Nous prendrons d'abord pour exemple l'intégrale
qui donne l'aire de l'hyperboloïde à deux nappes q2 -r ^2 c*
La même intégrale, multipliée par o, représenterait le volums indéfini compris entre le plan des xy et la surface
/a* 4- ci , , b-^ -¥■ c-^ ,
Le contour apparent de cette surface est formé des deux ellipses
et
la première est entourée par la seconde, par conséquent la surface réelle se projette dans l'intérieur de la première et au dehors de la seconde ; elle se compose donc d'une nappe fermée de toutes parts, comprise entre les plans z = ± a et le cylindre
et d'une nappe indéfinie, asymptotique au cylindre
qui tombe ensuite comme en forme de rideau pour s'épanouir parallèlement au plan des xy, en s'appuyant à l'infini sur le conoïde
= ai/-J!l t ,
qui en forme la seconde asymptote.
La conjuguée à abscisses et à ordonnées réelles touche, sur le plan des xy, le cylindre
et est asymptotique au cylindre
Les autres conjuguées sont des anneaux toroïdes compris entre les deux nappes de la surface réelle.
L'intégrale
aura pour période réelle le volume compris dans l'intérieur de la nappe fermée de la surface réelle, et pour période imaginaire le volume compris dans l'intérieur d'une conjuguée quelconque, ou entre la conjuguée dont les z seuls sont imaginaires et le cylindre asymptotique
418. Cet exemple donne lieu à des remarques analogues à celles que nous avons présentées à propos de la rectification de l'hyperbole. Nous rappellerons d'abord ce qui a été dit au numéro 230 : quand le point [x, y, z] se déplace sur l'enveloppe imaginaire des conjuguées, parallèlement au plan des xz ou des yz, les dérivées partielles j- ^t ^
sont réelles, et le cosinus de l'angle formé avec le plan des xy par le plan tangent à celte enveloppe, au point [x,y, z] , est encore exprimé par la formule
V(/xT4-(/y7 + (A')''
toutefois dx.dy ne représente généralement plus alors la projection sur le plan des xy d'un élément superficiel de l'enveloppe, de sorte que l'intégrale
prise entre des limites appartenant à l'enveloppe imaginaire, ne fournit généralement pas l'aire de cette enveloppe.
Mais si les coordonnées x, y, z des différents points de l'enveloppe sont imaginaires sans parties réelles, ou, ce qui revient au môme, sont composées de parties réelles constantes et de parties imaginaires seules variables, x, y, z ayant alors ou pouvant recevoir la forme
dx . dy se réduira à — rfj-i . d^ et représentera, au signe près, la projection sur le plan des xy d'un élément superficiel de l'enveloppe, de sorte que l'intégrale
conviendra aussi à l'expression de l'aire indéfinie de celte enveloppe.
Cela posé, l'enveloppe imaginaire de l'hyperboloïde à une nappe est l'hyperboloïde à deux nappes dont les points sont fournis par les solutions de la forme
de l'équation proposée ; par conséquent l'intégrale double
pourvu qu'on en détermine convenablement les limites, fournira également bien les aires de l'une et de l'autre des deux enveloppes, seulement la seconde aire sera affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir d'après le sens dans lequel elle aurait été engendrée.
419. Cette remarque donne aisément l'interprétation de la période réelle de l'intégrale quadratrice de l'hyperboloïde à une nappe.
Mais nous rechercherons d'abord directement cette période, en supposant, toutefois, pour rendre la démonstration accessible au calcul, que l'hyperboloïde soit de révolution autour de son axe non transverse.
!ài-Ai
¥ig. 24 bis
Si l'on a pris cet axe non transverse pour axe des z, l'équation de la section méridienne contenue dans le plan desxz seraaV — ôV= — a^é*, et la courbe dont l'aire divisée par a donnerait la longueur de cette
section méridienne sera la courbe ABA'B'CDG'D'C"D"G"'D"' de la figure 24 du n° 36 i, qui nous a déjà servi à trouver l'inlerprélalion des périodes de l'intégrale reclificatrice de l'hyperbole a^ — fj^x^ = — o^A*.
L'aire DGEF, arrêtée à une distance j; = R, représente le produit par a de l'arc de l'hyperbole génératrice, compris entre le sommet de cette hyperbole et le point dont l'abscisse serait R, par conséquent le volume engendré par la révolution de cette aire autour de BB' représentera le produit par a de l'aire de l'hyperboloïde, comprise entre les deux parallèles
x^-\-f = a^ et x' -{- y^ = R*.
De même Taire DGB, arrêtée à la distance x =R, représente le produit par a de l'arc de l'hyperbole supplémentaire de la proposée, compris entre son sommet et le point a^ = R, par conséquent le volume engendré par la révolution de cette aire autour du même axe BB' représentera le produit par a de l'aire de l'hyperboloïde à deux nappes, supplémentaire du proposé, eomprise entre les deux parallèles
X* + y« = 0 et x^ + y' = R'.
Enfin l'aire DGOF, arrêtée à la même distance x=R, représente le produit par a de la longueur de l'asymptote, comprise entre l'origine et le pointa; = R, par conséquent le volume engendré par la révolution de cette aire représentera le produit par a de l'aire du cône asymptote, comprise entre les parallèles
a;«-f^» = 0 et x^-^y^ = R\
Soient ds un élément de l'hyperbole proposée, ds un élément de l'hyperbole supplémentaire et da un élément de l'asymptote commune, l'aire engendrée par la rotation de l'hyperbole proposée sera
2TzI.xds ;
celles qui seront engendrées par l'hyperbole supplémentaire et par l'asymptote seront de même
2nlxds' et 2Tt2xcf(7 ;
par conséquent les trois volumes considérés précédemment seront
^■Kal,xds, ^-Kolxds' et ^Tza^da;
la différence des deux derniers est
27ta (2j?c?(r — 'Lxds'), ou
2T:alx{d<j — ds'),
en attribuant la même abscisse aux éléments correspondants. Cette différence peut encore s'écrire
27t2x {ad<j — ads').
Mais ac^ff — acfs' est la différence des éléments ayant pour base commune dx, des aires DGOF et DBOF, ou l'élément de l'aire DBG, ayant pour base dx, de sorte que
2tt2x {ads — ads),
ou le produit par a de la différence des aires de l'hyperboloïde à deux nappes et du cône asymptote, comprises entre les parallèles x^ -\-y^ = 0 et x^ -\-y^ = R% est égal au volume engendré par l'aire DBG.
La courbe DBD", en tournant autour de l'axe BB' n'engendre pas une conjuguée de la surface quadratrice
V ^^yl t
» «2 "^ ft2
car l'abscisse d'un de ses points étant imaginaire de la forme ji y — 1, la courbe que décrit ce point est l'enveloppe imaginaire des conjuguées du cercle
c'est-à-dire le cercle x^ -{- y^= ^^, représenté en coordonnées imaginaires sans parties réelles.
Aussi le volume enveloppé par cette surface n'est-il pas imaginaire, car il est exprimé par
Mais ce volume réel, quoique la surface qui l'enferme ne soit pas une nappe de la surface réelle, n'en est pas moins le produit par a de la période réelle de l'intégrale quadratrice de l'hyperboloïde de révolution.
Cette période réelle est donc la différence des aires indéfinies de l'hyperboloïde à deux nappes, supplémentaire du proposé, et du cône asymptote, terminées à deux parallèles de même rayon indéfiniment croissant.
Ce résultat s'explique naturellement de la manière suivante.
