INDÉPENDA.NGE DE L INTÉGRALE ET DU CHEMIN

Il y aura, au contraire, avantage à établir directement cette indépendance, parce que s'il est constaté que

ydx

ne dépend que de a, -f- [i>y \J— i , pourvu que les valeurs intermédiaire? de a et de ^ soient restées circonscrites dans de certaines limites, il en résultera, sinon la notion de la fonction indéfinie Y, dans le cas où elle serait réellement indéterminée, du moins celle de cette fonction considérée à un point de vue assez restreint pour qu'elle ne pût au contraire acquérir qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable.

La démonstration suivante, fondée uniquement sur les principes élémentaires du Calcul différentiel, a tous les avantages que l'on peut souhaiter.

Tout se réduit évidemment à faire voir que, pour former les éléments successifs de l'inlégrale, on pourra faire varier séparément et successivement la partie réelle et la partie imaginaire de x, au lieu de les faire varier ensemble, et intervertir l'ordre de deux variations consécutives; car, s'il en est ainsi, on pourra déformer insensiblement la relation cp (a, (à) = 0, et l'amener de proche en proche à ce que l'on voudra, en reportant, par exemple, d'abord chaque d^ sur le dx précédent, puis chaque nouveau </« sur le nouveau dx précédent, et ainsi de suite.

Or les deux propositions qui viennent d'être énoncées se traduisent par les égalités

F (a -f- ^ \l~i) (rfa + d^ sl~{)

= F (a-f fi y/^) doL-{-F [(a + (/a) + ^ v^ZT] d^ V^ = F (a -f- ^ V^ITT) rf^ y/ITT + F [a + (^ + rf^) y/irïj rf«,

qui sont évi^lemment justes, mais à la condition toutefois que

F [(a -f rf«) + ^ y/^] et f[« + (P+#)v/^

ne diffèrent de

F (a -f [i sj^)

que de quantités infiniment petites, c'est-à-dire que

F(a + [iv^) ni F'(«-f^V^)

ne soient pas infinies; ni, du reste, les dérivées suivantes de P {x)\ car, s'il en était autrement, on ne pourrait pas répéter la môme démonstration pour un nouveau changement d'ordre; à condition même que

148 CHAPltRE XXIX.

ne soit pas une valeur multiple de y, dont les dérivées se séparent à partir d'un certain ordre sans devenir infinies, car, dans ce dernier cas, la marche ultérieure de la fonction pourrait être changée.

On peut donc poser en principe que l'équation <p (a, [i) = 0 restant toujours satisfaite par a^a^, avec ^ = Po» et par a = ai, avec [i = Pj, et y parlant d'ailleurs toujours de la même valeur initiale

y^ =2 a'o -I- fl'„ y— \ , l'intégrale / ydx conservera la même

valeur, quelque modification que l'on fasse subir à l'équation cp (a, [i) = 0, pourvu que dans ses formes successives elle n'admette jamais une solution a =:«!, [â=éi, à laquelle correspondrait une valeur infinie ou multiple de y, valeur que cette fonction devrait d'ailleurs atteindre au moment où x atteindrait la valeur a^ -{- ^, y— 1 ; car si, en raison de sa valeur initiale et de la continuité à laquelle elle serait restée astreinte, la fonction y devait alors prendre une des valeurs finies et non multiples qui correspondent à a? = «i -f~ *i V"^l» i^ ^st clair que la démonstration s'appliquerait encore (1), comme je l'ai fait remarquer en 1859 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées.

(1) Je crois devoir observer ici que, si j'admets au nombre des systèmes de valeurs de a et de p que ne doit pas comporter l'équation cp (a, p) = 0, dans ses modifications continues, celles auxquelles il correspondrait pour y des valeurs multiples tlont les dérivées se séparassent à partir d'un certain ordre, &ans devenir infinies, c'est parce que l'intégrale J xjilx n'a été définie en quelque sorte que physiquement, et que d'ailleurs la fonction intégrale Y ne pourrait généralement pas être conçue comme fonction analytique.

Car, lorsque cette fonction Y pourra être formulée, elle ne devra pas être considérée comme pouvant acquérir plusieurs valeurs difi"érentes au delà d'un point où y aurait pris des valeurs égales, parce que la condition de continuité ne consiste pas seulement en ce qu'une fonction ne saute pas brusquement d'une de ses valeurs îi une autre, correspondant à la même valeur de la variable, mais encore en ce que les dérivées de tous les ordres de cette fonction varient également d'une manière continue.

