l'aire de la courbe réelle correspondant à l'arc qui s'étend du point de contact dont il vient d'être parlé au point de contact de la même branche de cette courbe réelle avec l'enveloppe imaginaire des conjuguées; la troisième, à l'intégrale prise le long de l'arc de l'enveloppe imaginaire qui s'étend du point de contact dont il vient d'être parlé en second lieu au point de contact de l'enveloppe imaginaire avec la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure; enfin la quatrième, à l'aire de cette conjuguée, correspondant à l'arc qui s'étend dli dernier point de contact dont il vient d'être question au point correspondant à la limite supérieure.

542. Du cas où la courbe réelle n'existe pas et où les limites appartiens nent à des conjuguées gui ne touchent pas l'enveloppe imaginaire. — Lorsque l'équation du lieu a quelques coefficients imaginaires, les conjuguées n'ont généralement pas d'enveloppe réelle. D'un autre côté, il est possible que les conjuguées qui touchent l'enveloppe imaginaire aient leurs caractéristiques comprises entre de certaines limites; on en a vu un exemple dans la discussion des conjuguées du cercle imaginaire. Il peut donc arriver que les conjuguées auxquelles appartiennent les deux limites ne puissent être réunies ni par Tenveloppe réelle, ni par l'enveloppe imaginaire. Mais alors l'enveloppe réelle est suppléée par quelques, points isolés, par lesquels passent toutes les conjuguées et qui peuvent servir de lien entre elles. Dans ce cas, l'intégrale peut se trouver ré-. duite à deux parties, dont l'une se rapporte à l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la limite inférieure, correspondant à l'arc de cette conjuguée qui s'étend de cette limite inférieure à l'un des points isolés dont il vient d'être question, et l'autre à l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure, correspondant à l'arc de cette conjuguée qui s'étend du même point isolé à la limite supérieure.

Mais il pourra aussi se faire que les deux branches de conjuguées qui passent par les deux limites ne contiennent pas un même point isolé, auquel cas il faudrait avoir recours à une troisième conjuguée, réunissant deux points isolés appartenant l'un à celle des branches de la première, qui passe par la limite inférieure; l'autre à celle des branches dela seconde, qui passe par la limite supérieure.

Quel que soit donc le cas que l'on examine, la méthode permettra

toujours d'exprimer la valeur d'une intégrale / ydx au moyen des aires des segments de deux ou trois courbes définies.

545. Séparation des m^ valeurs d'une intégrale dont la dérivée est une

racine d'une équation algébrique de degré m. — On définissait jusqu'ici une intégrale en donnant les valeurs extrêmes de la variable indépendante, lesquelles prenaient le nom de limites de l'intégrale. Quoiqu'une intégrale ne soit pas encore complètement définie lorsqu'on donne à la fois les limites par rapport à la variable indépendante et par rapport à

la fonction placée sous le signe / , nous avons cependant préféré ne

donner le nom d'intégrales définies qu'aux intégrales prises entre des limites déterminées à la fois par rapporta la variable indépendante et par rapport à la fonction.

Lorsqu'on ne donne que les valeurs Initiale et finale, x^ et x^ de la variable indépendante x, on peut associer à la limite inférieure x^ chacune des m valeurs y^ ^^ y^^ ^^... y^ ,„ de la fonction y, qui correspondent à Xq et, de même, associer à la limite supérieure x^ chacune des m valeurs y^^ ,^ y^^ 2,-"2^i m , tle la fonction, qui correspondent à la valeur j?! de X.

Si l'on combine de toutes les manières possibles les limites inférieures et supérieures, on obtiendra m^ intégrales distinctes. Ces m* valeurs de l'intégrale

ydx

ne restaient pas seulement confondues, ce qui n'aurait eu aucun inconvénient, si l'on avait pu assigner les m* valeurs de l'expression

ydx,

mais il n'existait pas de méthode pour les distinguer et les obtenir séparément, sous forme finie, sous forme de séries, ou par approximation.

La méthode d'interprétation concrète des intégrales définies, exposée dans ce qui précède, lève entièrement la difficulté, ou plutôt la fait évanouir. Les m* valeurs de l'intégrale sont en eff"et les sommes des éléments de l'intégrale prise le long des m^ arcs qui réunissent les tn limites inférieures aux m limites supérieures, ces arcs étant formés des branches de conjuguées qui passent par les limites, terminées d'une part à ces limites et de l'autre aux points où elles touchent l'une ou l'autre enveloppe, et des branches de l'enveloppe réellq ou de l'enveloppe imaginaire qui relient les points de contact dont il vient d'être question, l'enveloppe réelle et l'enveloppe imaginaire pouvant d'ailleurs concourir ensemble ou séparément à réunir ces points de contact et devoir d'ailleurs dans certains cas être supplééespar des points isolés, qui en représenteraient des anneaux évanouissants.

