DE, D'E', D^'E", D"'E

bi'

S aurait pour partie imaginaire ± — ; le point [y, X] est d'ailleurs tel

que M, ou M', ou M", ou M", suivant que a est moindre que - compris

entre - et -^ , entre - et 3-, ou enfin entre 3- et w. Si a est nul , le 4 2 2 4 4

202 CHAPITRK XXXIV.

point [y, X] appartient à l'un des arcs F"AF, F'A'F'"; il se trouve d'ailleurs sur AF, ou sur F'A', suivant que b est moindre que —, ou compris entre

— et w'. Pour qu'on pût le placer sur AT" ou sur F"A, il faudrait qu'on

eût réduit B à être seulement moindre que 2oj' ; alors le point [y, X] se-

rait sur A' F'", si b était compris entre w' et - w, et sur F"A , si b était com-

'3 pris entre -w' et Sw'.

Nous avons déjà dit que les conjuguées dont la caractéristique est négative forment deux anneaux dont l'un est compris entre les branches DE et A'B', et l'autre entre AB" et D"'E"'. Les conjuguées dont la caractéristique est positive sont au contraire comprises entre AB et D'E' d'une part, A'B"'etD"E" de l'autre. C'est d'ailleurs l'aire, affectée

du signe \/ — \ , de l'un de ces anneaux, qui est oj'.

Cela posé, si ni a ni 6 ne sont nuls, l'anneau auquel appartiendra le point [y, À] touchera AB, ou B'A', ou A'B'", ou B"A, suivant que a sera

momdre que -, compris entre - et -,ou entre - et 3 -, ou enfin entre 4 4 2 2 4

3-- et 0). D'ailleurs, ce point [y, X] se trouvera sur le premier, le second,

le troisième ou le quatrième quadrant de l'anneau, suivant que 6, sera

. , Oi' . tù' 0)' 0) Oi'

momdre que --, compris entre — et —, entre — et 3-, ou enfin entre ^4 4 2 2 4

ta 3- et w'. Ainsi la position de ce point sera déterminée dans tous les cas.

398. La fonction X dont nous venons de nous occuper est la fonction mère des fonctions doublement périodiques bien déterminées ; ses composées les plus simples sont

[;l=±\/1— X^ et V = ± Vi — k1\

qui ne sont autres que des fonctions X, de paramètres et de modules différents. En effet,

ds ds dX 1 — (x

d^~ dXd^~ g ^(4 ^î) (I ^2j^2^ X

si l'on élimine X, il vient

ds =p 1 rp 1

d^ gsj{i-^^){i-k^i-y.^)) ^j-r-^J,, ..J^__l^^

gsji-ky{\

puisque X = 0 correspond à (x ■-: ± i. De même

ds ds dX

rfv rfX rfv on

ds 1

ou, en éliminant X,

^s q= 1 rp i

Les fonctions fx et v ne sont donc que des fonctions X de la même variable s, augmentée d'une constante, ayant respectivement pour para-

mètres, ^ yl — k^&ig sjk^ — i et, pour modules, -:== et — ===

^Jk^ - 1 y/i A*.

Ces deux fonctions ne seraient pas complètement définies par ce qui précède, puisque chacune d'elles serait affectée du double signe. Cela tient à ce qu'elles ne devaient pas être définies par rapport à X, mais par rapport à s. Mais il suffira, pour lever l'indétermination, de se donner la valeur de chacune d'elles, pour une valeur particulière de la variable. Comme X(0) = 0, (ji(0) et v(0) seraient égaux à ±: 1, on fait (a(0) = -|- i et v(0) = -|- 1. Il en résulte

204 CHAPITRK XXXIV.

Mais les intégrales définies

sont les quarts des premières périodes des fonctions (x et v considérées

comme des fonctions \ de paramètres g \i — k^ et g \/k^ — 1 et de

modules -^==z. et -; En les désignant par w, et w,, on aura

s/k'-i s/l — k^ donc :

v(., g,k)--=lh -s,gs/k^-l, -=L=Y \^ \'l — k'/

599. Les fonctions (x {s, g, k) et v (s, ^, A;) sont bien déterminées et doublement périodiques, puisqu'elles s'expriment par des fonctions X. D'ailleurs, comme ce sont des fonctions de X {s, g, k), leurs périodes devront avoir avec celles de X des relations simples, mais elles ne seront pas nécessairement identiques à celles de X.

On reconnaît aisément que les périodes de {x sont «o et - -}- '•> et co

que celles de v sont - et 2oj'.

Des intégrales doubles prises entre des limites imaginaires.