Pour s'en assurer^ il suffit de définir analytiquement, sinon la fonction intégrale indéfinie Y, du moins le segment le plus étendu de cette fonction que l'on puisse Concevoir nettement et de recourir, pour cela, à son développement en série. On peut toujours concevoir la fonction Y comme définie, dans les limites où la série reste convergente, par l'intégrale

do la fonction

'dy\ X — Xq ((i-y\ (x — 3'n)^

^ \dx)^ i ^ \dx^j

qui représenterait dans les mêmes limites (car les deux séries seront en irlème temps convergentes ou divergentes) le segment correspondant de la fonction y.

INDÉPENDANCE DE L'iNTÉtîRALE ET DU CHEMIN.

348. Nouvelle expression des conditions que doit remplir un parcours fermé pour que l'intégrale correspondant à ce parcours ne soit pas nulle. — Les analystes n'avaient pas imaginé, avant Gauchy, qu'une intégrale prise entre des limites identiques pût être différente de zéro. On regardait, par habitude, la nullité de l'intégrale comme allant de soi : au contraire, les idées s'étant élargies, c'est presque l'ancienne opinion qui devient singulière; aujourd'hui, c'est la nullité de l'intégrale qui a besoin d'être établie quand il y a lieu.

D'après ce qu'on vient de voir dans le numéro précédent, pour que

l'intégrale / ^dx, relative à un parcours fermé cp (a, (â) = 0, soit iden-

tiquement nulle, il suffit que la suite des valeurs de x, déterminée par l'équation 9 (a, ^) = 0, puisse se réduire, par des déformations continues, à la valeur unique Xq, sans que l'équation variable «p (a, P) = 0 ait admis une seule fois pour solution le système des parties réelle et imaginaire

d'une valeur Oj -[- b^ V — 1 de x, à laquelle correspondrait une valeur infinie ou multiple de y, valeur que cette fonction devrait d'ailleurs acquérir alors.

Le théorème de Gauchy est incontestable ; mais la démonstration de l'illustre analyste l'établit sans l'expliquer, et, comme la question est à la fois très-importante et très-délicate, je crois devoir donner du fait l'explication suivante qui, non-seulement, dissipera tous les doutes, mais encore fera porter, comme cela devait être, sur le parcours cp(a, P) =0 lui-même, les conditions qu'il doit remplir, au lieu de les laisser porter sur une relation d'extranéité entre la suite de solutions fournies par l'équation o (a, fi) =: 0 et un système de valeurs de a et de ^ auquel corresponde une valeur singulière de y.

Pour se rendre nettement compte des faits, il suffit de ramener la question au poinl> oti on la considérait autrefois, quand on n'attribuait aux variables que des valeurs réelles, et, pour cela, il n'y a qu'à obser-

Or la fonction

/dy\ x Wo

n'étant affectée d'aucune indétermination, lorsque la fonction y définie par l'équation

prend des valeurs égales, auxquelles correspondent des valeurs différentes de ses dérivées d'ordres assez élevés, il en sera de même de la fonction intégrale

Vo {x

/dy\ ij.

C'est, je le répète, de la somme des éléments t/dx, définio comme elle a pu l'ôtre, et non de l'intégrale Y, en cas qu'elle existe, que l'on peut dire qu'elle pourrait prendre des valeurs distinctes à partir du moment où la fonction ;/ aurait pris une valeur multiple dont la substitution ne rendît infinie aucune dérivée de cette fonction y.

JÎJO CHAPITRF >;XIX.

ver que la condition introduite cp (a, fi) = 0, jointe aux deux équations dans lesquelles se décompose

/■ (« + ^ ^/ZT, «' |. ^' ^Zl) = 0,

ne laisse plus subsister que l'indépendance d'une seule des variables a, p, a' et p', de sorte que, dès l'introduction de cette condition, chacune des quatre variables devient une fonction déterminée de celle que l'on veut des trois autres.

