U, + V/3T[^IZ^2U
Il reste à indiquer comment pourront être définies les limites de l'intégrale. Or, en supposant que a, aj,..., a^ — i soient les variables que l'on aura voulu regarder comme indépendantes, il suffira pour fixer ces limites d'établir, entre les valeurs de a, (x^,..., a«i, n — 1 relations nouvelles qui doivent être satisfaites aux limites seulement.
En effet, chacune des intégrales qui composent l'intégrale I portant maintenant sur une fonction dos variables réelles à, ai,..., a„ i, cette intégrale pourrait dès lors être obtenue par des intégrations successives: la séparation des variables y est faite. Une quelconque de ces intégrales peut être considérée comme étant de la forme
j dix /rfa,.., / (/a„iF, (a, «1,... a«i);
or, si l'on intègre d'abord par rapport à cm—i, on fera de a„i, aux limites, une fonction des autres variables ; intégrant ensuite par rapport à a„2, on fera de <in—î, aux limites, une fonction des variables restantes, et ainsi de suite, jusqu'à a, qui recevra^ aux limites, deux valeurs numériques, formant les limites par rapport à a de la courbe dont les coordonnées seraient a et aj.
Théorème de ^indépendance de la valeur d'une intégrale d'ordre quelconque et des valeurs intermédiaires des variables, les limites restant les mêmes.
450. On démontrera, exactement comme dans les chapitres précédents, que si les n relations <p = 0, (»i, =0,..., ©„ i = 0 se déforment insensiblement sans cesser d'admettre pour les variables indépendantes les mêmes systèmes de valeurs aux limites, l'intégrale ne variera généralement pas. On obtiendra d'ailleurs, de la même manière, les expressions des conditions dans lesquelles elle pourrait changer.
Il suffira pour cela de remarquer que chaque élément de l'intégrale,
F(a-f ^v'~, a,-f fiiv^^ï,..., a„,-l-p„tv/~) ('/a + rf?V=T).... [da.„.y-{-d^,,^>^^\\
pourra être formé de la somme de tous les éléments analogues que l'on obtiendrait en ne faisant varier à la lç)is que l'une seulement des
parties de chacune des variables dx, dxj, dz,...^ pourvu qu'on tînt compte de toutes les combinaisons possibles, effectuées d'ailleurs dans l'ordre que l'on voudrait.
Il résultera de là que l'on pourra faire varier à volonté les lois de progression de x, y, z,..., pourvu toutefois qu'aucun système nouvellement introduit de valeurs de a, p, «i, ^i,..., a„ i, [i«i ne satisfasse à aucune des équations
^ dF dF
^ = °°' Tx = '^^ Ty.
c'est-à-dire ne satisfasse ni à l'équation
F = 00, ni à l'équation
oc
On rendrait compte, comme dans les cas précédents, de l'annulation de l'intégrale et de chacune de ses parties, dans tous les cas où les variables indépendantes ne varieraient que dans des limites trop restreintes. En effet, les 2n -f- 2 variables
a, p, «1,^1,..., a„i,Pn-i, a„, p„,
étant liées entre elles par w -{- 2 équations, chacune des quantités a„ et |J„ pourra être considérée comme une fonction de n de celles qu'on voudra des 2n premières, et notamment des n dont les différentielles entreraient dans la partie de l'intégrale totale qu'on voudrait considérer, de sorte que cette partie de l'intégrale totale ne serait en définitive que l'intégrale d'une fonction réelle de n variables réelles. Or, si cette fonction ne pouvait pas prendre de valeurs multiples, ses valeurs ne pourraient pas se permuter entre elles, de sorte que le système de valeurs des variables et de la fonction étant supposé fermé et la fonction repassant, au retour, par les mêmes valeurs qu'elle avait prises pendant l'aller, la somme des éléments engendrés serait identiquement nulle.
Des périodes des intégrales d'ordre quelconque.
45 i , En supposant d'abord, comme dans les cas précédents, que l'équation
ait tous ses coefficients réels, on démontrera de la même manière que les périodes seront réelles ou imaginaires sans parties réelles.
DES INTÉGRALES d'oRDRE QUELCONQUE. 249
Le premier groupe de périodes se composera des valeurs de l'intégrale correspondant aux systèmes de valeurs réelles des n -\- l variables X, y, 2,. . ,, F, formant des ensembles fermés, s'il y en a, ou se rejoignant à l'infini.
Par exemple, l'intégrale
aura pour période réelle
de même l'intégrale
r l^ r dxdydz
aura pour période réelle
Mais on pourra substituer à un système fermé de valeurs réelles tout autre ensemble formé de solutions imaginaires de l'équation
qui seraient suffisamment voisines des précédentes.
452, Le second groupe de périodes se composera des valeurs de l'intégrale correspondant aux champs imaginaires conjugués, fermés de toutes parts, que pourra comporter l'équation
455. Il est facile de voir, comme dans le cas des intégrales simples ou doubles^ que l'intégrale relative à un pareil champ conjugué sera constante.
En effet l'intégrale, relative au champ imaginaire par rapport à F seulement, peut s'écrire
/ dx. I dy . I dz... j dt. i F. du;
mais nous savons, d'après ce qui a été dit des intégrales simples, que» la première des intégrales superposées dans cette formule, / F. du, calculée comme si x, y,..., t étaient des paramètres, aura toujours la même valeur, quelle que soit la conjuguée de la courbe [F, u] que l'on suive, au lieu de celle dont les u sont réels ; on voit donc déjà qu'au champ imaginaire, par rapport à F seulement, on peut substituer un quelconque des champs imaginaires par rapport à F et à w, sans que l'intégrale complète en éprouve d'altération; et comme on aurait pu changer arbitrairement l'ordre des intégrations superposées, tant qu'il ne s'agissait que du champ imaginaire par rapporta F seulement, on voit également qu'on pourrait substituer à ce champ tout autre champ imaginaire par rapport à F et à une quelconque des autres variables.
