CLASSIFICATION DES INTÉGRALES QUADRATRICES DES COURBES ALGÉBRIQUES

458. Il existe dans chaque degré des courbes quarrdbles algébriquement, d'autres dont les quadratures dépendent des inverses des fonctions circulaires ou exponenlielles, d'autres qui se quarrent à l'aide des fonctions elliptiques; d'autres, enfin, dont les aires dépendraient de transcendantes irréductibles aux précédentes et que, pour cette raison, on[a appelées uUra-elliptiques, mais qui, naturellement, doivent constituer une infinilé de classes distinctes.

A quels caractères géométriques de la courbe à quarrer correspondent ces différents cas?

Quel est le nombre maximum de périodes que puisse présenter la quadratriee d'une courbe de degré m et quels sont les nombres de périodes cycliques, elliptiques, ultra-ellipliques que comportera la quadratriee dans le cas du nombre maximum de périodes?

Dans quels cas et comment ces périodes disparaissent-elles ou se transforment- elles les unes dans les autres?

Telles sont les questions que Comporte la classification des intégrales quadralrices des courbes algébriques. Elles ne pourront jamais être toutes résolues, puisque le nombre des classes de périodes est nécessairement infini, mais les plus urgentes le seront.

Les questions dont il s'agit ont depuis longtemps occupé l'attention des géomètres : ainsi M. Jordan dit, dans sa thèse soutenue en 18G1, que M . Puiseux lui a parlé d'une formule du nombre des périodes de la quadratriee d'une courbe de degré m, laissée par Cauchy, dans une note dont au reste il ne fait pas connaître le texte. M. Jordan ajoute que M. Puiseux lui a communiqué sur ce môme sujet des recherches inédites datant de 1851, d'où résultait la solution complète de la question dans le cas où tous les points critiques étaient distincts les uns des autres. Mais il ne fait pas non plus connaître la formule à laquelle était arrivé M. Puiseux.

Celle qu'il adopte est (m — 1)^ pour une courbe de degré m.

Après avoir donné cette formule du nombre maximum des périodes, M. Jordan ajoute : «Toutes ces périodes sont-elles distinctes les unes

des autres, ou ne serait-il pas possible de trouver entre elles certaines relations linéaires qui en réduiraient le nombre? Ces relations existentelles dans le cas général? ou quelles sont les conditions nécessaires pour qu'elles existent et comment pourrait-on les assigner à priori? Ces questions me semblent plus faciles à poser qu'à résoudre. »

On en était là en France lorsque les travaux de Riemann, publiés vers 1857, commencèrent à y être connus de quelques rares géomètres que n'avait pas rebutés l'étrangeté des conceptions géométriques auxquelles l'auteur avait cru devoir recourir, pour donner une forme à ses idées, et qui d'ailleurs pouvaient l'étudier dans sa langue.

M. Clebsch, professeur à l'Université de Giessen, avait en 1866, dans sa théorie der Abehchen Funclionen, reproduit les principales découvertes de Riemann dans des termes moins compliqués. Mais cet ouvrage n'a pas été non plus traduit en français, de sorte qu'il est aussi fort peu connu.

La question du nombre des périodes de la quadratrice de la courbe la" plus générale de degré m et la recherche des conditions dans lesquelles ce nombre se réduit me préoccupaient moi-même depuis 1854, et j'allais en présenter à l'Académie les solutions auxquelles j'étais parvenu vers 1871, lorsque j'appris que ces questions avaient été en partie traitées par MM. Riemann et Clebsch.

Cette circonstance retarda la présentation de mon mémoire, mais devait d'autant moins s'y opposer que le principe de la méthode dont je me sers et qui prend dans les œuvres de M. Clebsch la forme d'un théorème, m'appartient incontestablement, ce principe étant énoncé dans mon mémoire de 1852 sur les périodes des intégrales simples et doubles.

Au reste, la théorie de M. 'Clebsch laissait à désirer sous certains rapports, comme j'aurai l'occasion de le montrer, et, d'un autre côté, on reconnaîtra, je pense, que la 'méthode des conjuguées, qui m'avait fourni avec évidence le principe dont je viens de parler, a encore dans cette question, comme dans toutes les autres, l'avantage d'aplanir les plus grandes difficultés.

Avant de proposer les solutions que j'ai obtenues des questions indiquées dans ce qui précède, je crois pouvoir répéter que les éléments s'en trouvaient déjà complets dans le Mémoire sur les intégrales simples et doubles qui donna lieu au Rapport de MM. Cauchy et Slurm, en 1834.

En donnant dans ce Mémoire l'interprétation géométrique des périodes des intégrales simples et doubles, je donnais en effet le moyen de les compter dans chaque cas. D'un autre côté, la théorie des intégrales doubles, telle que je l'ai établie dans ce Mémoire, reposait précisément sur la connaissance préalable de la condition nécessaire pour que la quadratrice d'une section plane de la surface à cuber eût une période nulle, condition qui consiste en ce que le plan de cette section soit tangent à la surface, ou que la section ait un point double.

Je rappelle aussi que j'avais établi dans ce même Mémoire que les quadratrices d'une même courbe, rapportées successivement à diffé- II' p. , 17

rents systèmes d'axes, ont toujours mêmes périodes; cette remarque était nécessaire pour expliquer l'usage que je fais du terme général de quadratrice d'une courbe donnée, sans spécifier le système d'axes auquel celte courbe est rapportée.

Des conditions sous lesquelles quelques périodes de la quadratrice d'une courbe de degré m disparaissent, en devenant nulles ou infinies.

459. Le principe de cette théorie repose sur cette notion évidente, que lesquadratrices de toutes les courbes d'un même ordre ont naturellement, toutes, les mêmes périodes, exprimables par les mêmes fonctions des coefficients qui entrent dans leurs équations, c'est-à-dire que les résultats auxquels on sera parvenu en discutant la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m pourront ensuite être transportés, sans démonstration nouvelle, à l'un quelconque des lieux du même degré, représentés par des équations à coefficients réels ou imaginaires, pouvant présenter toutes les particularités imaginables.

Ainsi la quadratrice du cercle réel

ayant pour période rh 7:r^, la quadratrice du cercle imaginaire

[x — a — d{^ïf^[y — h — y^\f=(r-^r'{^y

aura pour période ± tt (r -j- / y — l) . De même, la quadratrice de la courbe représentée par l'équation

ky" + 2B^3/ 4- Ci'^ -f 2Dy -f- 2Ex -f F = 0,

lorsque c'est une ellipse ou une hyperbole réelle, ayant pour période