544. Intégration par approximation. — Non-seulement on n'avait

jusqu'ici aucune méthode pour distinguer les unes des autres les m" valeurs d'une intégrale / ydx, mais on n'en possédait non plus aucune

pour calculer sûrement par approximation l'une de ces m^ valeurs, par exemple,

ydx.

^0. Vo, n

On avait bien, en efFet, proposé dans ce but, de décomposer le q,\\qmindea; = arQàx=ari en parties assez petites pour que la série de Tayior restât convergente entre les extrémités de chaque partie, de façon à pouvoir appliquer de proche en proche la méthode d'intégration par série. Mais outre que ce procédé est loin d'être pratique, on ne donnait aucun moyen de faire les sections de manière qu'en partant de y = yo,n pour correspondre à ^ = a^o, on tombât précisément sur y=y^ p au moment oti l'on serait arrivé à x =Xi ; de sorte qu'en cherchant à obtenir

ydx,

on aurait eu m -^1 chances de tomber sur l'une des m autres valeurs de

I ydx.

«-' Xn. lin. .1

Au contraire, la méthode d'interprétation contenue dans ce qui précède supprime d'abord toute possibilité de confusion entre les m valeurs de

ydx,

mais fournit en outre le moyen irnmédiat d'appliquer au calcul de celle que l'on veut d'entre elles les méthodes de quadrature approchée. En effet, pour calculer les aires correspondant aux arcs de conjuguées qui passent par les limites assignées à l'intégrale, on peut les diviser par des ordonnées équidistantes, parallèles aux cordes réelles de ces conjuguées et appliquer alors l'une des formules de Simpson ou de Poncelet. Il suffit pour cela de calculer les parties réelles et imaginaires de ces ordonnées. D'un autre côté si une branche de la courbe réelle doit servir à réunir les deux branches de conjuguées qui passent par les limites, les mêmes formules sont directement applicables à la quadrature approchée du segment correspondant de cette courbe réelle. Enfin si une branche de l'enveloppe imaginaire des conjuguées doit réunir les deux branches de conjuguées qui passent par les limites, le théorème du n" 340 permettra d'appliquer les mêmes formules de

DES INTEGRALES SIMPLES. 141

quadrature approchée à l'évaluation de l'intégrale / ydx prise le long de l'arc assigné de cette enveloppe.

54S. Intégration par série. — Nous nous occuperons ici seulement des équations où n'entre pas la variable dépendante, qui, par conséquet, se présentent sous la forme

ou plus généralement

L'intégration, par la série de Taylor, d'une équation de la forme

présentait des difficultés qui rendaient peu sûr l'emploi de cette mé thode : et ce n'est pas de l'incertitude qui pesait encore sur la limite de la région de convergence que j'entends parler ici, car, en évitant tous les points critiques indistinctement, on pouvait du moins être certain que la série employée resterait convergente, en sorte qu'ayant

du développé -^ et par suite, par intégration, y, de la limite inférieure

Xo, numérique, à une limite variabe Xi, telle que le module de {x^ — Xq) ne dépassât pas une certaine quantité R^, on pouvait attribuer à Xi l'une des valeurs que cette variable pouvait prendre, développer de nouveau -j^, et par suite y, de la valeur numérique Xy à une

une nouvelle limite variable x^, telle que le module de {x^ — x^) ne dépassât pas une nouvelle quantité Rj, et ainsi de suite, ce qui eût fourni pour y une expression de la forme

/d/A X, — X, /dy\ {x; — x,y "^ \dxj, l "^ \dx^/\ 1.2 "^"' /dy\ X, — X, f(Py\ {x^ — x^Y

"•" W;, 1 "^ \dxy^ 1.2 "^••'

fdy\ Xn+, — Xn . (d^\ {Xn+^ — Xn?

142 CHAPITRE xxvni.

puisque la constante introduite dans chaque nouvelle intégration, devait avoir pour valeur celle que l'intégration précédente avait donnée pour?/.