Pour démontrer le théorème dans toute sa généralité, nous définirons, autrement que nous ne l'avons supposé jusqu'ici, les variables réelles qui doivent être substituées aux variables imaginaires.
Soient—, —,•.•, pr l^s caractéristiques du champ considéré, que
nous voulons comparer au champ imaginaire par rapport à F seulement; si nous posons
-iï^^'
Cn
x', y',z',..., t' seront réels, soit que les valeurs de x, y, z,..., t, u soient prises dans un champ ou dans l'autre; en d'autres termes, la transformation étant faite et l'intégrale étant ramenée à la forme
/ dx' I dy' I dz'... j dt' i du.F^ {x', y',..., t', w),
ri 1 1 H
elle se rapportera au champ -,-,-,...,-, si l'on ne donne à u que
ri 1 1 ~i
des valeurs réelles, et au champ —, -,..., — L si l'on donne à^ des valeurs imaginaires convenablement choisies : or, elle aura la même
valeur dans les deux cas, si les limites de toutes les intégrations successives sont ce qu'elles doivent être quand il s'agit d'un champ fermé et d'une intégrale complète.
434. Remarque, Si l'on faisait complètement la transformation des variables pour un champ -,^,..., — , l'intégrale
^ F(j?, y, 2,... t, u) clx.dy... di.du,
correspondant à ce champ, en supposant qu'on eût employé, pour faire la transformation, les formules
deviendrait, si Fj (a', y', z,..., t', u') désignait le résultat de la substitution dans F {x, y, z, ..., t, u) des valeurs de x, y, z,..., t, u tirées des équations précédentes en fonction de x\ y', z',..., t', u' et D le déterminant
dx'
dx'
dx'
dx'
dx'
dx'
dy'
dz'"
' dt
du'
dy' dx'
dy' dy'
dy'
dz'"
dy'
' dt'
dy' du'
dt'
dt'
dt'
dt'
dt'
dx'
dy'
dz'-
' dt'
du
du'
du'
du'
du
du'
dl'
dy'
dz'"
■ dt'
du'
cette intégrale, disons-nous, deviendrait
^J,(x',y',...t',u')'^'^'''^^'-'^''''^\ Or le déterminant D, dans ce cas, serait
Cn-
c'est-à-dire 1.
L'intégrale se réduirait donc à
V Fj {x', y',:., t', u') dx' ,dy' .dz'... dt' .du'.
La transformation n'affecterait donc pas essentiellement la fonction placée sous le signe V , et c'est pourquoi nous avons pu dire que l'intégrale représenterait, relativement, la môm.e grandeur, soit qu'elle fût prise pour le champ réel ou pour un champ conjugué quelconque.
Le théorème que nous avions en vue est donc complètement établi ; mais l'intégrale reprendrait encore la même valeur si, à l'un des champs conjugués on substituait tout autre champ fermé, défini comme on voudrait, pourvu qu'il touchât le champ réel par des solutions appartenant à un système où l'indétermination fût de l'ordre n — 1.
453. Les formules du n" 429 permettent d'exprimer plus simplement qu'on ne vient de le supposer la période relative à un champ imaginaire conjugué, fermé de toutes parts. En effet, en prenant pour limite l'ensemble des valeurs réelles de x, y, z,..., F par lequel se rejoindront nécessairement les deux systèmes de valeurs imaginaires conjuguées relatifs à ce champ, on aura pour valeur de l'intégrale totale
mais U'j désigne une somme d'intégrales renfermées dans les deux types
Sa^Pg et 2:^„P„
et toutes ces intégrales seront séparément nulles en raison du choix intervenu dans le système de solutions imaginaires conjuguées considéré. En effet 2a;j P3 est une somme d'intégrales de la forme
DES INTÉGRALES d'oRDRE QUELCONQUE. 2b3
mais p, pj et Pa étant proportionnels à des constantes pr> ?r> Tr» la der-
Cj Oj Cj
nière intégrale
r r C<xndi^d<^,d^^
sera ic^entiquement nulle.
De même ^^^^ tlésigne une somme d'intégrales de la forme
Jd^rfd%,...,JJpnd^dp^,
et comme ji„, p et Pi seront proportionnels à 1, t^, — la dernière inlé-
grale
sera identiquement nulle.
Il ne restera donc, pour l'intégrale totale, dans l'hypothèse considérée, que
c'est- à-dire le produit dey — 1 P'ir l'intégrale correspondant au système de valeurs réelles de
an ± ^nj
considéré comme fonction de
a±p, a,±fi„... <xn-i±%-i.
On voit encore mieux par là que dans ce qui précède, que cette intégrale, au facteur y/ — 1 près, représentera par rapport à l'ensemble
la même grandeur qu'on avait voulu exprimer par l'intégrale réelle relative à l'ensemble réel de valeurs de x, y, z,..:, F.
450. Enfin on obtiendra le troisième groupe de périodes en considérant les ensembles fermes de solutions imaginaires de l'équation proposée pour lesquels
d¥ dF dF
dx^ dy^ dz'" seraient restés réels.
Le cas où l'équalion proposée aurait ses coefficients imaginaires différera seulement du précédent en ce que l'intégrale, naturellement, ne présentera plus de périodes du premier genre. Les analogues de cellesci se retrouveront dans celles du troisième genre, mais elles seront en général composées d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.
