AE' + CD^ — 2BDE + F (B* — AC
soit nul, la courbe, supposée réelle, est une ellipse évanouissante ou une hyperbole réduite à ses asymptotes; la période devient nulle et elle disparaît à ce titre ; mais il en est de môme, dans la môme hypothèse, lorsque les coefficients de l'équation sont imaginaires.
Si l'équation représente deux droites parallèles ou confondues, le numérateur et le dénominateur de la formule de la période deviennent nuls, la période devient indéterminée et s'évanouit encore à ce titre ; mais il en est encore de môme si les deux droites représentées par l'équation deviennent imaginaires.
Si les coefficients de l'équation sont réels, la période est réelle ou imaginaire, suivant que la courbe appartient au genre ellipse ou au genre hyperbole ; mais elle reste réelle quand môme l'ellipse devient imaginaire, parce que ses deux axes deviennent alors imaginaires.
440. Cela posé, il est évident, en premier lieu, que si une courbe quelconque comprend un point isolé, ou un point double, où se coupent sous un angle deux branches de la courbe, par cela seul une période doit s'ôtre annulée : car un point isolé est un anneau réel évanouissant dont l'aire intérieure, qui eût été une période réelle, est devenue nulle ; et un point dbuble naît toujours du rapprochement de deux branches de la courbe réelle, qui laissaient entre elles un espace comprenant un anneau de conjuguée, dont l'aire intérieure, qui eût été une période imaginaire, vient de s'évanouir.
En second lieu, si la courbe proposée a deux asymptotes rejetées à l'infini, leurs coefficients angulaires étant devenus égaux, une période doit être devenue infinie, comme cela arrive pour la parabole, dans les courbes du second degré, ou pour les courbes paraboliques du quatrième ordre que peut représenter l'équalion du second degré à coefficients imaginaires.
Dans ce cas, en effet, deux branches de la courbe se rejoignent à l'infini, c'est-à-dire forment un anneau qui, ne se fermant qu'à l'infini, a une aire infinie.
Au reste, dans ce cas, la courbe a un point double à l'infini, c'est-àdire que les trois équations
f{x,r/)=0, f'x = 0 et f"y=0 admettent la solution commune x = ao , y = x . En effet l'équation
décomposée en groupes de termes homogènes peut alors s'écrire
{y — mxf cp„t 2 {x, y) -\- cp« i (^, y) + . . . = 0 et les deux équations f'x = 0 et/'y = 0 deviennent
{y—mx) — 2mcpw 2 {x,y) + [y—mx] (f'm~%x{x,y) -\-<f'm-i,x{^>!/) + • • • =0
et
{y—mx) j 2'p,„2 {x, y) + {y — mx) cp'm-2,y (a?, y] j -\-^f'„^-i,y{x,y)-\- ... =0
les deux courbes f'x = G et f'y ^ 0 ont donc chacune une asymptote parallèle ky = mx.
Je ne crois pas que cette observation se trouve dans l'Ouvrage de M. Clebsch.
Lorsque la courbe proposée a deux asymptotes parallèles, une seconde condition peut ramener la période à l'état fini : c'est celle où les deux asymptotes seraient restées à distance finie l'une de l'autre. Une foule d'exemples connus viennent confirmer cette assertion.
Enfin une troisième condition peut rendre de nouveau la période évanouissante: c'est celle en raison de laquelle les deux asymptotes parallèles viendraient en coïncidence. Dans ce cas, la période deviendra indéterminée.
Il est évident que les seuls cas à examiner sont ceux que nous venons de passer en revue, car la représentation géométrique d'une période ne peut disparaître qu'autant que cette période devient nulle ou infinie, et il est clair que l'une ou l'autre circonstance ne peut se présenter que dans l'un des cas que nous avons considérés.
Ce n'est pas à dire que les deux cas simples qui viennent d'être examinés, doivent être les seuls qu'on puisse avoir à considérer dans la pratique. En eff'et la présence de points triples, quadruples, etc., aura une signification plus étendue que celle d'un point double, et on pourra avoir besoin de la caractériser dans l'étude d'une équation particulière; mais ces recherches sont étrangères au but général que nous nous proposons.
D'une réduction accessoire, dans le nombre des périodes, qui se produit par juxtaposition, lors de la formation d\in point double.