Mais, en premier lieu, s'il eût fallu recourir à la sommation effective

des suites précédentes, pour former la valeur initiale de (—Y qui devait servir à composer la nouvelle suite qu'on eût voulu ajouter au développement, la longueur des calculs d'abord, mais surtout l'incertitude qui eût nécessairement pesé sur les résultats à obtenir, eussent fait renoncer à l'emploi de cette méthode.

En second lieu, et ce point a beaucoup plus d'importance, on n'eût pu, en tout cas, régler les étapes de x de manière à pouvoir répondre d'obtenir successivement ou séparément toutes ou chacune des m^ valeurs de y dont les dérivées, au départ, représentées par les différentes racines de l'équation

seraient devenues, à l'arrivée, celles de l'équation

On eût bien pu, pour former la première suite, prendre successivement pour (y- j toutes les racines de l'équation

et avancer de proche en proche vers Xn+i ; mais on manquait d'une

règle qui permit de prévoir sur quelle valeur de [ y- 1 on tomberait

à la fin du calcul. On pouvait bien recommencer en adoptant de nouvelles étapes pour x, mais on ne pouvait pas être assuré de ne pas retomber toujours sur les mômes combinaisons ; enfin, si quelques nouveaux essais avaient successivement conduit à de nouvelles combinaisons, on n'avait pas de règle certaine pour parvenir à celles qui se seraient dérobées jusque-là.

Ces difficultés n'existent plus maintenant.

En premier lieu, quand on aura formé les p premières suites qui, conformément à la marche adoptée, devront fournir le développement

de y, de x^ h Xp , au lieu de calculer la valeur de f — j , qui doit

concourir à la formation de la {p + 1)'^"** suite, par la sommation directe de

[uation

qui la fournira plus aisément et avec une approximation dont, au moins, on pourra répondre.

En second lieu, la méthode que nous avons donnée pour reconnaître parmi les racines de l'équation

celle que représente le développement de la fonction, dea^p i hxp, cette méthode est évidemment réciproque, c'est-à-dire qu'on pourra en renvcrser'remploi et choisir Xp de manière que le point d'arrivée [xp, yp] satisfasse à telle condition donnée qu'il pourrait remplir, qu'il se trouve, par exemple, sur une conjuguée désignée que rencontre la région de convergence.

On pourra ainsi, par étapes réglées à l'avance, amener le point [x, y] du point [Xq, yj à celui des points [x„+i, y] que l'on voudra.

En déterminant ainsi les m^ chemins que x devrait suivre successivement pour que -j- parvînt de chacune de ses m valeurs qui correspondent à x^ à chacune de ses m valeurs qui correspondent à x^+i (n est ici un nombre variable, mais Xn+{ est la valeur finale de x), on obtiendra les m* intégrales de l'équation proposée ; Xn+i y représentera une variable assujettie à des conditions d'inégalité différentes dans des intégrales différentes.

La même méthode s'appliquerait évidemment à une équation différentielle d'ordre supérieur.

les m* intégrales de cette équation contiendraient comme constantes

(dy\ /rf«-iy\

arbitraires ?/„, I 1 ,..., ( ^^ 1 . Mais le calcul arithmétique des

valeurs de ( -^ ) , ( -^, | ,..., ( -, — ^ 1 , ( ^ ) , nécessaire à la forma-

5e ferait plus auj I j-^ 1 serait bien toujours fourni par l'équation

dxj p \dx / p \ux" •/ p \uu^"/p

tion de la /) -f- l''^'"« suite, ne se ferait plus aussi simplement que dans le cas précédent.

fy^'p,

d~^i ) '■ ■' viT ) ^^^'"^^^"^ ^^^^ séparément calculés par la sommation directe des suites qui les représenteraient et qu'on aurait formées précédemment par intégrations répétées du développement

de -j^.

Prenons pour exemple l'équation

dont l'intégrale générale fournirait la quadrature de la courbe

z^ — aH + «'^ = 0 et de ses conjuguées.

Si l'on voulait effectuer l'intégration entre des limites

correspondant à des points du lieu

situés l'un sur une branche d'une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc LM (fig. 12) et l'autre sur une branche d'une conjuguée tangente à la branche L'N, ce qui serait le plus grand écart possible, on prendrait les points intermédiaires successifs sur des conjuguées dont les points de contact avec la courbe réelle marchassent dans le sens MLOL'N, en évitant, pour plus de simplicité, les conjuguées tangentes à l'enveloppe imaginaire, puisqu'il ne servirait à rien d'y passer d'abord, pour en sortir ensuite, ce qui, au reste, obligerait à passer par l'origine des coordonnées pour changer de demi-conjuguée. Quand on serait près du point d'arrivée, on repasserait ou non une dernière fois sur la courbe réelle, suivant que l'avant-dernière station et la dernière seraient en des points situés de côtés différents ou du même côté, sur leurs conjuguées respectives, par rapport aux points de contact de ces conjuguées avec la courbe réelle.