L'intégrale se compose de quatre parties

2a'c?a, — 2^W^, V^ -«'^P' et y^^S^'^a,

dont chacune, abstraction faite du signe qui l'affecte, est, d'après ce qui vient d'être dit, une intégrale d'une différentielle dépendant d'une variable réelle, puisque dans chacune on peut considérer le facteur fini, placé sous le signe 2, comme une fonction de la variable dont le facteur infiniment petit est la différentielle.

Dès lors il est évident que chacune des parties de l'intégrale sera identiquement nulle si, dans les limites où varie la variable indépendante, a ou p, la fonction a ou (i' n'a pu passer par une valeur multiple : absolument par la même raison que, par exemple, l'intégrale / ydx prise le long de la circonférence du cercle

repasse nécessairement par zéro chaque fois que la limite supérieure revient se confondre avec la limite inférieure, lorsque x est resté compris entre + R et — R, sans avoir pu atteindre ces valeurs, parce qu'alors le point [x, y] n'a pu se mouvoir que sur l'une des demi-circonférences séparées par l'axe desx.

On comprend donc parfaitement que si les valeurs initiales x^, y^ de a? et de y ne présentent elles-mêmes rien de particulier, et que les limites assignées à a et à |â par la condition ç (a, p) =0 soient assez peu étendues, les quatre parties de l'intégrale devront être séparément nulles, les points dont les coordonnées seraient a et a, |â et a, a et ^ ou p et p', parcourant alors les. mêmes arcs en sens contraires lorsque a et fd croissent d'abord de leurs limites inférieures à leurs limites supérieures, et repassent ensuite par les mêmes valeurs, en revenant de leurs limites

supérieures à leurs limites inférieures.

ji D'ailleurs la condition — := oo , par exemple, jointe aux deux équa-

tions dans lesquelles se décompose

ferait elle-même de ^ une fonction de a, déterminée par une équation telle que «f («, ^) = 0.

du « et de ^ pour lesquels ~-, c est-à-dire

INDÉPENDANCE DE l'iNTÉGRALE ET DU CHEMIN.- 1 SI

De sorte que si les deux équations

;p(a,P) = 0 et •H«n^) = 0

n'avaient pas de solutions communes, on serait assuré que la'dct serait identiquement nul. Les autres parties de l'intégrale 2p'c?^, Sst'rf^ et ]S|i^Wa donneraient évidemment lieu à des observations analogues.

Ainsi, en général, quand l'intégrale est nulle, les quatre parties qui la composent sont séparément nulles, et l'on peut d'ailleurs assigner pour chacune d'elles une condition sous laquelle elle sera certainement nulle.

On peut encore remarquer que les systèmes de valeurs de a et de ^

pour lesquels -7- , t" ' "7^ et -4r sont infinis, forment des suites continues admettant pour solutions communes les systèmes de valeurs de c'est-à-dire

do! -|- d^' \^\

d<x 4- d'^ V --Ï ' est infini.

Cette remarque explique pourquoi les solutions des deux équations

nx,y) = 0 et f'y{x,y) = Q

ont pu prendre une si grande importance apparente dans la théorie ; mais on voit en même temps que rien dans les faits ne. pouvait investir ces solutions d'une prépondérance exclusive telle que toute la théorie dût nécessairement rouler sur leur intervention. Au contraire, il eût été .plus naturel de rattacher la non-réduction à zéro de l'intégrale à des conditions différentes

di' d% d'^' d^'

-r-=X, -— =0C, — -r=;X> Ct -—=00,

doi dp d« dp '

remplies successivement et séparément en divers points du parcours,

qu'à la condition -^ = x , qui les comprend bien toutes quatre, mais à

laquelle ne satisfait aucun des systèmes de valeurs attribuées à x et à y, en raison du parcours.

Du cas où l'équation qui définit la fonction placée sous le signe sommatoire a ses coefficients réels.

549. Des périodes engendrées dans le parcours de la courbe réelle. — L'expression analytique de l'aire d'une courbe fermée prise entre deux limites quelconques, ne peut être que le terme général d'une progression par différence, ayant pour raison l'aire de la surface totale comprise dans l'intérieur de cette courbe fermée; car au chemin qui conduit le plus directement d'un point de cette courbe à un autre, on peut toujours ajouter un nombre quelconque de tours entiers laits sur sa circonférence, et chaque tour fait ajoute à l'intégrale l'aire de la surface intérieure.

