Considérons enfin l'équation du cercle imaginaire

{y^b — b' \l'^\f^{x— a — a' \l^y = [r + r'\l'^iY

l'enveloppe des conjuguées de ce lieu est, comme on sait, le cercle

{y — b — b'f ^{x — a — df ={r-\- r'f.

Ce lieu tombe dans le cas du n° 356, si du moins on le regarde comme une partie du lieu à coefficients réels

[{y-b-b'^-if + {x-a-a'^-if-{rJrr'sJ-^y]\

l'enveloppe présente, en effet, deux anneaux fermés dont l'un contient les points imaginaires conjugués de ceux de l'autre. La période que l'on sait d'avance devoir être

it (r -f- r \l — l)"

doit être la valeur de Tintégrale / ydx prise le long de l'enveloppe

imaginaire.

Or, l'anneau conjugué de celui que nous considérons est le cercle

et quant au lieu des milieux des droites qui joignent les points imaginaires conjugués sur l'un et l'autre anneau, c'est le cercle

y^ -\- x^ = r^ ; la formule à appliquer

est donc ici

I = 2 ,rr^ - i TT [{r + r'f + {r - rf] + ^ tt [(r -f r'f - {r - r'f] y/- 1 qui se réduit en effet à

DE LA MANIÈRE DONT S'ACCROIT L'iNTÉGRALE, ET DU MODE LE PLUS GÉNÉRAL DE GÉNÉRATION DES PÉRIODES

570. Nous avons supposé jusqu'ici que les périodes de l'intégrale

/ ydx fussent engendrées par le mouvement du point [x, y] le long des

anneaux définis correspondants. Mais elles s'engendreront habituellement dans le parcours de contours fermés quelconques; il y a donc lieu de chercher comment elles se produiront alors.

Occupons-nous d'abord des périodes réelles représentées par les aires des anneaux fermés de la courbe réelle et, pour cela, supposons que le point [x, y] reste constamment sur des conjuguées tangentes à un même anneau réel.

Le point [x, y] s'éloignant de sa position initiale, outre la quantité

algébrique ~ — — , l'intégrale, à chaque instant, se composera de la

portion de l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la limite inférieure, correspondant à l'arc de cette courbe qui s'étend de cette limite au point de contact avec la courbe réelle; delà portion de l'aire de la courbe réelle correspondant à l'arc compris entre les points où elle touche les conjuguées qui passent par les deux points limites; enfin de la portion de l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure, correspondant à l'arc de cette courbe qui va du point oti elle touche la courbe réelle à la limite supérieure.

Dans cette somme la première partie est fixe et les deux autres variables, la seconde est réelle, et la troisième se compose d'une partie réelle qui représente l'aire du diamètre de la conjuguée et d'une partie imaginaire qui représente l'aire comprise entre la conjuguée et son diamètre.

Lorsque le point [x, y] se déplace, la seconde partie de l'intégrale s'accroît de l'aire de la courbe réelle qui correspond à l'arc que vient de parcourir sur cette courbe le point où la touche la conjuguée qui passe au point mobile [x, y], et la troisième s'accroît dans ses deux par-

GÉNÉRATION DES PÉRIODES. lll

lies à mesure que le point [x, y] s'éloigne de la courbe réelle, sur la conjuguée où il se trouve.

Quant aux parties réelle et imaginaire de

elles varient avec la position du point [x, y], mais lorsque ce point revient à sa position initiale, quelque chemin qu'il ait suivi, ~~ revient

à sa valeur initiale ^ et la partie complémentaire s'évanouit. 2G

Cela posé, il est facile de voir comment s'engendrera généralement la période relative à l'anneau réel considéré et quel multiple de cette période il faudra comprendre dans la valeur de l'intégrale.

D'après ce qui précède, cette période s'engendrera par le déplacement sur l'anneau réel du point où le touchera la conjuguée sur laquelle viendra se placer- successivement le point [x, y] ; lorsque ce point de contact aura fait le tour entier de l'anneau, l'aire intérieure aura été décrite, de telle sorte que si le point [x, y] reprenait sa position initiale, la somme des éléments de l'intégrale se réduirait à l'aire de l'anneau, et que si le point [x, y] revenait en un point différent du point de départ, mais situé sur la même conjuguée, la somme des éléments de l'intégrale représenterait l'aire intérieure de l'anneau, augmentée de l'aire correspondant à l'arc parcouru sur la conjuguée.

