Si 3 est défini par une équation

f{x, y, z) = 0, et que Ton fasse

X = <x-\-^ \/— 1, (/ = «.' -\- ^' y/— 1, s = a" -f JH" sj— i ,

l'équation

/(« + fi\^, a'+^'v/-^, a" + fi" y/ZT) = 0

donnera deux relations entre les six variables a, [i, a', ^', a" et ^", et quatre d'entre elles resteront indépendantes.

Pour délimiter l'intégrale Izdxdy il faudra introduire deux nouvelles relations entre les six variables.

Supposons qu'on ait défini, au moyen de deux équations

^ («, ^, *', ^') = 0 et cp, («, p, a', ^') = 0,

la suite double des valeurs que doivent prendre .c et t/ et, par conséquent, la série des éléments zdxdy que l'on veut sommer, la somme de ces éléments sera

I = V (a" H- ^" s/ITi) (^« ^ d{i v^HT) ((/«' -)- d^' v/^) ou

l = X {a."d<xdai' — ct!'d[id^')

Concevons les deux surfaces dont les coordonnées seraient

ar = a — [:t, y = a' — [ii', î = «' — fi'^ :

le volume V, compris entre la première surface et le plan des xij, sera V = 2(a"rfarfa' + a'Wprf^')

DES INTÉGRALES DOIBLES. . 21 3

-f- 2 (a"rfarfp' -f- a'W^rfa')

et le volume .V, compris entre la seconde surface et le plan des xy^ sera

V = 2 (a"rfa(/a' + a'Wfi^i') on déduit de ces deux dernières équations

2 (a" rf« dfx + a" 4 rf^') -f i (fi" rfa rfp' + ^" c?^ rf«') = et

2: (a" dft flffi' -f «" c?|i r/a') -{- 2 ((i" rfa agi -[- p" 11 en résulte

1 = ^ h22:a"rfarfa'+v/— 1 f ^-— — — 22?" //Mf^'j-

Considérons encore les deux surfaces dont les cordonnées seraient

A' = ay y = a', s = a" et

et qui seraient, la première, le lieu des milieux des droites joignant les points correspondants des deux surfaces précédentes, et la seconde, le lieu des milieux des droites joignant les points correspondants de la première des deux surfaces précédentes et de la symétrique de la seconde par rapport à l'origine.

Les volumes V, et Y'i, compris entre ces deux surfaces et le plan des xy^ seront respectivement "*"

\\ = 2a"</arfa' et V, = 2^'W?rfp'. On aura donc

I =- -^ + 2v. + v/=T (-^ - av.).

La suite des solutions considérées de réqualion/(a:, y, z)r=.{^ étant définie, on peut admettre que l'on puisse se procurer les coordonnéesd'autant de points que l'on voudra des quatre surfaces que l'on a fait intervenir, ce qui permettra d'évaluer avec tel degré d'approximation

que l'on voudra, par excès et par défaut les quatre volumes V, V, Vj et V'„ en comprenant chacun d'eux entre des sommes de prismes triangulaires inscrits et circonscrits.

Mais, au reste, on pourra toujours obtenir les équations mêmes des quatre surfaces. En effet, pour obtenir celles des deux premières, il suffira d'éliminer a, p, a, p', a" et [à" entre les deux relations

• ? («, P, «', ^') = 0 et (p, (a, f,, «', f,') = 0,

les deux équations dans lesquelles se décompose

et les trois équations

pour la première, et

pour la seconde.

Quant aux deux dernières, ce sera encore plus facile : pour avoir l'équation de la troisième surface, il n'y aura qu'à éliminer ^, p' et p" entre

<p = 0, ç, = 0 et^ f=0,

et à remplacer, dans l'équation résultante, a, «' et a" par x, y et z. De même, pour avoir l'équation de la quatrième surface, il n'y aura qu'à éliminer a, a' et a" entre les quatre mêmes équations

<p=0, 9, = 0 et f=0,

et à remplacer, dans l'équation résultante, p, p' et jâ" par x, y eiz.

Ainsi toute intégrale double définie se ramène aux cubatures de quatre surfaces réelles déterminées.

Nous désignerons par la Suite les équations de ces quatre surfaces par

cp' = 0, ©; = 0, ^=0 et 'fi = 0.

