Chaque génératrice du cône asymptote d'un hyperboloïde

est une conjuguée limite de la section de l'hyperboloïde par un plan passant par cette génératrice, le cône asymptote lui-même fait donc partie de la surface. Ce cône est en effet représenté d'une infinité de manières par les solutions infinies de l'équation

t + yl-'l-i

car si l'on pose dans cette équation

on aura, pour déterminer a, p, a', f>', a" et p",les deux équations

qui, en supposant a:, y et z infinis, se réduiront à

et exprimeront que le point [x, y, z] appartient au cône asymptote ou à l'une de ses conjuguées et l'on obtiendra tous les points du cône asymptote lui-même en joignant à ces deux équations la condition

(« + fi)^ I K + fi? K+fiT .

qui, combinée avec les précédentes, donne

d'oîi l'on voit que Ton pourra particulièrement engendrer le cône asymptote en laissant g, g' et a ou |i, |i' et f infinis et constants, et faisant varier seulement (â, p' et |â" ou g, g' et g".

Dans le premier cas dx,dy Qidz seront imaginaires sans parties réelles et, dans le second, entièrement réels, mais dans l'un et l'autre cas

= p eX —= q seront réels, par conséquent

représentera le cosinus de l'angle avec le plan des xy de l'élément de la surface engendrée.

D'un autre côté dx . dy représentera la projection sur le plan des xy de cet élément delà surface, cet élément sera donc représenté par

dj;dys!i/ + q'^i

au signe près, si dx et dy sont imaginaires sans parties réelles.

Cela posé, on obtiendra une surface fermée, représentée par l'équation

et le long de laquelle, par conséquent, l'aire engendrée sera une période de l'intégrale quadratrice , en déplaçant parallèlement à ellemême, le long de l'arc Bï, l'ellipse

de façon qu'elle engendre la nappe supérieure TBT'" de l'hyperboloïde supplémentaire du proposé; en faisant passer cette ellipse, arrivée à

l'infini, sur le cône asymptote et lui faisant parcourir successivement ses deux nappes, a, a' et a" variant alors de 0 à — 00, au moment d'atteindre le plan des xy, et de -f- oo à 0 du plan des xy à l'infini en dessous, ramenant alors l'ellipse mobile sur la nappe inférieure de l'hyperboloïde T"B'T' et lui faisant parcourir cette nappe jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse enB'.

Or, l'aire engendrée dans ce parcours sera réelle et égale à la différence des aires indéfinies de l'hyperboloïde à deux nappes et du cône asymptote, arrêtés à deux sections égales.

Cette différence est donc la période réelle de l'intégrale quadratrice

Fig. 25 bis.

de l'hyperboloïde à deux nappes, comme on l'avait trouvé précédemment.

421. Remarque. — Dans le nouvel ordre d'idées où nous venons de nous placer, la même période réelle se présenterait plus simplement d'une autre manière et sous une autre forme. En effet, pour engendrer l'aire de l'hyperboloïde à une nappe, comprise entre les deux plans parallèles au plan des xy menés par les points M et N, on pourrait supposer que l'on fit glisser parallèlement à elle-môme, le long de MNT, jusqu'à l'infini, l'ellipse génératrice de la surface, qu'on fit alors passer cette ellipse sur le cône asymptote et qu'on lui fit parcourir dans toute leur étendue les deux nappes de ce cône en faisant varier seulementp,^' et p' de 0 à — x d'abord, et ensuite de -|- <» à 0, qu'on la ramenât alors sur l'hyperboloïde à une nappe et qu'on la fit glisser sur cet hyperboloïde tout le long de l'arc T"MN, enfin qu'on l'arrêtât au point N,

On aurait ainsi décrit la surface du segment compris entre les points M et N, plus la différence des aires indéfinies de l'hyperboloïde à une nappe et de son cône asymptote, arrêtés à une même section.

Cette différence doit donc aussi être une période de l'intégrale quadratrice de l'hyperboloïde à une nappe.

On peut conclure de là, en s'appuyant sur ce que l'intégrale quadratrice n'a qu'une période réelle , que deux hyperboloïdes supplémentaires, prolongés jusqu'à une même section indéfinie, ont même aire.

Mais la môme section du cône asymptote ne va pas se placer à la même hauteur sur les deux hyperboloïdes, et, quoique la différence de hauteur soit infiniment petite, comme le périmètre delà section est infini, la différence des surfaces est finie : elle est égale à la différence des aires des deux hyperboloïdes prolongés jusqu'à une même hauteur infinie.

En effet, si, pour plus de simplicité, on suppose les deux hyperboloïdes de révolution, la différence de niveau de deux sections de même rayon x sera

et la longueur de la portion de la génératrice du cône asymptote comprise entre les plans des deux sections sera

2a \la} -f b^

X -f- sjx^ -f- a* de sorte que si l'on suppose x assez grand pour que la courbure de la courbe méridienne ait disparu, l'aire comprise sur l'un ou l'autre des hyperboloïdes, entre les plans des deux sections, sera

2av'a'+^*

2itJ? ou ^Tza \ja^ -\- b*

x-\-\Jx*-\-a^