400. La définition d'une intégrale double / / zdxdy, lorsque les variables dont elle dépend doivent passer par des valeurs imaginaires, était sujette à des difficultés que nous devons indiquer avant de passer outre.

11 est évident d'abord qu'une des sommes représentées dans la formule

dx . dy

ne se sépare des autres qu'autant qu'on fournit deux relations entre les parties réelles et imaginaires de x, y et -, qui, jointes aux deux équations dans lesquelles se décompose celle qui donne z implicitement, réduisent à deux le nombre des variables indépendantes.

Mais ces deux relations étant données, pour concevoir nettement l'in^ légrale double, il faudrait la transformer de manière à pouvoir y séparer les deux intégrations.

Or une pareille transformation exigerait habituellement un changement de variables indépendantes.

En effet, à un même couple de valeurs attribuées aux parties réelle et imaginaire soit de y, soit de x, il ne correspondra en général qu'un nombre limité de systèmes de valeurs soit de x et de Zj soit de y et de z, puisque sur les six variables on en aura choisi deux et qu'il restera aux quatre autres à satisfaire à quatre conditions.

Pour pouvoir séparer les deux intégrations, il faudrait en général substituer des variables réelles aux variables imaginaires considérées.

On pourrait prendre pour variables indépendantes les parties a et [i qui composent x, et l'on effectuerait la transformation au moyen de la formule de Jacobi.

Mais une pareille transformation,habituellement, altérerait trop pro-

fondement la forme analytique de la fonction placée sous le signe f

pour laisser aucun moyen d'en étudier l'intégrale. Il vaudra donc mieux recourir à un autre moyen pour définir l'intégrale double.

Nous commencerons par déterminer, pour chaque système de limites, la valeur de l'intégrale la plus facile à rencontrer et à définir.

Les limites seront fournies par deux courbes réelles ou imaginaires composées de points pris sur la surface F [x,,y, z] = 0, ou sur ses conjuguées, et la discussion portera sur les différentes hypothèses qu'on peut faire relativement à ces courbes.

401. Lorsque les deux courbes, qui forment les limites de l'intégrale, ont les ordonnées de tous leurs points réelles, on peut éviter de faire passer ?/ par des valeurs imaginaires; alors l'intégrale double reçoit immédiatement la forme

/ dy j zdx.

Mais les limites de chaque intégration étant lixées, si l'on n'indiquait pas de quelle manière, pour chaque valeur de y, x variera entre ses limites

cp {y) et tj^ {y)y l'intégrale

zdx

resterait en général complètement indéterminée. En effet, pour chaque valeur de y, y = k,

Jr^it iy) zdx î(y)

pourrait avoir une infinité de valeurs qui seraient une quantité fixe augmentée de multiples entiers de quantités représentant les aires des anneaux fermés de la courbe

les aires imaginaires des conjuguées fermées de cette courbe,, ou les valeurs de l'intégrale / zdx, prises le long des anneaux fermés de l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées; en sorte que si la nature de la question ne spécifiait rien sur le nombre de chacune des périodes qu'il faudrait comprendre dans la valeur de l'intégrale

zdx,

fiy)

pour chaque valeur de y, l'éléraenL

dtj 1 zdx,

renfermant une partie dans laquelle un coefficient, entier à la vérité, serait quelconque, comme cette partie serait toujours inliniment petite, l'intégrale

••"i' iV)

zdx

pourrait recevoir une intinité de valeurs continues entre elles; tandis que si, au contraire, la marche des valeurs de x est fixée d'une manière générale, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de y, alors les valeurs de l'intégrale

zdx

ne se formeront plus indépendamngient les unes des autres, et l'intégrale double sera complètement définie.

Pour fixer la marche des valeurs de x entre ses limites correspondant à chaque valeur de y, on pourra définir d'une manière générale la courbe réelle ou imaginaire que, dans chaque plan parallèle au plan des xz, et distant de ce plan de la quantité^, le point [x, z\ devra décrire entre les limites x = (o{y)etx = <^ {y), pour engendrer l'aire

zdx.

Soit toujours y = k une des valeurs de y, le plan y = k coupera la surface réelle et celles de ses conjuguées dont les ordonnées y sont réelles, suivant une courbe réelle et ses conjuguées imaginaires.

Si ^0 = ? W ^^ ^'i = "^ (^') sont constamment réels, quel que soit k, on pourra ne donner à x que des valeurs réelles, et l'intégrale

zdx

représentera la somme des aires des sections faites dans la surface réelle et dans sa conjuguée à abscisses et ordonnées réelles, comprises entre ces deux courbes, l'axe des x et les deux parallèles à l'axe des z,

Mais cette intégrale aura d'ailleurs autant de valeurs qu'il y aura de chemins continus sur ces deux courbes, des divers points qui peuvent

répondre à la limite intérieure ar^ = cp {k), aux points qui peuvent répondre à la limite supérieure ^i = <]/ {k).