Il ne reste qu'à indiquer comment on pourra fixer les limites de l'intégrale : ce sera évidemment, soit en se donnant une condition

.qui devrait être remplie par les valeurs extrêmes de a, [â, a' et ^', soit l'équation

de la projection sur le plan des x, y du contour de la portion de la surface ç' == 0 à laquelle devrait correspondre le volume V. On en conclura, en eflet, les équations des projections sur le même plan des xy des contours correspondants des portions des autres surfaces (p', = 0, i]/ = 0 et (j/^ = 0, auxquelles répondront les volumes V, Vj et Y y ; car il est facile de voir que les quatre surfaces se correspondent point par point. En effet, si l'on se donne, par exemple, a -|- ^ et a' -j- [i', l'équation ©' = 0 fournira a" -f ^" et les trois équations /" = 0 et ç\ = 0 achèveront de déterminer a, fi, à, ^', a" et p".

On peut encore remarquer que, dans les explications théoriques, on pourra, si on le veut, supposer que ce soient les équations cp' = 0 et {p'j = 0 qu'on se soit données pour définir l'intégrale, au lieu de ç = 0 et (pi = 0 ; car elles en tiennent parfaitement lieu.

Supposons que l'équation f{x, y, 2) = 0ait tous ses coefficients réels,

et qu'on ait considéré une suite double de solutions de cette équation,

représentées par

et pour laquelle on ait trouvé une valeur I de ^l'intégrale

/ zdxdy^

l'équation proposée étant par hypothèse capable des solutions imaginaires conjuguées des précédentes, on pourra considérer la suite de ces nouvelles solutions, et il y correspondra une nouvelle valeur l' de l'intégrale. Cette intégrale sera

r =1 (a" — ^" sl~\ ) (doL — rf[à v/~l) {doi' — d^' v/^)

-l-2(jâ"c?a4i' + ^"c?pc?a')

— V— 1 S (a'flfac?^' + oi"d^doL)

— \/^ 2 {fdotdot: — ^"d^d^'),

c'est-à-dire

ce que l'on aurait pu écrire de suite, les deux surfaces ç' = 0 et ^\=0 devant s'échanger entre elles, la surface <]^ = 0 restant évidemment ce qu'elle était et la surface <!', = 0 devant se changer en sa symétrique par rapport à l'origine.

Théorème de V indépendance de la valeur de IHntégrale double et des valeurs intermédiaires des variables, les limites restant les mêmes.

407. Gela posé, nous commencerons par établir, comme pour la théorie des intégrales simples, que si les équations cp = 0 et cp^ = 0 et, par suite, les équations 9 = 0, <p\ = 0, <]> := 0 et <]/' =: 0 changent infiniment peu, sans toutefois que les équations

/•.(a-j-p^irT, «'4-fi'v/^, «''4-r\/^) = o,

? {«, p, a', p') = 0, cp, («, ^, a, ^') = 0, X (ce, ^, a', p') = 0,

cessent de comporter identiquement les mêmes solutions, l'intégrale I restera généralement invariable, et nous déterminerons les conditions dans lesquelles cette intégrale pourrait changer. Si

est l'équation d'une surface réelle que l'on veuille cuber, et qu'on ait eu lieu de considérer les coordonnées a: et y comme composées chacune de deux parties, a et p, pour x, a et [i', pour y, l'élément

zdxdy = z («fa -f- d^) {d% -f- d^)

du volume cherché, correspondant à l'élément de surface dxdy, ou

(rfa -f d^) {drx -f- d^\

dp'

pourra être évalué de cinq manières différentes. Il sera exprimé d'abord par

F (a -f |â, a -f p') («?« + ^|â) (^«' + C?!^') ou

F {x, y) (da -f ri|â) (c?a' -f d^').

DES INTEGRALES DOUBLES.

Il pourra l'être aussi par

rfa'

F {x, y) d(xdoL +¥{x+ fh, y) doi d^-\-Y {x, y -f </a')

ou par

(fa'

rf?'

F (X, y) ou encore par

+ F (x -f- rfp, y) d%d^' ^Y{x, y-{- d^) doi'd^ -\-F {x-\- dp, y -f d^') d(xdx\

da'

rf?'