En d'autres termes, si le point [x, y] s'éloignant de la courbe réelle sur une conjuguée quelconque, la partie réelle de l'intégrale pouvait s'accroître sans limite de nouveaux éléments, cette intégrale ne comprendrait pas cependant un seul des éléments différentiels de l'aire qui forme la période ; cette aire ne s'introduit dans la valeur de l'intégrale que par le déplacement sur l'anneau réel du point où le touche la conjuguée mobile sur laquelle se trouve successivement le point [x,y]; mais autant de tours ce point de contact fait sur l'anneau réel, autant de fois il faut ajouter la période à l'aire la plus simple que représente l'intégrale en raison de ses limites.

Ce nombre s'obtiendra en comptant le nombre de fois que la caractéristique G repassera par sa valeur initiale, l'angle dont il est la tangente ayant varié de Su dans le même sens ; et ces périodes devront être prises en plus ou en moins, suivant que la variation totale de l'angle dont il vient d'être parlé se sera faite dans un sens ou dans l'autre.

Les explications qui précèdent conviendraient évidemment au cas d'une intégrale ayant plusieurs périodes réelles, correspondant à autant d'anneaux fermés de la courbe réelle.

Dans les cas où la période réelle serait l'aire d'une branche infinie, pour compter le nombre de périodes qu'on devrait comprendre dans la valeur de l'intégrale, quoiqu'on pût le faire directement, ce qu'il y aurait habituellement de plus simple à faire, serait de transformer

cette intégrale, de manière que la fonction sous le signe / devînt l'ordonnée d'une courbe fermée et finie.

571. La même théorie s'applique évidemment dans les mêmes termes aux périodes réelles, imaginaires sans parties réelles, ou mixtes, qui correspondraient aux anneaux fermés que pourrait présenter l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

572. Passons maintenant aux périodes imaginaires répondant aux anneaux fermés de conjuguées. La question paraît plus difficile au premier abord : rien, en effet, d'analogue à ce qui vient d'être dit, ne pourra plus rendre compte de leur génération ; cependant on va voir que la réponse sera tout aussi aisée à former.

Chacune des périodes imaginaires qui nous occupent, abstraction

faite dii signe \J —i, est l'aire de l'une quelconque des conjuguées fermées appartenant à une même catégorie, de sorte que si le point [x, y] se déplaçait sur une conjuguée non fermée, la partie imaginaire de l'intégrale pourrait augmenter indéfiniment, sans pour cela comprendre une seule partie d'une des périodes imaginaires.

D'un autre côté, lorsque le point [x, y] se déplace sur une conjuguée fermée, tant qu'il n'est pas revenu à son point de départ, la période n'est pas complète, et s'il se déplace en restant sur des conjuguées fermées d'une même catégorie, la période n'est complète que lorsqu'il revient, après un tour entier, en un point situé sur une nouvelle conjuguée, à une distance de la courbe réelle qui fournisse la même aire imaginaire que la distance du point de départ à la même branche de la courbe réelle. Par conséquent, tant que le point {x, y], s'éloignant du point de départ, supposé imaginaire, n'a pas passé sur la courbe réelle, l'intégrale ne contient pas encore une moitié delà période ; mais si, après avoir passé sur l'une des branches de la courbe réelle qui comprennent entre elles les conjuguées fermées dont il s'agit, le point [x, y] arrive à l'autre branche,rintégrale pendant ce parcours se sera augmentée d'une demi-période positive ou négative, suivant le sens dans lequel aura marché le point mobile, et suivant aussi qu'il aura parcouru les branches supérieures ou inférieures des conjuguées sur lesquelles il aura passé : chaque fois ensuite que le chemin qu'il décrira viendra alternativement raser la courbe réelle sur ses deux branches, l'intégrale s'accroîtra d'une nouvelle demi-période.

Dans le compte à faire des périodes que doit comprendre l'intégrale, les passages des coordonnées a; et y du point mobile par des valeurs réelles, joueront donc le principal rôle ; à chaque passage relevé, on devra reconnaître si le point [x, y] a changé ou non de côté par rapport au point de contact, avec la courbe réelle, de la conjuguée sur laquelle il est venu se placer; cela fait, on comptera autant moins deux de demipériodes qu'on aura relevé de passages alternatifs sur l'une ou l'autre branche, sans rebroussement, en négligeant tous les retours consé-

cutifs à la même branche qui n'auraient pas été séparés par des passages sur l'autre. Si le point [x, y], après avoir touché une des branches, revenait sur ses pas en restant du même côté du point de contact avec la courbe réelle, de la conjuguée sur laquelle il se serait transporté, on défalquerait une demi-période lorsqu'il arriverait à l'autre branche.

