La fonction X est impaire, c'est-à-dire que
en effet, la figure montre que x et s changent en même temps de signes, sans changer de valeurs, a- et s partent en même temps de zéro ; par conséquent
X(0,^,;i:) = 0, ou, plus généralement,
(3) X (mw + W, g, k) = 0.
Pour trouver les autres valeurs de s qui annulent X , on remarquera que,
si le point [x, y] suit le chemin ABB'A', l'intégrale aura crû de -, x étant
redevenu nul.
Il en résulte que
ou, plus généralement,
(4) >^| !„,,, 4. na>',ôr,^)^ = 0.
Les formules précédentes sont les analogues de sin (2A;Tt -f- «) = sin s, sin(— s)=— sins, sin2Ax=0, sin(2A-|-l)u=0. Si le point [x, y] suit successivement les deux chemins AM et AMBB'A'M", les deux valeurs de l'intégrale diffèrent de - et ar a seulement changé de signe; par conséquent
OU, plus généralement,
Cette formule est l'analogue de
sin (tt -f- s) = — sin s.
Si le point [x, y] suit successivement les deux chemins A M et AMBB'M', les deux valeurs de l'intégrale forment une somme égale à - et les x sont égaux ; par conséquent
^(^ — s,9,kj = 'k (5, g, k), ou, plus généralement,
cette formule est l'analogue de
sin (w — .s)= sm s.
Pour terminer ce qui concerne la période w, il reste à remarquer que si
le point [x, y] est arrivé en B, de manière que s soit égal à -, et que l'on
augmente s ou qu'on le diminue d'une même quantité, aire B'M'MjBj ou aire BMM^B,, x, dans les deux cas, prend la même valeur. Il en est de même si le point [x, y] est arrivé en B'". Il en résulte
(7) l(^jJrs,9,f^^=^(~-s,9,k^ et
(8) l(-o> 4-s,g,k\ = '^l-oy— s,9,kj.
Ces formules sont les analogues de
sin et
in(| + .) = sin(|~.).
5Î)5. Nous avons déjà dit que le double de la période imaginaire w' se retrouve dans raire FF"F"'F' de la conjuguée à ordonnées réelles, affectée du signe V— 1 , c'est-à-dire que
^ = V— 1 aire AFOx = /
dx Ainsi,
Si le point [a?, y] suit le chemin ABHKGDE, l'aire engendrée est
(0 , 0)' , to w , w' r ^ r dx . ,
- -|- - -f - ou - -j- ^ ; par conséquent I ---a aussi pour valeu
- -|- —, de sorte que
(«0) x(|-|-^,.9,a) = oo;
mais X (— , g, A;|*est imaginaire sans partie réelle, tandis que
>^ U H- ^v .9,^] est réel.
Ainsi les valeurs de s qui rendent X infini, sont
— -f- ww -|- nia' et
2 + 7 + Ȕw + nco .
Nous avions déjà trouvé que celles qui le rendent nul sont
m(ù -{- nwî et
- -|- mui -|- nto ; on voit que la somme de deux valeurs du premier genre est
comme la somme de deux valeurs du second ; c'est-à-dire, que la somme
de deux valeurs de s, non réductibles l'une à l'autre, qui rendent X nul, est réductible à la somme de deux de ses valeurs, non réductibles l'une à l'autre, qui donnent X infini.
On sait que cette propriété est caractéristique des fonctions doublement périodiques bien déterminées.
En appelant a et 6 les termes généraux des deux séries de valeurs des qui rendent X nul, « et |â les termes généraux des deux séries de valeurs qui rendent X infini, on a
(11) a-\-hz=:a-{-^-\- mtà -\- W.
396. Si le point [x,y] suit le chemin AMBHKG, s prend la valeur 7 + -^
ei x= -, par conséquent
(12) x(|+^ + mo. + na,',.9,/:) = i.
Si dans Téquation
dx s
Jf^'^ dx
0 gsJ{i-X^){\
on pose X = —, ■> il vient
dx
— dx'
gsl{i—x''){\ — k^x'^) dx' . f^' • — dx'
r" —dx r
J^ g yj{i—x"){l — k'x") J,
mais
/*^ — dx' Ç"^ dx' oi w'
c'est la valeur que prend l'intégrale quand x croît par valeurs réelles jusqu'à l'infini réel et positif; par conséquent, si l'on avait posé
U) to' 1
s = s' 4- - -f- —, en même temps quex= — ;, on aurait trouvé
kx' dx'
c'est-à-dire que
ou enfin
'^i' — ::: — -^^9.li) =
kl[s,g,ky mais on a trouvé plus haut
par conséquent*
c'est-à-dire enfin
597. La fonction 1 est bien déterminée, c'est-à-dire qu'elle n'a qu'une seule valeur pour chaque valeur de s. Gela tient à ce que, toutes les conjuguées de la courbe yx étant fermées, à l'exception de celles qui sont tracées sur la figure, mais dont les aires sont finies, les deux parties réelle et imaginaire de s ne peuvent respectivement dépasser w et 0/ que par l'accumulation des périodes. Il en résulte que si l'on donne as une valeur A -}- B v^— 1, on peut, en en retranchant ou y ajoutant les deux périodes, en nombres convenables, le réduire à une valeur s = a -\- b y — 1, dans laquelle a et 6 soient par exemple positifs et respectivement moindres que w et le coefficient de y/— 1 dans m. Si alors b est nul, le point [y, X] appartient nécessairement à l'une de-; branches BAB" ou B'A'B'"; car s'il était placé sur l'un des arcs