F (.r, y) doL d^' ■\:Y{x-\- dot, y) d[i d^' -f- F [x, y + rf^') doi d%

ou enfin par

rfp'

F (x, y) rfjîrfa' -I- F (a: + c?p, y) rfarfa -{-Y{x,y-\- d<x') d^d^ 4-F (:r + d% y + r^a') doid^'.

Il en est exactement de même si, x eiy étant imaginaires, on a dû naturellement considéreràpartleurspartiesréellesetimaginaires, a et p sj — 1,

pour X, OL et f>' \ — 1 , pour y. Cela tient simplement à ce que les facteurs finis

F (a: -f rfa, y), F {x -{- d^ \/^, y), F (x, y + du),

Fix, y-\-dp'\J^), F {x -\- da, y^ du'), F {xi- du, y -f d^'s/— l). F(x-{-d^\/—i,y-\- da'), enGn

F(xi-d^ \J^, y + d{i' \l^),

ne difFèrent de F (x, y) que d'infiniment petits, dont les produits par les deux facteurs différentiels, qui entrent dans le même terme, sontnégligeables, comme étant du troisième ordre.

Mais il ne résulte absolument rien de l'identité des cinq formes de l'élément z(</a -f c?p) {da -f- d^'), parce que les parties a et p, a' et ^' se confondent, à cause de l'identité de leur nature, tandis que l'égalité des cinq valeurs de l'élément

z {du + d^ \/^) {du' -f d{6' v/^)

montre que l'on peut intervertir l'ordre des variations des parties réelles et imaginaires de a? et de y, c'est-à-dire changer.infiniment peu et ensuite d'une manière finie la suite double des valeurs attribuées hx et à y sans que l'intégrale I change.

En effet, en reportant d'abord chaque du et chaque du\ par exemple, sur le dx et le dy précédents, puis encore chaque nouveau du et chaque nouveau du sur le nouveau dx et le nouveau dy précédents, etc., on changera les lois de progression de x et de y, et, pourvu que les limites restent les mêmes, l'intégrale I ne variera pas.

Toutefois, la démonstration suppose que dans le cours de la déformation du système des valeurs prises par x et y, il ne puisse pas arriver que

dz dz

— et V deviennent infinis ou multiples, sans quoi, ou bien, les différences entre

enfin

F (^ + du, y), F {xj-^dp s/^, y), F{x,yi- du'),

F{x,yi- d^ v/- l), F (x + du, ^J- du), F{xi-du,y-\- df>'y/-l), F {x + d^sj-i, .y + ^«')

Y{xJrd<^\l~\,y + d[i>'sj'^\),

cesseraient d'être infiniment petites; ou biens, partant de valeurs égales, pourrait ensuite prendre des accroissements unis différents, lorsque xeiy continueraient à varier.

Les dérivées partielles de z, par rapport à a- et à y, étant données par les formules

les systèmes de valeurs de ar, y et z, pour lesquels ^ et j- prennent des valeurs infinies, sont donnés par l'équation

qu'il faut joindre à l'équation

f{x, y, z) — 0, qui définit z.

Ces deux équations

/•(ar, y, 2) = 0 et fj{x,.y,z)=0

fourniront une infinité de systèmes de valeurs des trois variables, et, pour que l'intégrale I, définie par l'introduction des équations

<p = 0, <pi = 0 et X = 0,

ne varie pas lorsque <f et <pi se déformeront, sans que les équations

/•=0, • <î> = 0, cp,==0, 1=0

cessent de comporter les mômes solutions, il faudra que le système des solutions communes aux équations

/•=0, <p = 0, cp. =0,

dans l'intérieur de la limite X = 0, ne renferme à aucun instant des solutions des équations

/■=0 et f = 0, dz

ou, du moins, ce n'est qu'autant que cette condition sera remplie qu'on pourra affirmer sans examen que l'intégrale sera restée la même.