En résumé, pour ce qui concerne les périodes qui nous occupent, le chemin suivi par le point [x, y] étant défini par une condition ^ (a, |i, a', [â') = 0, entre les parties réelles et imaginaires de ses coordonnées, il faudra chercher les points où ce chemin touche le lieu réel, c'est-à-dire chercher les points de rencontre des deux courbes f{x,y)=0, (f {x, 0, y, o) = 0, voir comment se succèdent les contacts correspondants, enfin reconnaître si après quelques-uns d'entre eux le point [x,y] ne rebrousse pas chemin, et il sera ensuite toujours aisé de conclure.

575. Il résulte de l'ensemble des théories qui précèdent que, quelque soit le système d'axes, auquel on rapporte une même courbe, les périodes de sa quadratrice sont toujours les mêmes, puisque ce sont toujours les aires des mômes anneaux fermés, réels ou imaginaires. Ainsi notamment les deux intégrales

/ ydx et / xdy

relatives à la même courbe ont toujours les mêmes périodes.

Il en résulte aussi que, si l'on projette orthogonalement une courbe d'un plan sur un autre, les périodes de l'intégrale quadratrice sont multipliées par le cosinus de l'angle des deux plans, et que si la projection est faite obliquement, les périodes sont multipliées par le rapport des sinus des angles des rayons projetants avec le plan primitif de la courbe et avec le plan de projection.

574. Mais voici une autre remarque plus importante, parce qu'elle se rapporte à un genre de transformations beaucoup plus complexes, quoique tout aussi générales : si l'on passe de l'équation d'une courbe à celle de l'une de ses conjuguées, d'ailleurs quelconque, les périodes delà quadratrice seront multipliées par sj — 1 ; si l'on passe ensuite de l'équation de la conjuguée considérée, de la courbe primitive, à celle de l'une quelconque de ses conjuguées, les périodes seront de nouveau multipliées par y/ — 1 et par conséquent reviendront à leur premier état. Les quadratrices de deux courbes qui ont une conjuguée commune ont donc mêmes périodes.

Du reste, si l'on répète indéfiniment la même transformation, les

périodes restent toujours les mêmes, au facteur y — 1 près.

\Ti CHAPITRE XXXII.

Des périodes de l'intégrale recti/icatrice d'une courbe.

57S. Nous avons déjà fait remarquer, dans la première partie de cet ouvrage, que l'intégrale

fournit aussi bien la rectification de l'enveloppe imaginaire des conjuguées que celle de la courbe réelle.

D'un autre côté les deux intégrales qui servent à rectifier une hyperbole et sa supplémentaire ont présenté cette circonstance remarquable que leurs périodes étaient les mêmes, mais seulement changées de réelles en imaginaires et réciproquement. Il est facile de voir que cette coin cidence n'a rien de fortuit et se représentera toujours dans tous les cas.

En effet, il est clair d'abord que l'intégrale

a pour périodes réelles les longueurs des anneaux fermés de la courbe réelle.

D'un autre côté, si l'enveloppe imaginaire présente un anneau fermé composé de points imaginaires conjugués deux à deux, les tangentes à cet anneau , en deux points imaginaires conjugués, seront parallèles, car les coefficients différentiels seront en ces points

do! -\- d^' y — 1 (/a — d^' \l— \

d<x -f df> \/^ cfa — dp V^

et à cause de l'hypothèse— =4^ , qu'entraîne celle de leur réalité, ils

dy ne différeront pas l'un de l'autre.. Ainsi les valeurs de -p, en deux points

conjugués de l'anneau seront égales. Quant à celles de dx eWes seront

telles que da -\- d^ \/ — i ei da — d^ \ — 1. Mais il y a lieu ici de distinguer les deux cas, examinés déjà au numéro 353, où les deux suites de points imaginaires conjugués composant l'anneau de l'enveloppe, se rejoindraient ou non par des points réels. Dans le premier cas les points imaginaires conjugués de l'anneau seront séparés par le point réel oîi les deux enveloppes se toucheront en s'infléchissanl, et si un point [x, y] parcourt l'anneau considéré d'une matière continue, les deux éléments conjugués séparés par le point d'inflexion, devront être

considérés comme décrits dans le môme sens positif ou négatif, puisque le point mobile les décrira tous deux de droite à gauche ou de gauche à droite, mais d'un autre côté, si l'abscisse varie de a-f- P V— 1 à a -|- rfa + (p + d^) \J — i de la première extrémité à la seconde de l'un d'eux,