%\\x peut aller de a,„ = <f»(A) à x^ = '^{k) en dépassant ces limites dans un sens ou dans l'autre de toutes les manières possibles, pourvu que, partant de a^o = <p (A), il arrive par des valeurs réelles à ar^ = ^{/ (A), l'intégrale devra être complétée par l'addition de multiples entiers des aires des anneaux fermés de la section réelle, ou des produits par ^ — 1 des aires des anneaux fermés de la section imaginaire à abscisses réelles.

L'intégrale

zdx iy)

représentera donc la somme des volumes compris entre la surface réelle et sa conjuguée à abscisses et ordonnées réelles, le plan desxy, les deux plans ?/ = y^, y = y, et les deux cylindres x = «p (y), x = ^ (y).

Et si, dans chaque plan y =,k, le point [x, z] a décrit des anneaux fermés homologues et chacun un même non^bre de fois dans chaque plan, l'intégrale comprendra, en outre, des multiples des volumes engendrés par ces différents anneaux fermés, lorsqu'ils se déplacent parallèlement au plan des xz entre les plans y = y^, y = y^.

Si iCo = <p {k) ei Xi = <^ (k) étant toujours supposés réels, quel que soit A, on veut néanmoins faire passer x par des valeurs imaginaires, on pourra interrompre à un instant quelconque le chemin du point [x, z] sur l'arc de la courbe réelle, par un tour fait sur une de ses conjuguées fermées, de façon à continuer ensuite l'arc réel, ou si cet arc réel se compose de deux branches distinctes et séparées, passer de l'une à l'autre en suivant l'une quelconque des conjuguées, au lieu de prendre, comme précédemment, la conjuguée à abscisses réelles.

L'intégrale aura, dans tous les cas, exactement la même valeur que dans le cas précédent, car les aires imaginaires des conjuguées fermées contenues dans un même plan seront égales, et par conséquent engendreront les mêmes volumes.

On pourra aussi faire parcourir au point [a.-, z], dans chaque plan y = kj des anneaux fermés de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la section, s'il y en a, et engendrer ainsi de nouvelles périodes^

Enfm^ on pourra passer dans le plan de chaque section, du point 0^0 = cp (k) au point ^"1 = ^ {k), par une succession de valeurs imaginaires de X, réglée par une loi entièrement arbitraire, par une relation choisie à volonté entre les parties réelles et imaginaires de x et de -, cette relation n'étant assujettie qu'à la condition d'être satisfaite par

et par

X = ^[k), z, = F{x„k), quel que soit k.

Alors l'intégrale

(k) zdx

représentera l'aire de la section faite dans la surface réelle et sa conjuguée à abscisses et ordonnées réelles, par exemple, plus des multiples déterminés des périodes de la quadratrice de la section. Le chiffre de chacun de ces multiples se déterminera, comme on l'a vu dans la théorie des intégrales simples, par le nombre de tours que fera sur l'anneau correspondant de l'enveloppe totale, le point de contact de cet anneau avec la conjuguée sur laquelle se trouvera à chaque instant le point [x; -], ou par le nombre de contacts du chemin qu'aura décrit ce point [x, z], avec les branches de l'enveloppe qui touchent chaque anneau fermé de l'une des conjuguées imaginaires.

Il pourrait se faire que, k variant, le nombre de ces tours ou contacts ne dût pas rester le même dans les plans de toutes les sections, on devrait alors déterminer les valeurs de k entre lesquelles ces nombres resteraient constants; l'intégrale se composerait de multiples différents des volumes engendrés par les anneaux fermés, dans les intervalles des plans correspondant aux valeurs principales de k.

Six^^=o{k) et Xi = '\){k) n'étaient pas constamment réels, les limites de l'intégrale

zdx

seraient prises, en général, sur deux conjuguées différentes de la section réelle contenue dans le plan y = A, et cette intégrale, à la différence

zl z\

près de la quantité -— ■— -, représenterait la somme des aires des

deux Conjuguées passant par les limites, et de la courbe réelle terminée aux points où elle toucherait ces deux conjuguées; l'intégrale double, à la différence près de la quantité

1 Mi , /ss\^='l'(y;

représenterait donc le volume compris entre le plan des xy, la surface formée par les sections parallèles ail plan des xz soit de la surface réelle, soit de ses conjuguées à ordonnées réelles qui passeraient par tous les points y = k, x = ^ {k) ou -^ {k), z = F {x, y), et un conoïde ayant pour génératrices les parallèles menées de ces divers points aux cordes réelles des conjuguées qui y passeraient.