408 . Supposons que les valeurs extrêmes, assignées aux variables par les équations

/•=0, cp=0, (p, =0,

se trouvent naturellement finies, en raison de la forme de ces équations, et constituent un ensemble continu, unique et fermé de toutes parts, conditions qui se trouveront réalisées si l'élimination de trois quelconques des quantités a, p, «', |i', a", [i", entre les quatre équations

conduit, pour les trois autres, à une équation telle que celle d'un sphéroïde : si l'intégrale doit comprendre tous les éléments zdxdy correspondant à cet ensemble de solutions, l'équation aux limites, X = 0, deviendra inutile.

D'ailleurs chacune des surfaces représentées par les équations

cp' = 0, cp'i=0, ^ = 0 et ^, = 0,

se trouvera elle-même fermée, et ce seront les volumes compris dans les intérieurs de ces surfaces qui concourront à constituer l'intégrale, d'après la formule

,=L±j:+,v,+vrT(I

D'après la théorie précédente, si, après avoir tracé à volonté une courbe fermée sur la surface cp' ^ 0 et avoir déterminé en conséquence les courbes correspondantes sur les surfaces (f'j =0, "^ = 0, ^i = 0, on déformait un peu, et d'ailleurs arbitrairement, les figures des deux surfaces cp' = 0 et (p'i = 0, enfermées dans les deux courbes tracées, l'intégrale I ne changerait pas, tant que le système variable des valeurs de

je = a -f I^ V^^, y = «' + fi' y/— 1, ' z = a" -\- ^" \J— i ,

qui correspondrait à chaque instant au groupe des deux portions déformées des surfaces ^' = 0 et cp', = 0, n'admettrait aucune solution du système des deux équations

Si les deux surfaces cp' = 0 et ç'j = 0 pouvaient être, dans ces conditions, aplaties et réduites chacune à deux feuilles planes ou courbes appliquées l'une sur l'autre, les deux autres surfaces ^ = 0 et 'l'i = 0 se réduisant aussi nécessairement à des feuilles doublées, les quatre volumes V, V, V, et V'i, s'annuleraient, l'intégrale se réduirait donc à zéro,

et comme elle n'aurait pas changé, elle aurait dû être nulle d'avance. Dans ce cas, en général, toutes les sommes partielles

loL"dadoi', :^oi"d{idp', ':^x"doLd^\ ^x"dpda, l^"doid(^', 2^"(/^rfa', l^"d<xdoL\ ip"d[id<j!,',

seraient séparément nulles. En effet, les variables a, a', a", p, ^' et [i" étant liées entre elles par quatre équations

/•= 0, 2. = 0 et <pi = 0,

l'une quelconque des six est en réalité une fonction de deux des autres prises à volonté, de sorte que les sommes

^'dadoi', Va'W^c?^', ^fi."d<xd^\ .2:a"rfprfa', 2:^'Warf^', y:f>"d^doL', Zp"d<xda\ ^.^''dpd^' ,

représentent des segments des corps terminés par les surfaces dont les coordonnées seraient les variables qui sont dénommées dans chacune. Or si les dérivées partielles de la coordonnée a" ou fi", qui entre en facteur sous le signe 2, par rapport à celles dont le même signe contient les différentielles, ne deviennent pas infinies, cette coordonnée a" ou [i" ne pourra prendre qu'une seule valeur pour chaque système de valeurs des deux autres ; par conséquent, quand ces deux autres repasseront en sens inverses par les mêmes valeurs qu'elles avaient prises d'abord, les éléments nouvellement engendrés détruiront les anciens.

Pour que l'intégrale ne soit pas nulle, il faudra que, parmi les solutions des équations

/ = 0, (f = 0 et 9, = 0, il s'en trouve satisfaisant aux conditions

rfa"

ou au moins à quelques-unes d'entre elles.

Ùes périodes des mtégi^dles doubles.

409. Nous supposerons d'abord que l'équation f{x, y, z) = Oait ses oefficients réels et admette une infinité de solutions réelles.

Nous commencerons encore ici par signaler tout d'abord les trois :;enres de parcours fermés auxquels correspondent les périodes.

Il est clair que si x, y &iz ne prennent que des valeurs réelles, l'intégrale I,zdxdy serai purement réelle; mais pour que x, y et z reviennent simultanément à leurs valeurs initiales, sans avoir pris que des valeurs réelles et sans que z ait repassé par les mêmes valeurs, pour les mêmes systèmes de valeurs de x et de y, il faut que la surface représentée par l'équation / {x, y, z) = 0 présente des nappes fermées en forme de sphéroïdes ; d'un autre côté, il est clair que l'intégrale 'Lzdxdy, prise le long d'une pareille nappe, aura pour valeur le volume que cette nappe entourera.

