La figure fournit évidemment les formules
sin ( — S) = — sin S, cos ( — S) = cos S, tang ( — S) = — tang S, cotang (— S) = — cotang S ;
sin (it — S) = sin S, cos (it — S) = — cos S, tang (tc — S) = — tang S, cotang (it — S) = — cotang S ;
cos s,
cos ( -±Sj = qr sinS,
tangQ±S^= + tangS,
cotang f - diS j = qp cotang S ;
' 186 CFIAPITRE XXXHI.
sin(-TT±Sj = — cos S,
cos f- TT ±: S J = zp sin S,
tang f - x ± S J = q= tang S,
cotang f- TT ± S j = q= cotang S.
385. Dérivées des fonctions circulaires directes et inverses. -;- = Dy arc sin y =
par conséquent dy
-| = Ds sin S = Vl — y^ = x=: cos S. do
^-D d^dy 1 1 \ ^ \
dx" " ^ dy dx~ yJ'jZIf dx ~ ^'ïZIf —y
dy \/i—y'
— y y/i^^' par conséquent
dx ^ ^ dS dy y ,- , ^
— = Ds cos S = — ^ = ^ v/l — V = — y = — sin S.
dS dydx s/i-y' y y
384. Développements des fondions circulaii^es en séries. — Les dérivées successives de sin S étant
cos S, — sin S, — cos S, -j- sin S, -f-cosS, etc.,
qui se réduisent, pour S = 0, à
1, 0, —1, 0, +1, -etc.,
la formule de Maclaurin donne
De même, les dérivées de cos S étant
— sin S, — cos S, 4" sin S, -}-cosS, etc.,
qui se réduisent, pour S = 0, à
0, — i, 0, +1, etc.,
cos s = 1- — + ^-^3^-^2.3.4.5.6 +•••
58o. Formules relatives à l'addition des aires. — On démontrera, comme on le fait en trigonométrie élémentaire, les formules qui donnent sin (S dz Si), cos (S ± S^) et tang (S dz S,) pour des valeurs réelles de S et S,.
La formule
sin (S -\- Si) = sin S cos Sj + cos S sin S, se traduit par
/y dy rvi dy ryyji—yi^ + yi\[ï=^ dy
Cette équation étant satisfaite, quels que soient y et ^j, est une identité, on peut donc y supposer y et y, imaginaires, par conséquent
sîn (S + Si) =± sin S cos S^ -f- cos S sin S^
quels que soient S et Sj. On démontrerait de même que les autres formules, relatives à l'addition des aires, sont générales.
Toutes les autres formules de trigonométrie se tirant des précédentes, il est inutile de les passer ici en revue.
Théorie des fonctions exponentielle et logarithmique.
586. Voici comment nous pensons que devrait être rétablie la théorie des fonctions exponentielle et logarithmique. Soit •
Cette équation fait S et a; fonctions l'un de l'autre. S est le logarithme népérien de x ou hx.
/dx — est la quadratrice de l'hyperbole xy = l, rapportée à des axes
rectangulaires. Celle des conjuguées de cette hyperbole qui a ses cordes réelles parallèles à y = — x, est le cercle
et le produit par \/ — 1 de l'aire 2ir de cette conjuguée est une période de l'intégrale quadratrice. Par conséquent
a, pour chaque valeur de ar, une infinité de valeurs en progression arithmétique, dont la raison est Stc sj — 1, ou, ce qui revient au même, a,-, considéré comme fonction de S, ne change pas lorsque S augmente de 2Tr y/— \.
587. Si l'on suppose que y soit une fonction de a?, assujettie seulement à prendre la valeur 1 lorsque x prend lui-même cette valeur,
peut s'écrire
ou
ou encore
de sorte que
ydx -\r xdy xy
d{xy)
f'dx Çy dy f"" d{xy
ce qui signifie que
Lx-\-Ly = L{xy);
mais la fonction y restant complètement arbitraire, y est en définitive quelconque par rapport à x, par conséquent le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs, quels que soient ces facteurs. On en conclut immédiatement