THÉORÈME DE l'iNDÉPBNDANCE DE LA VALEUR D'L'NE INTÉGRALE SIMPLE PAR RAPPORT A LA LOI DE PROGRESSION DE LA VARIABLE, LES LIMITES RESTANT LES MÊMES.

546. Nous avons, dans le chapitre précédent, indiqué, pour chaque système de valeurs de la variable et de la fonction, aux limites, la somme la plus simple d'aires définies qui pût constituer une valeur de l'intégrale. Il s'agit de montrer que toutes les autres se ramènent à celle-là, à des constantes près, et de fixer les conditions dans lesquelles l'intégrale peut varier, les limites restant les mêmes.

Nous commencerons par définir une valeur quelconque de l'intégrale.

Soient l'équation qui définit une fonction y liée à la variable x;

deux valeurs de x et de // qui se correspondent et qui seront les valeurs initiales de x et de y ;

X = a + fi V'^

une quelconque des valeurs qu'on attribuera à x;

Q (a, fi) == 0

une relation admettant la solution

et destinée à régler la loi de progression suivie par x.

Lorsque a variera à partir de a^, [i variera à partir de Po, et si Tinterprétation de l'équation cp (a, P) = 0 pouvait donner lieu à quelque difficulté, ce qui arriverait par exemple si [à prenait momentanément une valeur multiple, on supposera qu'on ait levé d'avance cette difficulté

en convenant h volonté de celle de ses valeurs que fi devra prendre après avoir passé par sa valeur multiple.

La marche de x étant ainsi réglée, celle de y le sera par là même, si Ton suppose que cette fonction soit assujettie à varier d'une manière continue, à moins toutefois qu'elle ne passe par une valeur multiple, auquel cas on devrait de même lever préalablement la difficulté en convenant encore de celle de ses valeurs que ?/ devrait prendre après avoir passé par sa valeur multiple.

La marche de y étant ainsi réglée, nous désignerons par a' + fi' \J — 1 la valeur unique que prendra cette fonction pour chaque valeur de x.

Gela posé, si a^ est la valeur finale que l'on veut attribuée à «, que l'on divise a^ — a^ en parties tendant toutes vers zéro, que Ton fasse croître successivement a de chacune de ces parties et que l'on conçoive la somme des produits de chaque valeur de y, correspondant à la dernière valeur qu'aura prise a, par l'accroissement total <de x, correspondant au nouvel accroissement que devra prendre a, cette somme tendra

vers une certaine limite qui sera l'une des valeurs de l'intégrale / ydx

et que l'on pourrait obtenir au moyen de la formule du n° 340.

■ j 547. Si réquation

venait à changer un peu, de sorte toutefois qu'elle continuât d'admettre les solutions [a = ao, p = pj et [a = «j , ^ = [ij, les courbes AqA, , A'oA'i etMoMiSe déformeraient aussi un peu, et par suite S, S' et Sj changeraient

séparément de valeurs ; mais, quant à l'intégrale j ydx,

elle conserverait rigoureusement la même valeur, à moins de circonstances particulières, que l'étude de la question va faire connaître.

Le fait serait évident si l'on savait d'avance qu'il existât une fonction Y ayant pour dérivée la fonction y, parce que l'intégrale cherchée

serait une des valeurs de cette fonction Y, pour x = a, -j- I^i V^ — 1» et que cette valeur ne dépendrait pas des valeurs intermédiaires de a et de p, si du moins ces valeurs n'avaient changé qu'assez peu pour que Y n'eût pas pu prendre des valeurs égales dans l'intervalle; mais la fonction Y, quoiqu'on puisse toujours en concevoir l'existence, est quelquefois complètement indéterminée, pour toute valeur de x, à moins que l'on ne tienne compte de la succession des valeurs que l'on a données à cette variable, de sorte qu'on ne peut pas s'appuyer sur l'existence de la fonction Y pour en conclure l'indépendance, dans de certaines limites, de

la valeur de l'intégrale / ydx, par rapport à la loi de progression de x.