Ainsi les volumes enveloppés par les nappes fermées d'une surface f [x, y, z) = 0 sont des périodes réelles de l'intégrale

zdxdy,

définie par cette équation.

C'est ainsi que

--Kabc o

est la période réelle de l'intégrale

^JJdxdy y

correspondant à l'équation

Du reste un ensemble fermé de systèmes de valeurs imaginaires de x, y et 2, suffisamment peu distantes des valeurs des coordonnées des points d'une nappe fermée de la surface f{x, y, z) = 0^, donnerait pour

l'intégrale / / zdxdy précisément la même valeur, c'est-à-dire encore

le volume enveloppé par la nappe, de sorte que les périodes réelles, quoiqu'elles se présentent en général chacune sous une seule forme géométrique, peuvent en réalité être engendrées d'une infinité de manières différentes.

Les périodes réelles des intégrales doubles, précisément parce qu'elles n'ont généralement qu'une représentation géométrique, peuvent accidentellement correspondre à des nappes ne se rejoignant qu'à l'infini, comme il arrive, par exemple, pour l'intégrale

cdxdy

DES INTEGRALES DOUBLES. 2^3

dont la période est le volume compris entre les deux nappes de la surface

comprises dans l'intérieur du cylindre

mais l'un des cas se ramène à l'autre.

410. Le second groupe de périodes, celles-là imaginaires sans parties réelles, correspond au parcours des nappes fermées de conjuguées.

La valeur de l'intégrale double 'ï.zdxdy, ;correspondant au système de valeurs de a: et de y qui, conjointement avec les valeurs correspondantes de z, assignées par l'équation de la surface, fournissent les coordonnées des différents points d'une nappe fermée de conjuguée, est le produit par v/ — d du volume enfermé par cette nappe fermée; et ce produit est évidemment une des périodes de l'intégrale double.

Les périodes de ce genre sont en nombre limité, comme celles du précédent, parce que, comme il est aisé de le constater directement, les nappes ferméesde conjuguées, comprises entre les mêmes nappes de la surface réelle, enferment toutes des volumes équivalents.

Le troisième groupe de périodes comprend celles qui sont engendrées dans le parcours des nappes fermées de l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Théorème de l'équivalence eh volume de toutes les conjuguées fermées comprises entre les mêmes nappes de la surface réelle.

411. 11 suffira, pour établir ce théorème, de comparer entre elles les conjuguées qui ont en même temps leurs ordonnées y réelles, ou de comparer l'une d'elles à celle qui a ses ordonnées et ses abscisses réelles ; car en changeant la direction de l'axe des x, on pourrait amener successivement toutes les autres à avoir leurs ordonnées y réelles, et, d'un autre côté, celle qui primitivement avait à la fois ses abscisses et ses ordonnées réelles se retrouverait toujours comprise dans chaque nouveau groupe.

Cela posé, l'aire de la section faite dans l'une des conjuguées, qui ont leurs ordonnées réelles, par un plan parallèle au plan des xz^ est la

la période imaginaire w de l'intégrale / zdx, calculée en supposant y

constant ; le segment compris entre deux plans parallèles au plan des

xz est donc / tndy^ qui a la même valeur, quelle que soit la conjuguée

dont il s'agisse.

Il reste donc seulement à établir que toutes ces conjuguées ont les mêmes limites, parallèlement au plan des xz.

Or cela est évident : elles touchent en effet toutes la surface réelle aux points où elle a son plan tangent parallèle aux xz.

De la manière dont s'accroît Vintégrale double.

412. Quelle que soit la loi qui régisse le mouvement du point \x^ y, 2], on pourra toujours regarder la portion de surface qu'il décrit et à laquelle correspond le volume qui forme la valeur de l'intégrale double (à la différence près de l'intégrale simple qu'introduit le changement de direction dans l'axe des :;), comme engendrée par une courbe B tracée sur la surface réelle, sur une de ses conjuguées, permanente ou non, ou sur des conjuguées pour lesquelles le rapport des caractéristiques G et C resterait le même, ce rapport pouvant d'ailleurs changer ou non avec la position de la courbe B.

