MARCHE D UNE FONCTION D UNE VARIABLE

et la question sera de savoir ce que y, assujetti à varier d'une manière continue, sera devenu lorsque x aura atteint la valeur a;,.

Or la valeur finale de y se composera de la valeur finale de P sur laquelle il ne s'élèvera aucun doute, et de la valeur finale de y — P : on pourra donc simplifier la question en prenant y — P pour variable, au lieu dey.

En désignant par s cette nouvelle variable, on n'aura plus à s'occuper que de l'équation

z« = Q ou z = ±\[q.

Les deux valeurs de z qui correspondront à une même valeur de x seront toujours difl'érentes, et cependant une des difficultés de la question consistera précisément à les distinguer l'une de l'autre, à fixer le langage de manière à n'y laisser subsister aucune ambiguïté.

Mais la méthode des conjuguées nous en donnera immédiatement les moyens, car les deux solutions qui correspondront à une môme valeur de x auront toujours leurs caractéristiques de signes contraires, de sorte qu'il suffira toujours de rechercher ce que sera devenue la caractéristique C de la solution mobile pour savoir ce que sera devenue cette solution elle-même.

Si z est parti, par exemple, de la valeur initiale

Cj étant positif, sa valeur finale sera

ou

suivant que C aura changé de signe un nombre pair ou un nombre impair de fois. Or il ne sera jamais difficile de savoir combien de fois G changera de signe pendant que x passera, parle chemin cp (a, [i)=0, de la valeur x^ à la valeur x^, puisqu'on aura deux équations entre G, a et ^.

Les changements de signes de G correspondront aux passages de cette variable par zéro ou par l'infini, c'est-à-dire aux passages du point [x^ z] sur les conjuguées G = 0 et C = oo du lieu z^ — Q =: 0. Ge seront donc ces passages qu'il faudra relever et compter.

Voilà tout ce à quoi se réduit la méthode que nous proposons pour les équations du second degré. Il suffira de l'appliquer à quelques exemples pour montrer que la pratique en est aussi simple que la théorie.

267. La méthode que nous appliquerons aux équations de degrés supérieurs au second ne sera guère plus compUquée dans ses moyens,

quoiqu'elle doive exiger souvent des calculs délicats ; elle ne sera au reste qu'un simple prolongement de celle que nous venons d'indiquer pour les équations du second degré.

La question se réduira toujours à savoir, à chaque instant, sur quelle conjuguée de la courbe proposée le point [x, y] sera venu se placer et sur quelle branche de cette conjuguée il se trouvera, car alors on pourra déterminer la valeur qu'aura prise la fonction y.

Gela posé, les conjuguées d'une courbe f[x, y] =0 se divisent d'abord en deux catégories distinctes, la première comprenant les conjuguées qui touchent la courbe réelle, et la seconde celles qui ne la touchent pas.

Or, le passage du point [x, y] d'une conjuguée d'une catégorie sur une conjuguée de l'autre, ne peut avoir lieu qu'au moment où ce point passe sur une conjuguée limite commune des deux catégories, qui touche à la fois les deux enveloppes.

Ces passages devront être relevés avec soin, et comme d'ailleurs la conjuguée servant de lien entre les deux catégories aura généralement sa caractéristique comprise entre les caractéristiques des conjuguées de l'une et de l'autre catégorie, qui la comprennent elle-même, le signe de la dérivée de G, prise par rapport à une des parties de la variable indépendante, au moment oti le point [x,y] passera sur la conjuguée limite, suffira pour décider si ce point va changer de catégories de conjuguées ou s'il rebroussera chemin.

Les conjuguées limites, dont nous venons de parler, peuvent être en nombre quelconque; ce sont celles qui touchent la courbe réelle en ses points d'inflexion, ou en ses points situés à l'infini.

268. Si la courbe réelle a plusieurs branches, fournies par les différentes valeurs de y que donne son équation, pour une même valeur de X, les conjuguées qui la touchent devront être divisées en autant de classes .

Le point [x, y] ne pourra se transporter d'upe conjuguée appartenant à une classe sur une conjuguée appartenant à la classe voisine, qu'en traversant celle qui sert de lien entre les deux classes ; d'ailleurs la caractéristique de cette dernière conjuguée sera encore habituellement comprise entre les caractéristiques des deux conjuguées de l'une et de l'autre classe qui l'avoisineront immédiatement; de sorte que si l'on a déterminé le signe de la dérivée de G par rapport à l'une des parties de la variable indépendante, au moment du passage du point [x, y] sur la conjuguée limite, on pourra encore savoir si le point [x,y] a, ou non, changé de classe.

Les conjuguées qui séparent les différentes classes les unes des autres sont celles qui ont pour caractéristiques 0 ou oo et quelques-unes de celles qui touchent la courbe réelle en ses points singuliers. La discussion préalable de la courbe les fait suffisamment connaître.

