GK'H

Fig. 23.

La somme des deux aires imaginaires FC'F' et F"G"'F"' pourra donc former la période imaginaire de l'intégrale, période qui se retrouverait dans l'aire d'une quelconque des conjuguées fermées du lieu en question.

En partant d'un point K quelconque de la courbe réelle, pour former l'aire correspondant à l'arc KH de cette courbe, on pourrait faire suivre au point mobile [x, y] le chemin KGAFG"F'A'G'B'F"'C"'F"BKH, et l'intégrale des éléments ydx correspondant à ce parcours serait l'aire KK'H'H augmentée de la somme des deux périodes réelle et imaginaire (1).

Dans l'exemple que nous venons d'analyser, la période réelle est naturellement la longueur totale de l'ellipse dont le grand axe est 1 et dont l'excentricité est e. Mais quant à la période imaginaire, on voit bien quelle aire elle représente, mais on ne saurait dire comment elle se lie à la question de la rectification de l'ellipse, c'est-à-dire de quelle courbe elle donne la longueur.

(I) Nous ne prétendons pas ici donner une démonstration à laquelle on pourrait objecter que de l'infini réel à l'infini imaginaire il n'y a pas continuité ; les faits se passent comme si cette objection était sans force et nous les citons. Au reste, dans l'exemple dont il s'agit, comme dans tous les autres analogues, on pourrait, en transformant l'intégrale, substituer, comme l'a montré M. Sturm, à une valeur infinie dey, une valeur nulle d'une autre variable, à une branche infinie, ayant une aire finie, un anneau fermé compris entre les mêmes limites, et la continuité reparaîtrait complète.

365. L'exemple de l'intégrale qui sert à rectifier l'hyperbole est plus intéressant en ce que l'on peut trouver dans la question elle-même de la rectification effectuée, l'interprétation de chacune des deux périodes.

Nous rappellerons d'abord ce qui a été dit au n"* 225, 1" partie, que l'arc de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu est fourni par la même intégrale qui donne l'arc de l'enveloppe réelle ou de la courbe proposée.

Cela posé, considérons l'hyperbole a^\f- — b'^x^ = — o^ôS pour

laquelle ds = dx

Si l'on fait z

cette

In^

KV^

Fig. 24.

équation représentera la courbe réelle ABA'B'CDC'D'C"D"C"'D"', dont la conjuguée à abscisses réelles est CAC'C'A'C'", et la conjuguée à ordonnées réelles DBD"D'B'D"' : le quotient par a de l'aire CDEF représentera l'arc de l'hyperbole proposée, compté à partir du sommet, et le quotient par a de l'aire BODF, représentera l'arc de l'hyperbole supplémentaire, compté aussi à partir de son sommet.

L'intégrale

aura d'ailleurs pour période réelle, oj,

l'aire fermée ABA'B', et pour période imaginaire, o/ y — 1,1e quadruple de l'aire CAE ou le quadruple de l'aire DBG ou le double de l'aire d'un des deux anneaux fermés d'une conjuguée quelconque qui serait com-prise entre CD et AB, C"'D"' et A'B' ou QID' et AB', C'D" et A'B.

Mais l'aire DGB, c'est-à-dire w', est la limite de la différence entre les aires FOBD et FOGD indéfiniment prolongées, c'est-à-dire entre les produits par a de l'arc indéfini de l'hyperbole supplémentaire et de l'asymptote, arrêtés à deux points de même abscisse infinie, car OG étant égal à ae ou c, l'aire FOGD a pour mesure ex et le quotient de cette

aire par a est - x.

Ainsi le quart de la période imaginaire de l'intégrale qui donne

l'arc d'une hyperbole est, abstraction faite du signe \/ — 1, la limite de la différence entre les longueurs indéfinies de son asymptote, comptée à partir du centre, et de l'hyperbole supplémentaire, comptée à partir de son sommet, ces deux longueurs étant terminées en des points ayant même abscisse.

