Considérons encore l'équation

qui donne

dz^ X a + l^ s/— 1 dz y «' + ^' \f—^

d^~ ^~ «"4-^'V-^ dy~~ z ot"+^'V— l'

dz dz Pour que — et — soient réels, il faudra que

d'ailleurs on aura

et

a^ + a'^' + a"^" = rr'.

Si l'on élimine p, [i' et ^" entre ces quatre équations, ce que l'on fera en les remplaçant d'abord respectivement par kx, kr, kx" et éliminant ensuite k, on aura d'abord

a^}«'2 4-«"^='^!r::i^ et a^ + a'*+a"* = îf , 1 — K K

d'où

ou

(a^ 4- «'î -) «''î)2 — (r^ r'^) («« -\- a'^ + a"^) = rV = 0, d'où

mais on ne pourra prendre que

Il en résulte et comme on a

en ajoutant les trois équations, on obtient

ce qui est l'équalion de la surface dont le volume est .V ; de môme, en ajoutant les deux premières et retranchant la troisième, on trouve

ce qui est l'équation de la surface dont le volume est V, quant aux volumes \^ et Y'i ce sont ceux des surfaces

a^4 a'^-f-a"^ = r« et p^ + ^ -|- p = y'*.

Ainsi les quatre surfaces, dontles volumes V, V, Vi et V, composeront l'intégrale cherchée, sont

Cette intégrale serait, pour des limites quelconques,

mais, si l'on veut la période de cette intégrale, il faudra étendre I à tout le système de solutions pour lesquelles -r ^^ j- restent réels, c'est-àdire prendre pour V, V, Vi et y\ les volumes des quatre sphères entières : on aura ainsi

ou, en réduisant.

qui est, en effet, la période de l'intégrale

DES INTÉGRALES d'ORDRE QUELCONQUE

De rintégrale relative au champ réel ou à l'un des champs imaginaires conjugués.

425. On peut généraliser les théorèmes que nous avons établis dans les chapitres précédents, et les étendre aux intégrales d'ordre quelconque.

Mais nous devons d'abord expliquer le sens de quelques mots nouveaux que nous serons obligés d'employer.

La géométrie ne fournissant pas de moyens de figurer les solutions qui peuvent convenir à une équation

contenant plus de trois variables, nous désignerons, pour abréger, sous le nom de champ réel de l'équalion, l'ensemble de ses solutions réelles, et, par champs imaginaires conjugués, les ensembles de ses solutions imaginaires groupées convenablement.

Toute équation aura un champ réel et une infinité de champs imaginaires conjugués, chacun de ces derniers comprenant toutes les solutions de l'équation proposée où les parties imaginaires de x, y, z...,

t, M, F seraient comme des nombres constants —• , ;7 ,... — ? 1-

Les solutions appartenant à un même champ imaginaire conjugué seront donc de la forme

DES INTÉGRALES d'oRDRE QUELCONQUE. 239

Lesn -j- 2 variables a, a,, a^, a,,..., a« et p„ étant liées 'entre elles par les deux équations dans lesquelles se décompose l'équalion /"= 0, l'indétermination dans chaque groupe de solutions imaginaires appartenant à un même champ conjugué, sera de l'ordre n, comme dans le groupe des solutions réelles.

424, Les solutions appartenant à un même champ imaginaire conjugué pourraient, d'une infinité de manières différentes, être rendues réelles par rapport à toutes les variables moins une, au moyen de transformations linéaires.

La plus simple de ces transformations consiste à substituer à x, y, z, .. . , t, u les variables définies par les équations

Le

champ

imaginaire par

rapport à F seulement de l'équation

ri 1 in

remplacerait le champ imaginaire -, — ,... — de l'équation

42S. Le champ imaginaire, par rapport à F seulement, de l'équation

touche le champ réel de la même équation par les solutions réelles communes aux équations

Le groupe des solutions communes au champ réel et à tout autre champ imaginaire conjugué sera, au moyen de la transformation précédente, tout aussi facile à obtenir.

Le champ imaginaire conjugué —, jT»-"7r touchera évidem-

ment le champ réel par les solutions correspondant aux solutions réelles communes aux deux équations

et

Pour un champ imaginaire par rapport à w et F seulement, ces équations deviendraient

f(x,y,.,.t,u'-\-~ F^ = 0, et

- fu' (x, y,... t, u' + 1 f) + /f' [x, y,... t, m' + l f) = 0.