En effet, l'ordonnée étant y == ç (x) dz'\i (x), l'intégrale prise en faisant le tour de la circonférence est, si a et h sont les valeurs limites de X,

Jcp {x) dx -\- I 'h (x) dx -{- j ■ (û {x) dx -\- —'h{x)dx

l '^{x) dx,

ty a

c'est-à-dire deux fois l'aire de la surface comprise entre la courbe et son diamètre, ou l'aire même de cette courbe.

Ainsi, / dx \/r^ — x^ doit avoir pour période l'aire du cercle y z= y/R2 — x^ OU 7:11^ et, en effet,

dx VR' — ^^ = — — ^ + -^ R' arc sin - ,

dont la période est ttR^.

L'aire indéfinie d'une courbe composée d'anneaux fermés aura de même pour périodes les aires des surfaces des différents anneaux.

Cette expUcation de l'existence des périodes réelles, dans las cas où

la différenlielle placée sous le signe d'intégration est celle de l'aire d'une courbe fermée, était de nature h se présenter d'elle-même à tous les esprits un peu droits.

5S0. Des périodes engendrées dans le parcours des conjuguées. — La théorie des aires des conjuguées fournira, dans des termes analogues et aussi simples, l'explication des périodes imaginaires des intégrales. • Il suffit, pour arriver à cette explication, de remarquer que si une courbe réelle a pour conjuguées des courbes fermées, la somme des éléments de l'intégrale quadratrice, correspondant à un chemin quelconque parcouru sur les branches réelles de cette courbe, peut s'augmenter, à un endroit quelconque du chemin, de la somme des éléments correspondant au parcours entier de la circonférence de la conjuguée tangente en ce point à la courbe réelle; et qu'un premier tour achevé, on peut le recommencer un nombre quelconque de fois avant de poursuivre sur la courbe réelle ; en sorte que la somme des éléments de l'intégrale correspondant à un parcours entier de cette conjuguée, si elle n'est pas nulle, doit nécessairement former une période de l'intégrale indéfinie qui représente l'aire de la courbe considérée.

Habituellement, quand on part d'un point pour y revenir, la somme des éléments de l'intégrale est nulle d'elle-même; mais il n'en sera pas ainsi lorsque le parcours se fera sur une conjuguée fermée : la somme des éléments représentera le produit par \J — 1 de l'aire de celte courbe.

En effet, lorsque le point [x, yj parcourra de gauche à droite la moitié supérieure de la conjuguée, les éléments ydx de l'intégrale formeront, en s'ajoutant, l'aire du diamètre de la conjuguée, plus l'aire imaginaire comprise entre la conjuguée et son diamètre, au-dessus de ce dernier, et lorsque le point [x, y} parcourra en sens contraire la moitié inférieure de la conjuguée, les éléments de l'intégrale, ajoutés, formeront l'aire imaginaire comprise entre la conjuguée et son diamètre, au-dessous de ce dernier, moins l'aire du diamètre.

Quelle que soit l'expression trouvée de l'aire de la courbe considérée, comprise entre deux limites quelconques, elle devra donc admettre comme période le produit par sj — 1 de la mesure de l'aire d'une quelconque des conjuguées fermées de cette courbe.

On serait en droit de conclure de là que les aires des conjuguées fermées d'une môme courbe doivent être toutes égales entre elles, ou, du moins, que ces conjuguées se rangeront en quelques catégories dans chacune desquelles toutes les conjuguées auront même aire.

En effet, si l'intégrale ne doit avoir qu'une période imaginaire, il faudra bien que toutes les conjuguées fermées qui la donnent séparément aient même aire, et la raison qui légitime cette conclusion doit être évidemment de nature j\ pouvoir s'étendre au cas oti il y aurait plusieurs catégories de conjuguées fermées comprises entre des branches différentes de la courbe réelle.

Mais il convient de donner une démonstration directe d'un fait aussi important.