269. Les conjuguées qui ne touchent pas la courbe réelle se divi-

MARCHE D UiNE FONCTION D UNE VARIABLE. 9

sent de la même manière en plusieurs classes, lorsque leur enveloppe imaginaire se compose de plusieurs branches, ou comporte des points singuliers.

270. Chaque conjuguée peut être composée de parties distinctes et séparées. Dans ce cas, le point [x, y] ne saurait se transporter de l'une sur une autre, qui en est éloignée d'une quantité finie, qu'en prenant, avant tout, son passage sur une conjuguée particulière où les deux parties en question se confondent ou aient au moins un point commun. Ces passages peuvent être relevés comme tous les précédents, parce qu'ils sont toujours signalés par un caractère analytique plus ou moins saillant.

271. Enfin chaque arc d'une conjuguée quelconque, tangent à l'enveloppe réelle ou à l'enveloppe imaginaire, se trouve naturellement décomposé en deux branches par le point où il touche l'une des deux enveloppes. Mais le point [x, y\ ne peut passer d'une des branches sur l'autre qu'en passant sur l'enveloppe. Nous donnerons les moyens de savoir s'il change alors de branche.

272. Nous n'aurons pas à revenir dans nos explications générales sur les passages du point \x, y\ par une conjuguée servant de lien entre les deux catégories ou entre deux classes appartenant à une même catégorie ; nous regardons comme suffisamment traitées, dans ce qui précède, les questions que pourrait soulever l'analyse des circonstances qui accompagnent ces passages.

On verra au reste, par les exemples que nous examinerons, qu'on peut toujours lever les difficultés, peu considérables d'ailleurs, que présente, dans ces diflérents cas, Tanalyse des faits; nous nous bornerons ici à observer qu'une méthode quelconque de classification des solutions imaginaires devait permettre de lever aisément ces difficultés.

Nous passons de suite à l'examen des questions de détail qui nécessitent des explications spéciales.

273. Quoique les solutions d'une équation /"[x, y] = 0 puissent toujours se permuter les unes dans les autres, ce qui, au premier abord, semblerait interdire toute distinction entre elles, nous les étudierons cependant dans trois états principaux, très-différents à certains égards.

Lorsque x et y, partant de valeurs réelles a et è, prennent des accroissements imaginaires très-petits, le point \x, y'\ se transporte, à une très-petite distance de la courbe réelle, sur une conjuguée tangente à cette courbe en un point voisin du point [a, h\ dont la caractéristique diffère par conséquent très-peu du coefficient ungulaire de la tangente à la courbe réelle au point [a, è].

Dans ce cas, si x redevient réel sans avoir dépassé de certaines hmites, y redevient en même temps réel, le point [x, ?/] repasse sur la courbe réelle, et si la partie imaginaire de x change de signe, la môme chose

iO CHAPITRE XX.

arrive à la partie imaginaire de y ; le point [x, y] se transporte donc, sur la nouvelle conjuguée qui le contient, du côté opposé à celui où il se trouvait d'abord, par rapport au point de contact de la courbe réelle avec la conjuguée qui le contenait.

274, Lorsque x part d'une valeur réelle à laquelle correspond une valeur imaginaire de y, et que les deux variables prennent des accroissements imaginaires très-petits, le point [x, y] se transporte sur une conjuguée dont la caractéristique diffère peu de l'infini positif ou négatif.

Dans ce cas, si ar redevient réel, sans avoir dépassé de certaines limites, y reste imaginaire, et si la partie imaginaire de x change de signe, la partie imaginaire de y conserve le sien, d'où il résulte que la caractéristique du point [x,y] en change.

Les mômes faits se passent dans un autre ordre quand le point [x, y'\ passe sur la conjuguée G =0 : la caractéristique de ce point change alors de signe en môme temps que la partie imaginaire de y.

Enfin le troisième cas que nous considérerons est celui où le point [x^y] prend des positions voisines de l'enveloppe imaginaire des conjuguées : au moment où il passe sur cette enveloppe, on doit chercher à savoir à quelles conditions il changerait de branche sur sa conjuguée divisée par le point où elle touche l'enveloppe.

275. Supposons d'abord qu'il s'agite d'une solution où les parties imaginaires de y et de x soient en même temps aussi petites qu'on le voudra, à laquelle corresponde par conséquent un point infiniment peu éloigné de la courbe réelle et appartenant à une conjuguée tangente à cette courbe.

X variant d'une manière continue, le point [x,y] restera sur la même conjuguée, ou se transportera sur une conjuguée voisine appartenant à la même catégorie; il ne pourra d'ailleurs passer d'une branche supérieure sur une branche inférieure, par rapport au point de contact avec la courbe réelle, ou réciproquement, sans passer sur la courbe réelle; il restera donc sur la même suite de branches tant que la partie imaginaire de X ne passera pas par zéro ; mais si la partie imaginaire de x passe par zéro et change de signe, en général la partie imaginaire de y changera aussi de signe, et le point [x, y] passera d'une branche supérieure sur une branche inférieure, ou inversement.

