Les formules précédentes donnent immédiatement

sin^S + cos«S = l, sin S

^ 1 cosS

cotang S = 7 = -: — - ,

° tang S sin S

séc S = -,

cos S

COSéc S = -: — ::; ;

sm S

. c tang S ^ ^ 1

sinS=— et cosS=-

y/l + tang^ v/T+tâng^

L'intégrale

peut être transformée en

ryii—y' + y')di/

Xy yHy ry — lydx

et, en intégrant par parties,

par conséquent

L'intégrale / di/ \/i — y^ est celle qui donne l'aire du cercle

et de ses conjuguées.

Par suite, il est facile de savoir ce qu'est S.

Fig. 26,

Si y est réel et moindre que 1, y et a: sont les coordonnées OP et PM

d'un point M du cercle OA, 2 j dy y'i y^ est le double de l'aire du

segment AMPO et y y/l — 7/- est le doublede l'aire du triangle OPM;

dy v/l — y% est le double " 0 de l'aire du secteur OAM compris entre le rayon origine OA et le rayon mené au point [x, y]. ^

Si y est imaginaire sans partie réelle, x est réel mais plus grand que i , et S est imaginaire sans partie réelle, puisque tous les éléments de

sjl-y'

sont imaginaires sans parties réelles.

X et y sont alors les coordonnées d'un point M^ de l'hyperbole OA

considérée comme conjuguée du cercle. 2 / dy sji — y"^ est le produit

par v'— 1 du double de l'aire du segment AMiP^O et y y^l — y^ est le

produit par y^ — 1 du double de l'aire du triangle OPiM,; de sorte que S,

Jfy , ,

dy sjl — y% est le produit par \J — 1 du dou-

ble de l'aire du secteur OAMj compris entre le rayon origine OA et le rayon mené au point [x, y].

Si y est l'ordonnée, en partie réelle et en partie imaginaire, d'un point M2 de la conjuguée ayant OB pour axe transverse,

Ç^dy\l\—y^

se composera de l'intégrale j dy \/l — y^ prise de zéro à l'ordonnée du

point B, ou de l'aire du segment ABGO du cercle et de l'intégrale

/ dy \ll — y^ prise de l'ordonnée du point B à l'ordonnée du point Mj.

Les ordonnées de la conjuguée à laquelle appartient le point M^ de-

Fig. 27.

viendraient réelles si l'on donnait à l'axe des x la direction Ox' perpendiculaire à OB ; par conséquent l'intégrale / dy \Ji — y^, prise de l'ordonnée du point B à celle du point Mg, se composera de l'aire réelle BQED, moins l'aire BQM2, affectée du signe \J — 1, plus l'aire réelle du triangle DGB, moins l'expression analytique de l'aire du triangle EMjF.

Réductions faites, on trouvera

S = 2 secteur AOB + 2 secteur BOMj ^— 1,

c'est-à-dire que l'arc dont le sinus est y est le double du secteur du cercle y^-\- x^=^ l, compris entre le rayon origine, couché sur l'axe des X, et l'axe transverse de la conjuguée à laquelle appartient le point [x, y], plus le produit par y — 1 du double du secteur de la même conjuguée, compris entre ce même axe transverse et le rayon mené au point [x, y].

581. Si le point [x,y], partant d'un point [xQ^y^], passe d'une conjuguée à la suivante, de manière que l'axe transverse de celle-ci effectue un tour entier, la partie réelle de S augmente de 2^, et si d'ailleurs le point [x, y] revient au point de départ [x^, y^], la partie imaginaire de S redevient ce qu'elle était d'abord.

Cela veut dire que si S augmente de 2tz, sin S et cos S restent les mêmes.

Si le point [x, y] va se placer au point diamétralement opposé à [X(„ y^] ,

c'est-à-dire s'il vient au point [ — x^, — ^ol' S augmente de ir, mais -

et - ne changent pas.

Cela veut dire que si S augmente de tt, tang S et cotang S restent les mêmes; quant à séc S et à coséc S, qui sont les inverses de cos S et de sin S, elles restent les mêmes lorsque S augmente de 2 tu.