elle variera de a -f- rfa -f (P + ^1^) V — 1> à a — f> \/ — 1, de la première extrémité à la seconde de l'autre, de sorte que les'deux valeurs de dx à considérer devront être

rfa + rf^vdl et — </«-{- c^pv^ZT,

et que par conséquent la somme des deux éléments de l'intégrale devra < être

2dp v/— 1

Dans le second cas, au contraire, les deux valeurs de dx à considérer seront conjuguées, mais alors le point [x, y], mobile le long de l'anneau, décrira l'un des deux éléments de droite à gauche et son conjugué de gauche à droite, de sorte que l'un d'eux devra être considéré comme parcouru en sens contraire du sens positif et que, par conséquent, il y aura alors lieu de retrancher les deux éléments

dy

de l'intégrale.

La somme des éléments de l'intégrale, correspondant à deux éléments conjugués de l'anneau, sera donc dans tous les cas

Elle sera imaginaire sans partie réelle et représentera le produit par V— 7 de la somme des deux éléments réahsés de l'anneau. Ainsi les produits pa r V — 1 des longueurs des anneaux fermés de l'enveloppe seront les périodes imaginaires de l'intégrale

Cela posé, les deux enveloppes étant toujours réciproques, il est clair que si l'on forme les deux intégrales qui les rectifieraient réelles, ces deux intégrales auront toujours les mêmes périodes mais changées de réelles en imaginaires.

Ce que nous venons de dire se rapporte aux périodes qui représenten t

les longueurs des anneaux fermés de la courbe réelle et de l'enveloppe imaginaire des conjuguées; mais on a vu par l'exemple de la rectification de l'hyperbole que les périodes peuvent correspondre à des différences de longueurs infinies.

Ces périodes se multiplient aussi par sj — 1 lorsqu'on passe d'une courbe à l'enveloppa imaginaire de ses conjuguées réalisée; mais, et ce point est bien plus intéressant, les deux théorèmes relatifs aux périodes de la rectifîcatrice de l'hyperbole sont aussi susceptibles d'une entière généralisation. C'est-à-dire 1° que si l'on décompose de toutes les manières possibles la courbe proposée en groupes d'arcs indéfinis dans les deux sens, dont les asymptotes, également prolongées dans les deux sens, forment avec ces arcs des circuits complets, la différence entre la somme des longueurs totales des arcs d'un même groupe et la somme totale des longueurs des asymptotes correspondantes sera une des périodes réelles de la rectiûcatrice de la courbe proposée, et 2° que si, de même, on décompose de toutes les manières possibles l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la courbe proposée en groupes d'arcs ^indéfinis dans les deux sens, dont les asymptotes, également prolongées dans les deux sens, forment avec ces arcs de Tenveloppe des circuits complets,

le produit par sf-—l de la différence entre la somme des longueurs totales des arcs d'un même groupe et la somme totale des longueurs des asymptotes correspondantes sera une des périodes imaginaires, sans parties réelles, de la rectiflcatrice de la courbe proposée.

Ainsi, pour avoir les périodes réelles de la rectificatrice, on partira d'une quelconque T„AT des branches indéfinies de la courbe réelle ; on suivra par exemple Tasymptote TT' correspondant à la partie AT de cette branche, on prendra ensuite la branche T'T" de la courbe réelle, puis l'asymptote T'T", puis la branche T"T", et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on retombe sur l'extrémité T„ de la première branche; l'ensemble des branches qui se seront présentées formera un premier groupe, auquel correspondra la première période. On partira ensuite d'une branche non comprise dans le groupe déjà séparé et on répétera les opérations précédentes jusqu'à ce qu'on trouve un nouveau circuit fermé, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les branches réelles.

On fera de même relativement aux branches de l'enveloppe imaginaire et à leurs asymptotes.

Les périodes ainsi obtenues viendront s'ajouter à celles qui auraient déjà été signalées par la présence d'anneaux fermés de la courbe réelle et de l'enveloppe imaginaire des conjuguées, ou. les reproduiront.

Il est évident, en premier lieU, que la différence entre la somme des longueurs totales des arcs d'un même groupe et la somme des longueurs totales des asymptotes correspondantes sera toujours finie, car, à une distance assez petite d'une de ses asymptotes, l'élément d'une courbe ne diffère plus que par un infiniment petit d'ordre supérieur de l'élément correspondant de cette asymptote.