551. Théorème de l équivalence des aires des conjuguées fermées d'une même catégorie. — Soient [Xç„ yj, [a^j, y^], les points réels oii l'une des conjuguées fermées d'un lieu touche la courbe réelle, et [xQ-\-dXf^, y^ -\- dy^], [x^ -}- dx^, y^ -f- dy^ ceux où une conjuguée infiniment voisine touche la même courbe réelle : en vertu du théorème de l'indépendance de l'intégrale envers le chemin parcouru, l'intégrale aura la même valeur, soit que le point [x, y] décrive l'arc de conjuguée qui s'étend du point [x^, y^ au point [x^, yj, ou bien l'arc de la courbe réelle qui va du point [x^, y^ au point [Xq-\- dx^, y^ -\- dy^], l'arc de conjuguée qui va du point [Xq -\- dXf,, y^ 4" %o] ^^ point [a^j -|- dx^, y^ -\- dy^], et enfin l'arc de la courbe réelle qui va du point [x^ -\- dxy, y, -\- dy^ au point [x,, yj; la partie imaginaire' de l'intégrale, dans les deux cas, aura donc la même valeur; mais nous savons que, dans le premier cas, la partie imaginaire de l'intégrale représentera la moitié de l'aire de la première conjuguée, et, dans le second, la moitié de l'aire de la seconde; les aires de ces deux conjuguées sont donc égales.

C'est ainsi que toutes les conjuguées d'une même hyperbole ont même aire, comme cela résultait déjà du second théorème d'Apollonius. Quant [au théorème général que nous venons d'établir, on voit qu'il consiste en une extension aux courbes de tous les ordres du second théorème d'Apollonius.

On tire de la démonstration même du théorème précédent cette conséquence, qui peut avoir de l'intérêt, que la différence des aires de deux diamètres d'une même courbe dans un intervalle où les cordes sont imaginaires, est égale à la différence des aires correspondant aux arcs de la courbe réelle, qui se terminent aux points où ces diamètres la coupent.

La démonstration précédente rend aussi raison de ce fai^, qu'une intégrale, prise entre deux limites réelles appartenant à deux branches voisines de la courbe réelle, qui comprennent entre elles des conjuguées fermées, ne peut comprendre, dans sa partie imaginaire, qu'un nombre impair de demi-périodes correspondant à l'aire d'une de ces conjuguées, tandis que c'est le contraire lorsque les deux limites appartiennent à une même branche.

/^' dx r —

— est représenté par Vx -\- SKtt y — 1

/—* dx I

— l'est par L.r -f- (2K + 1) w V

532. Remarque. — Nous venons de montrer que la valeur de l'intéprise le long d'un anneau fermé de conjuguée, est le

tandis

grale J ydx,

produit par sj — 1 de l'aire de cet anneau, que les anneaux fermés de conjuguées compris entre les mêmes branches de la courbe réelle ont même aire; enfin que le produit par y/ — 1 de l'aire d'un de ces anneaux est une des périodes imaginaires de l'intégrale quadratrice.

DKS PÉRIODES DES INTÉGR.VLES SIMPLES. 155

Les anneaux fermés de conjuguées ne sont pas les seuls contours fermés qui jouissent de ces propriétés. Qu'on imagine, en effet, entre les deux branches de la courbe réelle qui comprennent des anneaux fermés de conjuguées un contour arbitraire remplissant seulement les deux conditions de toucher la courbe réelle en deux points situés sur les deux branches, et d'être formé de points deux à deux imaginaires conjugués, ce.contour jouira exactement des mômes propriétés qu'un anneau de conjuguée, c'esl-à-dire qu'il enveloppera une aire constante, que le produit de cette aire par y/^^ sera la valeur de l'intégrale prise le long du contour et que ce produit sera l'une des périodes imaginaires de l'intégrale quadratrice.

En effet, soient AMENA le contour considéfré, A et B les deux points où il touche la courbe réelle, et AQB le lieu des milieux des cordes joignant les points de AMB à leurs imaginaires conjuguées sur ANB.

Les formules du n° 340 donneront, pour l'intégrale prise le long de AMB, parcouru de A vers B,

et pour l'intégrale prise le long de ANB, parcouru aussi de A vers B

Fig. 19.

S, S' et S, désignant les aires des segments

correspondant aux arcs AMB, ANB et AQB, comptées positivement.

Mais la valeur de l'intégrale prisele long du contour entier AMBNA sera

la différence de ces deux intégrales et aura par conséquent pour valeur

I — r = (S — S') v/^ = [AMBNA] v/^.