La période réelle s'interprète de la même manière : elle représente la différence des longueurs indéfinies de l'hyperbole et de ses deux asymptotes. En effet, les intégrales qui serviraient à rectifier les deux hyperboles, considérées comme réelles, ont les mêmes périodes changées de réelles en imaginaires, et réciproquement; car ces intégrales sont

et

aj V x^-\-a'

or si l'on y fait abstraction du facteur -, elles représentent les aires jdes

courbes

y— x' — a' et .

mais, d'après notre théorie des quadratures, les intégrales ^ydx et Xrrfy, se rapportant à la même courbe, ont les mêmes périodes ; et comme les équations précédentes donnent

les périodes des intégrales proposées sont donc respectivement égales à celles des intégrales

Mais l'une de ces deux dernières se forme de l'autre multipliée par y — 1; elles ont donc les mêmes périodes changées de réelles en imaginaires, et réciproquement.

Du reste, la figure 24 suggérerait aussi cette seconde proposition, car l'arc de l'hyperbole

compté à partir du sommet, est représenté par le quotient par a de l'aire CDEF, et comme, on l'a déjà dit, la longueur de l'asymptote, comptée à partir du centre, l'est par le quotient par a de l'aire GDOP.

Or, si l'on faisait décrire au point [x,z\ le chemin GDGD"G"E'G"'D"'G'D' C'EG, on aurait engendré une aire égale au produit par a de la différence entre les longueurs totales de l'hyperbole réelle et de ses deux asymptotes.

Le rapprochement des deux théorèmes montre que la différence des longueurs totales des deux hyperboles arrêtées en des points ayant une même abscisse infinie est la différence des valeurs absolues des deux périodes.

Quant à la période réelle, c'est-à-dire à la différence des longueurs totales de l'hyperbole réelle et de ses asymptotes, elle est encore représentée, au facteur a près, par l'aire de l'anneau ABA'B'.

566. Ces résultats se sont présentés de la manière suivante : le long des asymptotes considérées comme fournies par les solutions

imaginaires dont la caractéristique est dz -, j- est réel et constamment égal à ± -. En effet, si l'on pose, dans l'équation de l'hyperbole,

h a il en résulte

a\'^ — ô V = — a^Z»2 et aa' = d= Aa ; c'est-à-dire que a et a doivent rester infinis et cçnserver entre eux le rapport de a à é, que, par conséquent, —- se réduit dans tous les cas à - et que conserve toujours la valeur du cosinus de l'angle

de l'asymptote avec l'axe des a:.

Au reste, pour que le point a; = a-|-fi,y = a'±P- engendre l'une

des asymptotes, il faudra que a + [i et a ± ^ - puissent prendre des

valeurs finies ; mais cela se pourra faire de deux manières différentes : ou bien en laissant a et a' constants, mais infinis, et faisant varier p

et ± fi - en sens contraires de ceux dans lesquels on aura fait

1, OU bien en don-

croître a et a', auquel cas dx se réduira à c?p y

nant d'abord à S et à ih & - des valeurs infinies doubles des valeurs infi- ' ' a

nies de a -j- ^ et de a db p -, laissant alors p et par suite rt: ^ - fixes

et faisant varier a et a en sens contraires, auquel cas dx se réduira à doi.

Dans l'un et l'autre cas l'intégrale I dxK/ l -{■(■£■) représentera,

abstraction faite du signe, le chemin parcouru sur l'asymptote.

Cela posé, si, pour aller de M en N, on suit d'abord l'arc indéfini MNT de la courbe réelle, qu'on parcoure ensuite l'asymptote TT' en faisant varier ^ seulement, qu'on prenne alors l'arc T'T" de l'hyperbole supplémentaire, puis l'asymptote T'T" en ne faisant encore varier que ^ seulement, puis l'arc T"'T de l'hyperbole supplémentaire et enfin Tare

Fig. 25.

TN de la courbe réelle, on aura engendré, en sus de l'arc MN, quatre fois la différence, imaginairement représentée, des distances BT, OT, quantité qui doit former une période de l'intégrale, puisqu'on peut recommencer un nombre quelconque de fois le parcours des deux asymptotes et de l'hyperbole supplémentaire avant de rentrer sur la courbe réelle.

De même, si l'on suit d'abord l'arc MNT, puis qu'on parcoure l'asymptote TT' en faisant varier seulement a et a', qu'on prenne ensuite le chemin T'A'T'", puis qu'on suive l'asymptote T"'T", en ne faisant encore varier que a et a, enfin qu'on parcoure l'arc T"'A]MN, on aura engendré, en sus de l'arc MN, quatre fois la différence réelle des distances OT et AT, quantité qui, de même, doit former une période réelle de l'intégrale rectificatrice de l'hyperbole.