441 . La formation d'un point double, à distance finie ou infinie, 'a toujours pour conséquence immédiate la disparition d'une période, par annulation ou accroissement indéfini ; mais il est facile de voir qu'elle
doit, en outre, être accompagnée d'une réduction accessoire, par juxtaposition ou fusion de deux périodes en une seule.
En effet, comme il suffit d'examiner un cas entièrement général pour pouvoir étendre à tous les autres les conclusions obtenues, supposons que les m asymptotes de la courbe proposée soient réelles, et que le
Fig. 31.
point double qui va se former soit un point isolé : si l'on mène à l'an^ neau qui va devenir un point isolé, deux tangentes parallèles quelconques et que l'on conçoive la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à ces tangentes, comme cette conjuguée n'aura pas d'asymptotes, elle ne comprendra que des anneaux fermés et ses branches tangentes à l'anneau réel presque évanouissant, entre autres, formeront, en dehors des deux tangentes, deux anneaux ferrnés, allant toucher un peu plus loin d'autres branches de la courbe réelle, comme l'indique la figure. Or les produits par \J — 1 des aires des deux anneaux de la conjuguée formeront deux périodes imaginaires distinctes, tant que l'anneau qui
va se réduire à un point isolé ne se sera pas encore évanoui ; et l'aire de l'anneau réel en constituera une troisième réelle; mais, au moment où cetanneauréel deviendra évanouissant etoù la période réelle disparaîtra
262 CHAPITRE XXXVI f.
ens'annulantjles deux anneaux de la conjuguée se transformeront instantanément en deux boucles, dont les branches se continueront comme l'indique la fig. 32, de telle sorte que, l'une des deux boucles ne pouvant plus être parcourue d'une manière continue, ce sera alors la différence des aiies des deux boucles, parcourues dans le sens continu, indiqué par les flèches, qui formera la période.
Les deux périodes imaginaires se seront confondues en une seule, qui sera la limite de la différence de celles qui existaient un instant auparavant.
Ainsi la formation d'un point double entraîne la disparition simultanée de deux périodes, par l'évanouissement de l'une d'elles et par la fusion de deux autres en une seule.
C'est, à ce qu'il paraît, ce qu'ont trouvé MM. Riemann et Clebsch, en ce sens au moins qu'ils constatent la disparition effective de deux périodes, à la suite de la formation d'un point double, mais, je crois, sans expliquer cette disparition.
Des résidus relatifs aux asymptotes.
442. Si l'on rapporte une courbe de degré m à une de ses asymptotes, prise pour axe des y, son équation prend la forme
xym-i ^ {ax^ j^bx-\-c) y^-^ -h {dx^ + . . . ) y"^-^ + . . . = 0,
si, du moins, ce que nous supposerons ici, l'asymptote considérée n'est parallèle à aucune autre.
Dans ce cas, la valeur infinie de y, qui correspond à a? = 0, change de signe en même temps que x\ de sorte que la courbe est asymptote à l'axe des y, à ses deux extrémités et en sens contraires.
Si l'on mène à la courbe deux tangentes parallèles, suffisamment peu inclinées sur l'axe des y, ces tangentes comprennent entre elles un anneau de conjuguée dont l'aire intérieure, affectée du signe y — l,est une des périodes de l'intégrale quadratrice.
Lorsque la direction commune des deux tangentes qui comprennent un pareil anneau se rapproche de celle de l'axe des y, l'anneau s'aplatit en s'allongeant. A la limite, il se confond avec l'axe des y, sans toutefois que son aire ait varié.
Cette aire est facile à évaluer. En effet, si l'on pose y = ~, l'équation
devient
z»"-' 4- {ax"- -\-bx-\-c) zwî-2 -f [dx^ + . . .) xz^-'^ -j- . . . = 0.
Si l'on fait x = 0 dans cette équation, toutes ses racines, à l'exception d'une seule, deviennent nulles, et celle-ci prend la valeur z = — c ; il
en résulte que la racine infinie de l'équation en y pouvait être égalée
h y = , et que, par suite, la quadratrice de la branche asymptote à
l'axe des y pouvait être, à partir d'une valeur suffisamment petite de x,
cofifondue avec — cl — , dont la période, ± Sttc J—r 1, est l'aire cons-
J ^ tante d'un des anneaux dont il a été question.