D'un autre côté, le contour en question pourra être considéré comme produit par une déformation continue d'un anneau de conjuguée, en sorte que l'intégrale prise le long de ce contour aura la même valeur que l'intégrale prise le long de l'anneau de conjuguée, c'est-à-dire sera égale au produit par \' — 1 de l'aire de cet anneau de conjuguée.

Ainsi les contours fermés composés de points imaginaires conjugués deux à deux ont bien même aire que les anneaux de conjuguées compris entre les mêmes branches de la courbe réelle. Mais le théorème, appliqué aux conjuguées, présente un intérêt bien plus grand, parce que ces conjuguées sont des courbes algébriques définies.

533. Des périodes engendrées dans lepatrours de l'enveloppe imaginaire. — La considération de4'enveloppe imaginaire des conjuguées fournira la troisième classe de périodes.

Ces périodes sont les valeurs de l'intégrale quadratrice, prises le long des anneaux fermés de l'enveloppe imaginaire des conjuguées ; elles pour»

ront être réelles, imaginaires sans parties réelles, ou mixtes. Ces trois cas sont faciles à distinguer.

En supposant toujours, comme dans ce qui précède, que l'équation f[x,y)= 0 ait tous ses coefficients réels, les points de l'enveloppe imaginaire seiont toujours conjugués deux à deux, mais ses anneaux pourront être constitués de différentes manières.

En premier lieu, un anneau pourra réunir deux suites de points imaginaires conjugués, ou bien être formé de points dont les conjugués formeraient ailleurs un autre anneau fermé.

D'un autre côté, dans la première hypothèse, il pourra arriver soit que les deux suites de points imaginaires conjugués se rejoignent à leurs extrémités par deux^Doints réels, c'est-à-dire que l'anneau de l'enveloppe imaginaire touche la courbe réelle en deux .points ; ou bien que les points imaginaires conjugués qui composeront l'anneau restent toujours séparés, comme cela arrive, par exemple, dans le cas de l'ellipse imaginaire.

Dans le premier cas, deux mobiles dont les coordonnées resteraient à chaque instant conjuguées devraient partir en même temps de l'un des points réels de l'anneau et en parcourir les deux moitiés en sens inverses, tandis que dans le second ces deux mobiles devraient parcourir en même temps l'anneau entier dans le même sens, en restant toujours à peu près diamétralement opposés.

Quelque soit le cas oh l'on se trouve, la valeur de l'intégrale prise le long de l'anneau considéré sera toujours une des périodes de l'intégrale quadratrice, mais elle ne sera, dans les trois cas, ni de même nature, ni liée de la même manière à l'aire de l'anneau.

534. Supposons d'abord qu'un anneau soit composé de deux suites de points imaginaires conjugués se rejoignant sur la courbe réelle : dans ce cas la période sera imaginaire sans partie réelle, oar elle s'exprimera par la formule I — I' = (S — S') \/ — 1 du numéro 352, elle sera d'ailleurs égale au produit par s/— 1 de Taire de l'anneau.

3S5. Dans le second cas, d'un anneau non tangent à la courbe réelle, mais composé toujours de points imaginaires conjugués deux à deux, puisque ce sera alors en parcourant les deux parties de l'anneau dans le même sens qu'on verra croître de la même manière, abstraction faite de leurs signes, les parties imaginaires des coordonnées, si I désigne toujours l'intégrale prise le long' de l'arc AMB, parcouru de A en B, I' sera maintenant la Fig, 20. valeur de cette même intégrale prise le

long de l'arc BNA parcouru de B vers A, de

sorte que l'intégrale correspondant au tour entier AMBNA sera alors

exprimée par I -{-l', au lieu de I — I'.

D'ailleurs, le lieu des milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués, tels que A et B, M et N, etc., sera maintenant un petit anneau Q et le point [a, a] parcourra deux fois cet anneau Q, dans le même sens, pendant que le point [x, y] fera une seule fois le tour de l'anneau AMBNA.

On aura donc, pour l'intégrale prise le long de l'arc AMB,

I = 2S.-i(S-f S')-f i(S-S'W^, pour l'intégrale prise le long de l'arc BNA,

et pour l'intégrale prise le long du contour AMBNA,

s désignant l'aire positive aAMBô, S' l'aire négative ABNAa et Sj l'aire de l'anneau Q.