Dans le dernier cas, qui est le plus général, si la courbe B se déplace infiniment peu, l'intégrale subit trois variations distinctes.

1° Si par chaque point de la courbe B, on fait, dans la conjuguée à laquelle appartient ce point, une section parallèlle à la direction qu'il faudrait donner au plan des xz pour rendre réelles les ordonnées de la courbe B, ces sections forment une nappe N tangente à la surface réelle suivant une courbe A : or, lorsque la courbe B se déplace, la courbe A se déplace aussi sur la surface réelle, et l'intégrale s'accroît d'abord du volume correspondant à la portion de la surface réelle parcourue par la courbe A.

2° La nappe N prend à chaque instant des limites différentes, et si l'on mène par chaque point de la courbe B et par Ip point correspondant de la courbe A deux parallèles aux cordes réelles de la conjuguée qui passe au point considéré de B, la nappe N, le plan des^ry et les deux conoïdes formés par les deux suites de droites qui viennent d'être définies, enveloppent un certain volume : ce volume varie quand la courbe B se déplace, et la variation qu'il subit est la seconde partie de l'accroissement de l'intégrale.

3° Enfin si l'on a formé l'expression du volume compris entre le plan des xy^ le cylindre parallèle aux z ayant pour directrice la courbe B et le conoïde défini comme il vient de l'êlre, ayant la même directrice B, ce volume ayant été représenté par la même intégrale simple qui le fournirait réel : la variation de cette intégrale simple est la troisième partie de l'accroissement de l'intégrale double.

De la manière dont s engendrent les périodes.

415. Lorsque la courbe B se déplace, la courbe A, si elle se trouve sur une nappe fermée de la surface réelle, peut parcourir cette nappe plusieurs fois dans le même sens, et chaque fois qu'un tour entier se trouve achevé, l'intégrale comprend une fois de plus le volume réel enfermé par cette nappe. C'est ainsi que s'engendrent les périodes réelles.

Si la courbe B reste sur une nappe illimitée, la partie imaginaire de l'intégrale croît ou décroît suivant que cette courbe B s'éloigne ou se rapproche de la surface réelle ; elle peut diminuer jusqu'à zéro ou croître sans limite, mais le volume formé ne peut être engendré deux fois, si l'on écarte le cas où, la courbe B étant fermée, on supposerait qu'elle fût parcourue plusieurs fois dans le même sens par le point mobile.

D'un autre côté, lorsque la courbe B reprend la même position, l'intégrale simple complémentaire reprend la même valeur, sans ambiguïté, et son accroissement total se réduit à zéro.

Rien, dans l'hypothèse, ne permet donc alors aux périodes imaginaires de se développer.

Mais si la courbe B parcourt une conjuguée fermée, ou si, en avançant, elle passe d'une conjuguée fermée à une autre voisine, ou si ses différents points restent sur des conjuguées fermées d'une même catégorie ; cette courbe peut deux, ou trois, ou quatre fois parcourir dans le même sens une conjuguée fermée, ou en parcourir les portions équivalentes sur les conjuguées fermées sur lesquelles elle arrive successivement, ou sur lesquelles se transportent ses différents points ; et, dans ce cas, la valeur de l'intégrale peut comprendre un nombre quelconque de fois le volume intérieur commun des conjuguées considérées.

414. Enfin les périodes relatives aux nappes fermées de l'enveloppe imaginaire des conjuguées s'engendrent comme celles qui se rapportent aux nappes fermées de l'enveloppe réelle, avec celte différence, toutefois, que chaque conjuguée ne touchant généralement l'enveloppe imaginaire qu'en quelques points, une nappe fermée de cette enveloppe ne pourrait être engendrée que par le mouvement de la courbe lieu des points de contactavec cette nappe, d'une infinité de conjuguées; de sorte que, pour que cette nappe pût être engendrée, il faudrait que la courbe mobile B se composât de points appartenant à toute une série de conjuguées. Mais, dans cette hypothèse, la surface mobile parcourue par le point \x, y, z] pourrait être formée du lieu des courbes tracées à partir des points de la courbe B, sur les conjuguées passant par ces points, de manière à aller rejoindre les points de contact de ces conjuguées avec la nappe considérée de l'enveloppe imaginaire.