Ces anneaux, quoique appartenant à un lieu du degré m, tendent à se confondre avec une ellipse indéfiniment allongée et indéfiniment aplatie, limite des conjuguées de l'hyperbole
avec laquelle la courbe de degré m tend elle-même à se confondre, dans les environs de x = 0.
2irc y — 1 est ce que nous nommons le résidu de l'intégrale quadratrice, relatif à l'asymptote considérée. Ce résidu est toujours une des périodes de la quadratrice, à quelques axes que la courbe se trouve rapportée.
Le résidu Swe \/ — 1 s'évanouit avec c, de sorte que la quadratrice perd alors une période. 11 est facile de caractériser cet accident au point de vue géométrique : en effet l'équation de la courbe, rapportée à l'asymptote considérée prise pour axe des y prend alors la forme
xym-i ^x{ax-\- b) 2/'»-2 -f {dx^ + . . .) if-^ -f- . . . =0,
d'où l'on voit que l'asymptote a alors trois points communs à l'infini avec la courbe. Cela n'arrive qu'à la condition d'une certaine relation entre les coefficients de l'équation delà courbe; la quadr.ilrice de la courbe la plus générale de degré tn a donc m périodes de l'espèce spéciale des résidus, qui forment un groupe à part, et que l'on pourra désigner sous le nom de périodes cycliques (i).
(1) Oii a supposé, dans ce qui vient d'être dit, qu'en même temps qu'on prenait l'une des asymptotes de la courbe pour axe des y, on prenait une perpendiculaire à cette asymptote pour axe des x. Si l'axe des x adopté faisait avec l'asymptote considérée un angle 6, l'aire de lanneau qui tendrait à se confondre avec cette asymptote serait représentée par
Itzc sin 6 et la période correspondante serait
2nc sin 0 v'".
Si au lieu de prendre l'asymptote considérée pour axe des y, on dirigeait simplement l'axe des y parallèlement à cette asymptote, l'équation de la courbe prendrait la forme
{x-p)y'"~' +(ax^ + bx + c)y"'-^-\.{dx'+ ) y"" " ' + = 0,
p désignant l'abscisse à l'origine de l'asymptote en question, le résidu serait alors exprimé par
2 71 («p* + bp 4- c) sin 0 s'-l .
Les m résidus relatifs aux m asymptotes d'un lieu du degré m ne sont pas indépendants les uns des autres, mais liés entre eux par une relation, du reste, unique. En effet soient
y = a^x-\-b^, yz=a^x-\- b^,... y = amX-\-bm
les équations des m asymptotes d'un lieu du degré m, l'équation de ce lieu pourra se mettre sous la forme
{y — a^x — é ,) ...{y — a„,v — bm) + a?'«-2 cp,„2 N, ^j +...=0;
si l'on y remplace y par a^x -f- b^, on tombera en général sur une équation en X de degré m — 2, et le résidu relatif à l'asymptote y= a^x-^- b^ aura dans ce cas une valeur quelconque. Pour que ce résidu fût nul,
il faudrait que ajût racine de <pm— 2 ( Ij- ) = 0-
Si l'on voulait que le résidu relatif h. y ^= a.^ x -\- b^ fût aussi nul, il faudrait de même assujettir les coefficients de l'équation du lieu à la seconde condition cp^2 (1, a^ = 0. Si Ton voulait que les résidus relatifs à m — 2 asymptotes fussent en même temps nuls, il faudrait établir entre les coefficients (?h — 2) relations qui assujettiraient la fonction
iPm-2 ( 1) ~ ) i se confondre, à un facteur constant près, avec
f-Ni!-"' ••■!-"»-
On pourrait faire en sorte que le résidu relatif à l'une des deux dernières asymptotes s'annulât encore, en égalant à zéro ce facteur constant ; mais on ne pourrait plus alors disposer du résidu relatif à la dernière asymptote : il serait nul de lui-même.
Ainsi : les résidus relatifs aux m asymptotes d'un lieu du degré m sont toujours liés entré eux par une relation telle que, si m — 1 d'entre eux sont nuls, le dernier l'est également, et cette relation est la seule qui existe généralement.
Cette relation est, du reste, facile à obtenir.