D'un autre côté, il est facile de voir qu'une courbe de degré quelconque, dans les environs de son asymptote, se confond avec une hyperbole du second degré, et par suite que celles de ses conjuguées dont les cordes réelles font un très-petit angle avec cette asymptote se confondent avec les ellipses conjuguées de cette hyperbole, de sorte que l'asymptote elle-même est une conjuguée elliptique de la courbe, dans un état limite et est représentée par les solutions imaginaires infinies de l'équation de la courbe, absolument comme l'asymptote d'une hyperbole.

En effet, si l'on prend l'asymptote considérée pour axe des y, l'équation de la courbe pourra se mettre, dans le cas général, qui est celui où nous raisonnons, sous la forme

« {x) n'ayant que des valeurs finies pour x = 0.i)r, 1°, cette équation donnera

cp' {x) restant aussi fini pour x = 0, par conséquent l'élément de la courbe sera

d'un autre côté l'élément de l'asymptote correspondant à l'élément dy de l'ordonnée sera

d^={y)x — {y)x+dx=- -f cp {x) — —^^—^{^x^dx)= - -f ...;

-- tendra donc vers!.

T, dans les environs de ^ = 0, l'ordonnée de la courbe

seréduiraà —, c'est-à-dire à l'ordonnée de l'hyperbole du second degré

xy=Ay

soit que x soit réel ou imaginaire, pourvu que son .module tende vers zéro. La courbe se confondra donc avec l'hyperbole du second degré et ses conjuguées avec celles de cette hyperbole, de sorte queles démonstrations qui se rapportaient à l'hyperbole s'étendront d'elles-mêmes à la courbe de degré quelconque. Car on sait d'ailleurs que l'enveloppe iraan* p. 12

ginaire des conjuguées a toujours les mêmes asymptotes que la courbe réelle.

Quant au fait de l'échange des mêmes périodes réelles et imaginaires, lorsque l'on échangé une courbe et l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées réalisée, si on n'avait eu en vue que d'en obtenir la démonstration, on y serait parvenu plus simplement de la manière suivante.

Si l'on désigne par z la fonction de x

relative à un lieu f {x, y) = 0, la quadratrice delà courbe dont l'ordonnée serait z sera la rectificatrice de celle dont l'ordonnée était ?/. Or, suivant que le point [x, y] appartiendra à l'enveloppe réelle ou à l'enveloppe imaginaire du lieu f{x, y) =: 0, z et x seront tous deux réels, ou bien z sera réel et x imaginaire : par conséquent le lieu des points [z, x] correspondant à l'enveloppe imaginaire du lieu f{x, y)= 0 ne sera autre chose^que la conjuguée à z réels du lieu des points [z, x] correspondant à l'enveloppe réelle. Par conséquent, d'après la remarque du n° 373, les périodes de la quadratrice de l'une de ces courbes seront les produits par sj — 1 des périodes de la quadratrice de l'autre.

Aperçu sur les intégrales des équations différentielles qui contiennent à la fois la fonction et la variable.

57G. Sauf l'intégration même, les théories qui précèdent comprennent l'étude complète des équations différentielles du premier ordre où n'entre que la variable, c'est-à-dire qui peuvent recevoir la forme

Lorsque l'équation différentielle qu'on se propose d'intégrer contient à la fois la fonction y et la variable indépendante ar, les périodes de l'intégrale peuvent dépendre de la constante qu'introduit l'intégration. Dans ce cas les valeurs de y qui correspondent à une même valeur de x sont bien toujours les termes de diverses progressions par différence ; mais les raisons de ces progressions ne sont plus des constantes absolues : elles dépendent, dans chacune des fonctions de x que représente y, de la valeur de cette fonction qui correspond à une même valeur initiale de x. Ainsi, si l'on prend pour expression de y en ar la fonction qui représente l'aire indéfinie d'une courbe fermée, qu'on différentie l'équation posée entre y et a:, et qu'entre l'équation intégrale et sa différentielle on élimine un des paramètres de la courbe en question, il est clair que l'intégrale générale de l'équation différentielle obtenue sera toujours la fonction de x qui représentait l'aire indéfinie considérée.

Mais le paramètre éliminé y sera représenté par la constante arbitraire introduite dans l'intégration, de sorte que la période de l'intégrale ne sera plus une constante absolue ; elle ne restera la même que dans une même suite de valeurs de y.

Prenons par exemple l'équation

y = CL -

qui donne

dy C

dx ~ x\

l'élimination de G fournira

dx

dL-

dy dx X