De même

= arc tang x a pour période ir, qui est

Fig. 22.

l'aire de la courbe ABA' (^^.22), représentée par l'équation y =

364. Considérons encore l'intégrale qui donne l'arc de l'ellipse,

Cette intégrale a deux périodes, l'une réelle, l'autre imaginaire ; en effet, l'équation y = K/ — — - représente {fig. 23) la courbe réelle

AGBA'G'B'A"C''B"A"'C'"B"', asymptote aux droites x =±1, y =±1, symétrique par rapport aux deux axes, et ayant pour sommets les points C, C situés sur l'axe des y, à la distance 1 de l'origine, et les

points C", C" situés sur l'axe des x, à la distance -plus grande que 1 ; la

courbe imaginaire à abscisses réelles FC"F'F"G'"F'", et enfin d'autres courbes imaginaires fermées. Or l'aire comprise entre la branche réelle BCA et l'axe des x est finie, car elle est moindre que l'aire fournie

/dx , l'aire sjl-x^ comprise entre les deux branches réelles BCA, B'C'A' est donc aussi finie : ce sera la période réelle de l'intégrale.

D'un autre côté, l'aire de la courbe imaginaire à abscisses réelles FC'F'

est aussi finie, car elle est plus petite que l'aire fournie entre les mêmes limites.! et -.par l'intégrale / ,quiestégaleàL( --l-V/-- — I

5,1 et-, par l'intégrale / ^ ,quiestégaleàL( --|-\ /— — 1

JP