DE LA MARCHE DES VALEURS D UNE FONCTION MULTIPLE D UNE SEULE VARIABLE

265. Une fonction qui peut prendre plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable dont elle dépend n'est pas déterminée par la valeur de cette variable.

Cependant la fonction est tellement liée à sa variable, que dès qu'ion aura fait choix pour l'une et l'autre de valeurs initiales se correspondant et réglé la marche de la variable, la fonction, assujettie à varier d'une manière continue, ne pourra plus prendre qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable.

Si donc on a attribué à la fonction y une valeur initiale ?/o, choisie parmi celles qui correspondent à la valeur initiale x^^ de la variable x et qu'on ait fixé la marche de cette variable en établissant entre ses parties réelle et imaginaire une relation arbitraire ou imposée par la question qu'on voulait traiter, on pourra demander ce que sera devenue la fonction, lorsque la variable aura atteint une valeur quelconque x^.

266. Lorsque la fonction n'entre qu'au second degré dans l'équation qui la définit, la question est d'une simplicité telle que nous croyons devoir traiter ce cas à part. Les équations du second degré se présentent d'ailleurs si fréquemment dans la pratique, qu'il y avait lieu d'en faire l'objet d'une étude spéciale.

L'équation

étant du second degré par rapport à y, et d'ailleurs algébrique, donnera

P et Q étant deux fonctions rationnelles de x, qui n'auront chacune qu'une valeur pour chaque valeur de x.

X variant d'une manière continue de x^ = a,, -f [â^ v^ — là Xi = a^ + [âj y/ — 1, en suivant un chemin (p (a, ^) = Q,y partira de l'une de ses valeurs qui correspondent à a^ = ar^, valeur que nous désignerons par y^ et qui pourra être

Po + VOo ou Po-\/Qo;