La période sera réelle et égale à l'aire de l'anneau AMBNA de l'enveloppe, diminuée de quatre fois l'aire de Tanneau lieu des milieux des cordes réelles du contour AMBNA. Cette dernière pourra d'ailleurs être positive ou négative suivant le cas.

556. Enfin, si l'on suppose que l'enveloppe présente des couples d'anneaux, dont l'un contienne les points imaginaires conjugués de ceux de l'autre, la période représentée par la valeur de l'intégrale correspondant au parcours de l'un d'eux sera généralement composée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Elle s'exprimera d'ailleurs en fonction des aires S et S' des deux anneaux conjugués et de l'aire Sj du lieu des milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des deux anneaux, parla formule

^-iS.-^(S + S') + ^(S-S')s/^;

mais on peut changer cette formule avec avantage en considérant à la fois les deux périodes imaginaires conjuguées correspondant^aux deux anneaux ; la seconde serait :

2S.-i(S + S')-i(S-S')V^, et on peut leur substituer leur somme et leur différence

iS, — (S -f- S') et (S — S') \/~.

337. Il n'y a évidemment pas d'autres périodes que celles des trois classes que nous venons de passer en revue, et qui correspondent au parcours de la courbe réelle, au parcours des conjuguées et au parcours de l'enveloppe imaginaire.

En effet, quel que soit le chemin que l'on imagine pour rejoindre les deux limites d'une intégrale, on pourra toujours le ramener à se composer d'arcs de conjuguées, d'arcs de la couçbe réelle et d'arcs de l'enveloppe imaginaire des conjuguées, de sorte que toutes les parties de l'intégrale, et en particulier ses périodes, pourront s'engendrer sur ces différents arcs. Mais le long d'un arc indéfini l'intégrale croîtra sans limites et ne pourra, par conséquent, pas engendrer de période.

Du cas où la fonction est définie par une équation à coefficients imaginaires.

388. Les méthodes purement analytiques permettent de n'établir aucune différence entre les deux cas où les données d'une question sont réelles ou imaginaires, mais elles ne fournissent que des résultats bruts sans interprétation possible.

Les méthodes synthétiques obligent naturellement à distinguer les deux cas, par la simple raison que l'interprétation qu'elles fournissent des résultats auxquels elles conduisent, ne saurait être la même dans les deux circonstances.

Nous avons donc dû distinguer dans l'étude de l'intégrale quadratrice d'une courbe, les deux cas oii l'équation de cette courbe représenterait un lieu réel accompagné de lieux imaginaires, ou ne fournirait plus que des lieux imaginaires; le cas où les deux enveloppes coexisteraient, de celui où il ne resterait que l'enveloppe imaginaire. Mais il sera facile de passer d'un des cas à l'autre.

Remarquons, au reste, que la question n'a pas un intérêt théorique bien considérable.

En effet, il est clair que les intégrales quadratrices de toutes les courbes représentées par une même équation, ont naturellement, toutes, les mêmes périodes exprimables par les mêmes fonctions des coefficients, en sorte que si l'on a discuté cette équation dans le cas où ses coefficients sont réels et exprimé les périodes de la quadratrice par des intégrales définies, les mêmes intégrales les fourniront encore dans le cas où les coefficients seraient devenus imaginaires, et que par conséquent la question qu'on voulait traiter se trouvera résolue d'avance.

559. Quoi qu'il en soit, il est bien facile de donner une théorie directe des périodes des intégrales portant sur des fonctions définies par des équations à coefficients imaginaires.

En effet, on a vu que lorsque les coefficients d'une équation deviennent imaginaires, la courbe réelle se transforme instantanément en enveloppe imaginaire, et que cette enveloppe imaginaire diffère d'abord infiniment peu de l'ancienne enveloppe réelle.

Si donc une courbe réelle présentait des anneaux fermés, dont les aires intérieures étaient des périodes réelles de sa quadratrice, l'enveloppe imaginaire de la transformée de cette courbe présentera des anneaux correspondants, et les sommes des éléments de la quadratrice correspondant aux parcours des anneaux fermés de cette enveloppe imaginaire, qui auront remplacé les anneaux fermés de la courbe réelle, seron.t encore des périodes de l'intégrale; ces périodes ne seront que les anciennes, transformées en raison des modifications subies par les coefficients de l'équation et seraient représentées par les mômes formules, si on pouvait obtenir ces formules.