426. Si l'on ne considère d'abord que les solutions réelles d'une équation

f{x, y,z,... s,t,u,F) = 0, l'intégrale

2] ¥.dx /dy .dz dt.du

pourra immédiatement se mettre soas la forme

jdx jdy jdz... jdt JFdu.

Si d'ailleurs, le champ réel en question étant supposé fini, continu et unique, on veut étendre l'intégrale à tout ce champ, comme les valeurs de M et de F qui correspondront à un système de valeurs choisies pour Xy y, z,..., <, formeront elles-mêmes un lieu fermé, on prendra

l'intégrale / Fdu pour le contour entier de ce lieu, c'est-à-dire, par

exemple, entre les limites déterminées par /''f=0 ; en substituant, bien entendu, à F la différence de ses deux valeurs. L'intégrale obtenue, qui sera une fonction de a?, y, z,..., s, ;, étant

désignée par F^, on prendra ensuite l'intégrale / F^dt entre les limites

pour lesquelles F^ serait nul.

La nouvelle intégrale obtenue, qui sera une fonction de x, y, z,...s,

étant désignée par Fg, on prendra de même l'intégrale / F^ds entre les

limites pour, lesquelles F^ serait nul.

Et l'on continuera ainsi jusqu'au bout.

Il n'y a pas lieu de poser la question de savoir si l'intégrale serait

resiée la même, l'ordre des intégrations venant à changer d'une manière quelconque; le résaltat déiinitit' sera toujours le même, parce qu'en fait ce sera toujours la même grandeur concrète qu'on aura calculée.

427. Supposons maintenant qu'au lieu d'un champ réel fini, continu et unique, associé à une infinité de champs imaginaires conjugués, sans limites, l'équation /*=0 comporte un champ réel illimité et une infinité de champs imaginaires conjugués, limités de toutes parts, et occupons-nous d'abord de celui dont le F seulement serait imaginaire ; l'intégrale

V F . dx . dy . dz... ds . dt , du,

étendue à tout ce champ, pourra se ramener encore immédiatement à des intégrales superposées, et les limites des intégrations partielles devront être déterminées par le groupe correspondant à l'ordre adopté, des équations à zéro-tles intégrales successives.

Or la propriété, dont jouit l'intégrale étendue à tout champ réel, de conserver la même valeur, dans quelque ordre qu'on superpose les intégrations partielles, dépend essentiellement de la nature des équations qui déterminent les limites de ces intégrations.

Ces équations restant les mêmes pour le champ imaginaire dont nous parlons, que pour le champ réel, l'ordre des intégrations pourra donc encore être interverti à volonté

Si l'on voulait obtenir l'intégrale

^ ¥ .dx .dy . dz.... dt . du,

r 1 1 in

étendue à tout un champ conjugué quelconque 7ri7r»«"j77 > on

pourrait substituer hx, y, z,..., t, u les variai définies par les relations

3les réelles x'

-^-ér-

et l'on formerait, au moyen de la règle donnée par Jacobi, la fonction 11' P. 16

de x\ y\ z',... t', u', qu'on devrait placer sous le signe / dans la nouvelle

intégrale.

Cette nouvelle intégrale se ramènerait immédiatement à des intégra tions séparées, qu'on pourrait superposer dans un ordre complètement arbitraire.

428, L'intégrale

2] Y .dx.dy.dz dt.du^

étendue à tout un champ imaginaire conjugué, est toujours imaginaire, sans partie réelle, lorsque l'équation qui définit F est algébrique et entière, parce qu'c^ un système de valeurs"

correspond, dans le même champ, son conjugué

et qu'au système de différentielles

dx=d.j^^^sf:r\, Ml

du = dctn-i -\- ~ \J— J ,

correspond aussi, dans le même champ, son conjugué

du = dcin-i — 4^ s/— T-

Définition et évaluation de l'intégrale relative à un champ quelconque.

429. Soient toujours x, y, z,..., t, u les n variables indépendantes et F une fonction de ces n variables, définie par une équation

r, y, 2,..., étant supposés imaginaires, seront représentés respectivement, dans un état quelconque, par

et F le sera par Pour que l'intégrale

x = v. -\-^ sl—V, / Ydxdydz...

soit définie, il faudra introduire, entre a, p, aj,^j, aa, ^î,... a„i et ^n n relations qui, jointes aux deux dans lesquelles se décompose

/•(a + pV^-ï, a. + P.V-l,... «„+[i„v/-i) = 0,

réduiront le nombre des variables indépendantes à n et feront de F une fonction déterminée, par exemple, de a, aj, a^..., a«i.

On parviendra à une méthode pratique d'évaluation de l'intégrale par les considérations suivantes.

