II" P
dans les deux cas; on pourra donc, dans la recherche de ces propriétés, admettre la première hypothèse.
On peut, si l'on veut, supposer A; < 1 : en effet, si dans
J, gsl{i-x'){\
JtV),
on pose X = 7, il viendra A;
/' dz
de sorte que le module sera devenu inverse, à la condition que le paramètre ait été multiplié par la valeur de k primitivement plus grande que 1.
La courbe dont s est l'aire a pour équation
g Qik étant supposés réels, cette courbe a la forme
BAB"B'A'B"'DED'E'D"E"D'"E"' ;
la conjuguée à abscisses réelles est
GHG'H'G"H"G'"H'^'
et celle qui a ses ordonnées réelles est
FAF"F'AT".
OBj et OG représentent respectivement 1 et - ou - et 1, selon que k est
moindre ou plus grand que 1 .
La courbe est du sixième degré; il en résulte qu'une conjuguée quelconque est comprise tout entière entre les tangentes menées parallèlement à ses cordes réelles, aux deux branches D"E" et D'E', ou aux deux branches D'"E"' et DE, suivant que la caractéristique de cette conjuguée est positive ou négative; car les parallèles à ces tangentes, qui ne sont pas comprises entre elles, coupent toutes la courbe en six points réels.
On peut encore mener à la courbe réelle, parallèlement à une direction donnée, deux autres tangentes qui la touchent sur les branches B"AB et B"'A'B' et les parallèles à ces tangentes, qui sont comprises entre elles, ne coupent plus la courbe qu'en deux points réels. Chaque
THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 19b
conjuguée est donc composée de deux anneaux séparés, compris l'un entre E"D" et B"'A', et l'autre entre AB et D'E', ou bien l'un entre E"'D"' et B"A, et l'autre entre B'A' et DE.
L'origine est le centre commun de la courbe réelle et de chacune de ses conjuguées.
Nous désignerons souvent, dans ce qui va suivre, le radical par R.
L'intégrale s admet évidemment pour périodes réelles l'aire
BAB"B'A'B", c'est-à-dire, suivant que k est plus petit ou plus grand que 1,
, r' dx , rk dx
et l'aire finie DEE'DT)"'E"'E"D", c'est-à-dire, dans les mêmes liypothèses,
r'^dx ^ C^dx
Mais ces deux aires sont égales ; en effet, si l'on pose x = -
dx
r * dx
Jl g\l{\--x^){\—k^x'\
devient
dz
et si l'on pose z = kuy on trouve "**
J*' kdu /•* du
0 y\'{k'u'—i){kV-k') " J, ijsl{\—v}){{—khâ On ferait voir de même que
Ainsi les deux périodes réelles, quoique distinctes au point de vue géométrique, n'en font qu'une au point de vue analytique. L'intégrale s admet de même, pour périodes imaginaires, les produits
par v^— 1 des aires égales GKHG'K'H' et G"K"H"H"'K'"G"', c'est-à-dire
dx
Du reste, la période imaginaire serait aussi bien le produit par v — * de l'aire intérieure constante d'un des anneaux composant une conjuguée quelconque, ou encore l'aire finie comprise entre l'axe des x et l'une des branches FAP" ou F'A'F'" de la conjuguée à abscisses réelles. Ces faits peuvent être énoncés sans démonstrations, puisque les conjuguées GKHG'K'H'G"K"H"G"'K"'H"' et FAF"F'A'F'" ne sont autre chose que les limites, dans deux sens opposés, des conjuguées composées de deux anneaux fermés, dont l'aire est constante.
Ainsi les deux seules périodes de l'intégrale sont
, /'* dx r/c dx
(0=4/—- ou j -^
et
^'k dx
Nous avons jusqu'ici exprimé les périodes dans les deux hypothèses A; "< 1 et ^ > 1 ; mais l'alternative peut être complètement écartée, car, dans la seconde hypothèse, on pourrait, aux périodes
•rs •• 'X
substituer
. C d^ . , C" dx , r' dx -V, JR '' U ,-R-V. W
c'est-à-dire
,r% et ,c%.
Ainsi l'on
pour]
■a prendre, dans les deux cas, pour périodes,
r' dx , r'k dx
et, quel que soit s, on aura
(1) \{s,g,k) — \{s-\-nm-{-nià,g,k),
m et n désignant des nombres entiers quelconques.
C'est, au reste, la période w qui se réduit à 27t lorsque la fonction X se réduit à sin gs.
