L - = La? — Ly
La;'" = mLx,
m hx'* =:— LX,
Lx^~' = -Lx.
/dx —, prise de 1 à un nombre négatif — x, c'està-dire l'aire de la courbe y = - comprise entre les ordonnées de A et deJM,, symétrique de M, par rapport au centre, est la demi-aire de
Fig. 28.
la conjuguée circulaire décrite sur AAj, comme diamètre, affectée du signe si — 1, plus l'aire du segment compris entre les oi'données de A, et de M,; car l'aire du diamètre AAj est identiquement nulle comme composée de
— OAa -f OAifli; d'un autre côté, la symétrie de la figure donne évidemment
en résulte que
L(— ar) =(2K + 1) 7t y/^ + L (j;).
389. Si l'on donne à x une valeur imaginaire f> \J — 1, la valeur correspondante de y est — - \/ — i, X et y sont les coordonnées d'un des
points de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu, c'est-à-dire de l'hyperbole xy = — 1, qui est représentée en pointillés sur la figure.
Soit Mj ce point, la conjuguée qui touche l'enveloppe imaginaire en M„ touche la courbe réelle au point M, dont l'abscisse est — |â.
Or
r''^-dx r^'dx r'
— est L (— f-i), et quant à / —, c'est le quart de l'aire de la
Fig. 29.
conjuguée MMgMiMg, affectée du signe v/ — l,ou - sj — 1 ; par conséquent
'" '^ = Lx + ('2K+i)W-l;
c'est-à-dire
L^y/Z 1 = La? + C2K+ 1") 71 v/— 1 •
590. Passons à la fonction inverse, ou à la fonction de S représentée par X.
En vertu de l'équation La;"* = 7nLx, si x croît en progression par quotient à partir de 1, S croît en progression par différence à partir de zéro. Par conséquent, les valeurs de a? et de S sont représentées dans les deux suites
Valeurs de ^. . . 1, (1 -|-a), (1 -f- a)*, (1 + a.y, . . . Valeurs de S... 0, p, 2^, 3^, ...
mais les accroissements naissants de x et de S, à partir de 1 pour x et de 0 pour S, sont d'abord égaux, puisque
rfS 1 dx x'
par conséquent, si, dans les progressions précédentes, on suppose a et [i infiniment petits, il faudra faire ^ égal à a. Les valeurs de x et de S sont donc
Valeurs de x. . . 1 , (1 + a), (1 + a)^ (1 + a)^ . . . Valeurs de S. .. 0, a, 2a, 3a,
Supposons a réel, et soit na = 1, si S = d, x aura pour valeur 1 1
(1 -f «y* ou (1 + a)" et si l'on pose (1 + a)* = e, d'où (1 -}- a) = e«, les valeurs de x et de S seront
Valeurs àex. . . 1,6", e^", e'", . . , Valeurs de S.. . 0, a, 2a, 3a, ...
de sorte que tant que x et S seraient réels, la relation entre x et S pourrait être formulée par
Si S devient imaginaire, le symbole e^ devenant libre, on le conserve pour représenter la valeur de x, sachant d'ailleurs que l'exposant S, bien qu'imaginaire, jouit encore des propriétés des exposants réels, c'est-àdire que
^Sg s, ^ gS + Si
comme cela a été établi plus haut.
e prend le nom de base du système des logarithmes considérés jus-
qu'ici. C'est la limite vers laquelle tend (1 -|-a)" lorsque a tend vers zéro; cette limite, que fournit la formule du binôme, est
^='+î + n+oi + --