L'intégrale a pour expression

or, si l'on conçoit que le produit

soit effectué, il pourra être décomposé en quatre parties : la première contenant les produits partiels où n'entrerait qu'un seul facteur de la forme d'^ \j — 1, ou qui en comprendraient 4/c -{- 1 ; la deuxième con-

tenant les produits partiels où entreraient seulement deux facteurs de

la forme </[i '/ — i, ou qui en comprendraient 4/c + 2; la troisièmecontenant les produits partiels où entreraient seulement trois facteurs de la forme d^ sj— 1, ou qui en comprendraient Ak -^ 3; enfin la quatrième contenant le produit dada^rk^,... d<x„-^ et tous les produits partiels qui comprendraient Ak facteurs de la forme d^ sJ — 1. La première partie pourra être désignée par

P^ désignant la somme des produits contenant Ak -f- 1 facteurs de la forme d^.

La deuxième le sera de même par

la troisième le sera par et la quatrième par

l'intégrale prendra alors la forme

I = 1 («n + Pn Sf^i) [Po + \/=^ P, - P, - \/- 1 Pj.

Cela posé, si l'on conçoit qu'entre les deux équations dans lesquelles se décompose

les n relations introduites, que nous désignerons par

(p = 0, cpj = 0,... (f„i=0, et les n -|- 1 équations

on élimine les 2 n -\- 2 variables a, p, aj, ^j,..., a„, p», ce qui donnera une relation entre les quantités réelles

- x^, yi, z^..., et F„

on pourra concevoir l'int^rale

U = IF^dx^dy^dz^ . . .

DES INTÉGRALES d'oRDRE QUELCONQUE. 245

Pareillement, si entre les deux équations dans lesquelles se décompose

les n relations

(p = 0, (pj = 0,... cp„i = 0,

et les n -|- I équations

ar'i — a — ^, y\ ~x,~ [ij, z\ = a, — ^j, ...

on éliminait les 2n -f 2 variables a, p, a„ ^i,..., ««, ^«, ce qui donnerait une relation entre les quantités réelles

on pourrait concevoir aussi l'intégrale

U' = ^V\dx\dy\dz\. . .

Mais l'intégrale U aura pour expression

U = S («n+ W (^« 4- d^) (^«1 4- ^W- ((/««- 1 4- rf?«-i)! ou

• U = 2:(=e« + W[Po+Pi + P.+ P3].

les lettres P^, P„ P,, P3 désignant les mêmes quantités que précédemment.

Et de même l'intégrale U' aura pour expression

U' = 2 («n + W [Po- Pi + P, - PJ-

D'un autre côté, si l'on 'effectue les produits indiqués dans les trois formules précédentes, on trouve

/ Sa,. [Po — P,]

- sMPi - P3] -l-v/3ri:^4Po-P.L

2«n [Po + p.]

+ 2^„ [P, + P,] -I- 2a„ [P, + P3] 4- 2^„ [Po -f P,],

( 2«„ [P„ + PJ + 2p„ [P, + P3] -2:«„[P, + P3l

l - ^% [P, + PJ.

Mais les deux dernières égalités donnent

^iîi = lan [Po + PJ + 1,% [P, f P3]

et

î^:^ = ^^n [P, + P3] + ^N [Po + P.]

2«« [Po - PJ - 2^ [P, - P3] = - ^4^ + 22:«„P„ + ^1%V,

par conséquent la partie réelle de I est exprimée par

2«4Po-P.]-2^[P,et la partie imaginairepar

2a« [P, - PJ + 2^ [Po - P J = ^^-=p^ + 2a„P3 + SSPnP, Ainsi

1=--^^ 4-22««Po+2i:fi„P3+ V=^ |^H^'|22;a„P3 + 22p„P,] .

Enfin si l'on désigne par U^ et U', les intégrales

et

oii aura en définitive

,=£±£' + .u. + s/rT[!I^+w,].

Chacune des intégrales composant Uj et U'i pourrait d'ailleurs s'exprimer par une intégrale d'ordre n d'une fonction réelle de n variables réelles, définie par une équation qu'on obtiendrait par des éliminations suffisamment indiquées par ce qui précède.

Si l'équation

a tous ses coefficients réels, elle admettra les solutions

x = u — f,\/—l, y=aj--li,V3T,... F = a„ — p„V— 1,

conjuguées des précédentes, et l'on pourra considérer l'intégrale I' correspondant à cet ensemble de solutions. Cette nouvelle intégrale sera évidemment exprimée par