En effet, représentons toujours x par a -j- ^ ^ — i ei y par a + 1^ V — 1 ; soient, en conséquence, a et a' les valeurs que prennent X et y au moment où [â et f>' s'annulent : pour obtenir les coordonnées d'un point infiniment voisin du point [a, a'], on pourrait faire varier à la fois a et a', [â et ^' ; mais comme en faisant varier a et a' on ne ferait que déplacer le point de départ sur la courbe réelle, ce qui ne peut avoir d'utilité, il suffira de faire varier ^ et ^' : or G désignant la dérivée de y par rapport h x âu. pointa; = a, y= a', ou la caractéristique de la

MARCHE D UxNE FONCTION D UNE VARIABLE. 1 l

conjuguée qui touche la courbe réelle en ce point, si x prend la valeur tt-\- d^ V — 1, y deviendra a -j- Gf/li \J — 1, le point

restera donc sur la conjuguée G; mais, suivant que rf^sera positif ou négatif, le point

se trouvera d'un côté ou de l'autre du point [a, a].

276. Passons aux solutions du second groupe. Les valeurs imaginaires de y, tirées d'une équation algébrique à coefficients réels,

sont conjuguées deux à deux, lorsque x est réel, et elles conservent une certaine trace de ce caractère initial lorsque x varie ensuite par valeurs imaginaires dans de certaines limites; c'est-à-dire, que lorsque x prend des valeurs imaginaires voisines de sa valeur réelle initiale, les valeurs imaginaires de y qui dérivent de celles qui étaient conjuguées deux à deux restent d'abord à peu près conjuguées, ou telles, qu'en les rangeant deux à deux convenablement, on en trouverait les parties réelles peu différentes et les parties imaginaires à peu près égales et de signes contraires.

Or, de deux points ayant ainsi leurs abscisses à peu près égales et presque réelles et leurs ordonnées à peu près conjuguées, l'un appartiendra évidemment à une branche supérieure d'une conjuguée, par rapport à son point de contact avec la courbe réelle, et l'autre à une l3ranche inférieure d'une conjuguée infiniment voisine.

Au reste les caractéristiques de ces deux conjuguées seront évidemment de signes contraires. Car' si x passe de la valeur a à la valeur

a. -\- d(t -\- d^ sj — 1, dans les deux valeurs correspondantes de y, les parties imaginaires qui étaient finies resteront d'abord de signes contraires.

Cela posé, il est clair qu'un point

x = d -\- doL -\- d^ sj — 1 ,

s'il se trouve sur une branche supérieure de la conjuguée à laquelle il appartient, ne pourra passer sur une branche inférieure d'une conjuguée voisine qu'en passant sur la courbe réelle ou sur l'enveloppe imaginaire des conjuguées, suivant que la branche de la conjuguée C = x

qui contiendrait le point voisin

toucherait l'une ou l'autre enveloppe ; il est de môme évident que la caractéristique du point mobile ne pourrait changer de signe, pour de très-petits écarts de x, qu'au moment où ce point repasserait sur la conjuguée G = oo , c'est-à-dire quand x reprendrait une valeur réelle.

277. Nous arrivons maintenant aux solutions du troisième groupe.

Lorsque -j- passe par une valeur réelle, x et y étant imaginaires, le

point [x, y] se trouve momentanément sur l'enveloppe imaginaire des conjuguées, et il s'agit de savoir s'il va passer du côté opposé à celui où il se trouvait d'abord, par rapport au point de contact avec l'enveloppe, delà conjuguée mobile qui le contient.

La solution de cette question se préjuge aisément : tant que -^ reste

imaginaire, le point [x,y] reste, sur la conjuguée à laquelle il appartient, du même côté du point où cette conjuguée touche l'enveloppe

dy imaginaire; lorsque -^ passe par une valeur réelle, le point [j?,?/] vient

se placer sur l'enveloppe et si la partie imaginaire de -j^ reparaît, mais

affectée du signe contraire, il y a lieu de penser que le point [a;, î/], ayant poursuivi son chemin, est venu se placer sur une nouvelle conjuguée, de l'autre côté du point où cette conjuguée touche l'enveloppe. Soient

les coordonnées d'un point de l'enveloppe imaginaire; -r- en ce point sera réel et égal à m; — ^ sera généralement imaginaire et égal

p -\- g y — l;sia? prend un accroissement da. -j- d^ sj — 1, l'accroissement correspondant de y sera

(rfa-f d^s/—l]

et celui de — dx

Notons en passant que pour rester sur l'enveloppe il faudrait faire qd<x-\-pd^^=zQ,