Ainsi, lorsque l'équation n'a plus ses coefficients réels, les périodes correspondant à celles qui s'engendraient dans le parcours des anneaux fermés de la courbe réelle, devront être cherchées dans le parcours des anneaux fermés de l'enveloppe imaginaire des conjuguées qui se seront ajoutés aux anciens, s'il y en avait déjà.

D'un autre côté, lorsque les coefficients d'abord réels d'une équation prennent des accroissements imaginaires infiniment petits, les conjuguées ne subissent non plus d'abord que des modifications insensibles; celles qui présentaient des anneaux fermés en présenteront encore et les valeurs de l'intégrale prise le long de ces anneaux seront encore des périodes de l'intégrale.

La règle est donc la même, que l'équation ait ses coefficients réels ou imaginaires.

Les périodes sont toujours les valeurs de l'intégrale correspondant aux parcours des anneaux fermés des conjuguées et de l'enveloppe. Toute la différence consiste en ce que ces périodes sont généralement toutes composées d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, et n'ont plus, d'ailleurs, un rapport aussi simple avec les aires des anneaux. Elles sont, au reste, toujours liées à ces aires par la formule

EXEMPLES DIVERS DE PÉRIODES CORRESPONDANT AUX DIFFÉRENTS CAS INDIQUÉS PAR LA THÉORIE

560. Avant d'aller plus loin, nous citerons quelques exemples des faits que nous venons d'établir.

Soit d'abord l'intégrale

- / dx \'X^ — (f a J

qui exprime l'aire indéfinie de l'hyperbole a^jf- — h'\r=z— aH/, elle est égale à

'hx\lx- — a- ab X '\- sjx- — a* . 20 T ' ~ ITT '

et a pour période izab \J — \. Cette quantité représente bien l'aire d'une quelconque des ellipses conjuguées de l'hyperbole, car ayant toutes un système de diamètres conjugués commun avec l'hyperbole, en vertu du théorème d'Apollonius, elles ont toutes même aire que l'ellipse a^y'^ + b^x- = a%\

Suivant que x est positif ou négatif^ L — ^^— estégalauloga-

rithme arithmétique de — -î- plus 2^7tv — J, ou au logarithme

arithmétique de ^t__ plus {^k-\- {)'k\I — \ ^ on voit donc j

comme on l'avait annoncé au n" .151, que, suivant que les limites de l'intégrale sont prises sur une même branche ou sur les deux, la partie imaginaire de cette intégrale contient un nombre pair ou un nombre impair de fois la demi-période.

De môme, l — - = La- a pour période 2u y — 1, et cette quantité représente bien l'aire d'une quelconque des conjuguées de l'hyperbole

équilatère y= -, car celle qui la touche aux extrémités de son axe transverse est le cercle dont le rayon est yâ. 361. r ,ll— = L[x-\-\lx^ — \) = -r==.Qic.ûux,

a aussi pour période 2 t: y/ — i.

L'équation y

représente en coordonnées réelles une courbe

V^' — 1 ABA'B'A"B"A"'B"'(/i5'. 21), asymptote à l'axe ar]et aux droites x = ±l.

Fig. 21.

Sa conjuguée à abscisses réelles DECD'E'C est aussi asymptoteaux droites x = ± i; les autres sont fermées, leur aire commune est

2:r V — ^ 6st aussi l'aire de la surface comprise entre les deux branches CED, C'E'D', de sorte que la conjuguée non fermée a, si l'on peut parler ainsi, la même aire que les conjuguées fermées.

On rencontre souvent des exemples semblables de courbes réelles ou imaginaires à branches infinies, dont l'aire finie forme période de l'intégrale qui représente leur aire indéfinie. En voici quelques-uns.

/dx —=. est arc sin x, dont la période VI— a?^ est ^Tz.

L'équation y = — = [représente la courbe réelle CEDC'E'D'

{fig. 21), la courbe imaginaire ABA'B'A"B"A'"B"', dont les abscisses sont réelles, et d'autres courbes imaginaires.

/dx -==. est l'aire de la surface v/l— a^^ comprise entre les deux branches réelles CED, G'E'D', comme la période

2ir V — 1 de l'intégrale / ■ ' ^ était l'aire de la surface comprise entre les deux mêmes branches lorsquelles étaient imaginaires.