Si les deux conjuguées, passant par les deux points limites, ne touchaient que l'enveloppe imaginaire, il faudrait substituer dans l'énoncé précédent cette enveloppe à la courbe réelle, et l'intégrale prise le long de son contour à Taire de la courbe réelle.

Il" p. I i

402. Lorsque les deux courbes qui forment les limites de l'intégrale double, sont sur une même conjuguée, ou sur des conjuguées différentes, mais dont les caractéristiques soient proportionnelles, ou, enfin, quand ces deux courbes se composent de points pris sur les conjuguées dont les deux caractéristiques sont comme des nombres donnés, on peut éviter de faire sortir le point [x, y, z] de ces conjuguées.

Ce cas peut se ramener au précédent par une transformation de coordonnées.

En faisant tourner le plan des xz d'un angle convenable, autour de l'axe des 2, on substituera à la suite des valeurs que devaient prendre X, y et z, une autre suite de valeurs d'autres variables x\ y\ z', desquelles «/'restera constamment réelle, et les valeurs de. la nouvelle intégrale double

sin YX' / du' / z'dx'

fourniront celles de la proposée. Or le paragraphe précédent les définit complètement.

405. Lorsque chacune des limites est tout entière sur une même conjuguée, les deux conjuguées qui les contiennent étant d'ailleurs différentes, on peut supposer que le point [x, y, z] trace des courbes définies sur les conjuguées comprises dans une même suite : on ne pourra plus alors rendre en même temps réelles toutes les valeurs de y, par une même transformation de coordonnées; mais cependant on arrivera encore aisément à déterminer l'un des volumes que peut représenter, dans ce cas, l'intégrale double.

En effet, les limites étant fournies par deux courbes B et B', tracées sur deux conjuguées différentes et quelconques d'ailleurs, l'intégrale comprendra évidemment, parmi ses valeurs, le volume de la conjuguée à laquelle appartient la courbe B, limité à cette courbe et à la courbe C suivant laquelle elle touche la surface réelle, plus le volume correspondant à la portion de la surface réelle comprise entre la courbe G et la courbe G', suivant laquelle elle touche la conjuguée à laquelle appartient la courbe B', plus le volume de cette dernière conjuguée limitée aux courbes G' et B', ces trois volumes étant compris dans trois cylindres parallèles à trois axes de z différents, mais dont les directions sont connues, plus enfin les parties complémentaires qui s'introduisent à chaque changement de direction de l'axe des z, parties que nous avons déjà plusieurs fois évaluées.

404. Supposons enfin qu'en tous les points d'une même limite, les deux caractéristiques conservent entre elles un rapport constant, ce rapport n'étant pas toutefois le même aux deux limites : A et B étant ces deux courbes limites, nous supposerons d'abord l'une d'elles A tracée sur la surface réelle.

Si nous commençons par faire tourner les axes des x et des y d'un angle tel, que les ordonnées de tous les points de la courbe B deviennent réelles, et que nous concevions ensuite dans chaque plan parallèle au nouveau plan des xz, et passant par un point de la courbe B, les sections faites dans la surface réelle et dans la conjuguée imaginaire à laquelle ce point appartient, ces deux sections tangentes entre elles se faisant suite l'une à l'autre, couperont aux points j;' = a, x'=by les courbes A et B,

z!dx'

représentera la somme de leurs aires, à la différence près de la quantité algébrique

l'intégrale

zdx^

J Jç (y')

dans laquelle ç {y') et ij/ {y') seraient les valeurs générales de oc; en y', pour tous les points de la courbe A et de la courbe B, représentera donc le volume de la surface réelle limitée à la courbe A et à la courbe D, suivant laquelle elle touche toutes les sections faites dans les conjuguées auxquelles appartiennent les points de la courbe B, plus le volume d'une surface imaginaire engendrée par ces sections, limitées à la surface réelle et à la courbe B, plus l'intégrale simple

f-mi

Si les deux limites A et B étaient imaginaires, on évaluerait séparément l'intégrale entre les courbes A, B et des courbes différentes D, E tracées sur la surface réelle, et on y joindrait l'intégrale prise entre les courbes D et E.

40o. Le dernier cas qui resterait à examiner serait celui où les deux limites seraient composées de points entièrement quelconques. Mais la question, dans cette hypothèse générale, exige absolument un changement complet de variables indépendantes,

Nous passons donc à l'indication de la méthode, que nous avons an^ noncée, pour définir une intégrale double dans le cas le plus général d'une marche définie mais quelconque des deux variables indépen-' dantes.

Définition et évaluation d'une intégrale double prise entre limites imaginaires.