Il" p. 15

Détermination du nombre de chacune des périodes que doit comprendre l'intégrale.

415. Il est évident que l'on ne saurait prétendre à donner une formule de ce nombre ; il s'agit seulement d'indiquer un caractère auquel on puisse reconnaître que la période est achevée,

11 suffira d'un mot pour ce qui concerne les périodes réelles : chaque fois qu'une nappe fermée de la surface réelle aura été engendrée de nouveau par la courbe lieu des pomts de contact avec cette nappe des courbes tracées à partir des points de la courbe mobile B, sur les conjuguées qui les contiennent, il faudra compter une période de plus.

La même notion suffit évidemment pour rendre compte de la répétition des périodes relatives aux nappes fermées de l'enveloppe imaginaire.

Quant aux périodes relatives aux nappes fermées des conjuguées, elles peuvent se clore de plusieurs manières différentes : la partie imaginaire de l'intégrale, qui s'accroît à mesure que la courbe B s'éloigne de la surface réelle, atteint la valeur du demi-volume intérieur de l'une des conjuguées fermées, au moment où cette courbe, se réduisant à un point, a parcouru dans son entier l'un des hémisphères delà conjuguée, séparés par la surface diamétrale qu'elle a en commun avec la surface réelle. A partir de là, la courbe B, en reprenant des dimensions finies, retrancherait une partie du volume imaginaire déjà engendré, la demi-période achevée se perdrait petit à petit, et la partie imaginaire de l'intégrale pourrait redevenir nulle au moment où la courbe B repasserait sur la surface réelle. Toutefois il n'en serait déjà plus ainsi si le point où se réduit la courbe B appartenait à la limite commune des deux hémisphères, c'est-à-dire à la surface réelle, parce que la courbe B, en reprenant des dimensions finies, pourrait se transporter de l'un sur l'autre hémisphère, de façon que les deux hémisphères étant parcourus successivement, toujours dans le même ordre, chaque demi-période achevée s'ajoutât aux précédentes.

Mais, en général, l'accumulation des périodes se produira par le mouvement de la courbe B, tournant comme autour d'un axe, toujours dans le même sens, de façon à décrire plusieurs fois une même conjuguée ou des parties équivalentes de conjuguées voisines.

Chaque fois que la courbe B viendrait de nouveau se confondre avec la courbe de contact d'une conjuguée avec la surface réelle, ou, si tous les points de la courbe B n'appartenaient pas à une même conjuguée, chaque fois qu'elle viendrait se placer sur la surface réelle, ou enfin si tous les points de la courbe B ne passaient pas simultanément sur la surface réelle, dès qu'ils y auraient du moins tous passé, il faudrait compter une période de plus.

Du cas OÙ Véquation proposée aurait ses coefficients imaginaires.

416. Le cas où l'équation f[x, y, z) = 0 aurait ses coefficients imaginaires se ramène à l'autre comme dans la théorie des intégrales simples.

Lorsque les coefficients de l'équation que l'on traite, précédemment réels, viennent à prendre des accroissements imaginaires d'abord infiniment petits, la surface réelle se transforme instantanément en enveloppe imaginaire, mais sans changer qu'infiniment peu de forme, de sorte que ses nappes fermées se retrouvent dans la nouvelle enveloppe. Les valeurs de l'intégrale qui correspondent à leur parcours restent des périodes de l'intégrale.

Quant aux conjuguées, elles conservent leur figure primitive, sauf qu'il s'y joint de nouvelles nappes provenant d'une sorte de clivage de l'ancienne surface réelle, par dt;s motifs analogues à ceux qui ont été donnés aux numéros 151 et 152. Mais ces conjuguées conservent leurs nappes fermées et les valeurs de l'intégrale qui correspondent aux parcours de ces nappes formées restent des périodes de l'intégrale.

Enfin l'ancienne enveloppe imaginaire persiste et les valeurs de l'intégrale qui correspondent aux parcours de ses nappes fermées restent des périodes de l'intégrale.