Soit
{y — a^x— b^) {y—a^x — b^)...{y—aviX—b,n)-{-x^»-^(fni-i ( ^, 1 )-|- ... =0
yX
l'équation d'une courbe de degré m, ayant pour asymptotes les droites
y=za,x-\- b„ y — Q^x->r b^,
y — ttmx -f. bm ;
pour avoir le résidu relatif à l'asymptote y = a^a? + ô^ = tang (t^x + b^, il faudra d'abord rendre l'axe des y parallèle à, cette droite et mettre ensuite l'équation de la courbe sous la forme •
M U' +^') y'— » + (Nx^ + Vx' + Q) /y'— 2 -|- . . . = 0,
ce qui donnera pour le résidu,
27C V— 1 sin a,
Les formules de transformation seront (les anciens axes étant supposés rectangulaires),
X = x' -\- y' CQ?, ix^ et î/ = y'sinaj,
de sorte que l'équation de la courbe deviendra
( — â,,r' — Jj) [y'(sin «j— Oj cosa,) — a^x' — b^. . .[«/'(sin «^ — ûmcosa^] — amx' — bm] + cp OT-2 {y' sin aj, x' -j- y cos a^) + . . . = 0.
M sera évidemment égal à
— Oj (sin a, — «2 cos aj) (sin aj — a^ cos aj) . . . (sin a^ — am cos a.^ ou, en mettant en évidence le facteur cos^^-'a^,
— a^cos'^—^a^{a^ — a^{a^ — «3) . . . ifii — dm) .
Quant aux termes en y''^~'^, une partie en proviendra du produit
(— aj.r' — b^[y'{?>m%^ — a^cos'x^) — a^x — i J • • • [y'(sinai — Om cos (t^—amx'—bm\
mais cette partie contenant le facteur ( — a^ x'—b^), s'évanouira lorsque
l'on fera x = 1; le seul terme en y''»-2 à considérer proviendra
donc de
<pm— 2 {y" sin aj, x' .-f- y' cos a,). ^
Soit
?«-2(y,^)=Ao?/'«-2-|-Aiy'»-3a- 4- . .. +Am-"2,
■j>,n~î {y' sin Oj, x' -\-y' cos aj) prendra la forme
< \(y'sin ai)"»-2 -f Ai(?/'sin a,)'«-3(ar'-f y cos ai)-{- Aj(y'sin ai)»»-* (a,'+?/' cos a,)* 4- etc.
et le terme en y'^-'^ aura évidemment pour coefficient
266 CHAPITRE XXXVJI.
ou, en mettant en évidence le facteur cos "«-^ «^^
cos "'-\ [AoO «-2 + Aja^'^-s + A^*!/»-* + • • • + Am-2] , c'est-à-dire
COS'«-2aj<pTO 2(ffi, -1).
Par conséquent l'expression du résidu est
Stt V— 1 sin aj -— ; '— ^
ou simplement
(«1 — flj) («1 «3) . . . («1 «m) '
Les autres résidus s'exprimeraient de même par
(«2— Oi) («2— «'s) • • • (^2 — «»») ' 271 y/ — l9m-2(q/«, 1)
{am Oj («w — O2) . . . [Om — Om—i)
Cela posé, une fonction algébrique entière de degré m — 2 est déterminée par les résultats de m — 1 substitutions. On a identiquement :
, ,. ^m-'i{ai,i){z — n^)(z — a^)...(z — nm-i)
îPw— 2 (Z, l) = ; — : ^ — :
, ?m-2 (^a, 1) (^ «t'^ (Z — ^3) ■ • . (-Z Om-l)
■ (fm-i{am-i,i){z — ai){z — ffg). ..(z — gm-a) {am-i — Oi) («OT-i — ('i) . . . (a»i-i — am-2) '
Il en résulte, en remplaçant z par Om ,
- , . <pm-2 (0„ 1 ) (Owj — Og) (0„i — «3) . . . («m — «m-l) ffm-i^dm, 1 ; = ;^ ri ^ 'f ^
. cp»i-2 (^2> ^ ) ('^m — '^i) (^"t — a^) ... (Qm — am—i) ' {a, — a,) {a^ — a^) . . . (a^ — «m-i)
■ (s^m-i{am-u\){am — a^{am—a^ . . . («m— am-2)
((?m-J — «1) (a,n i — «2) . . . («m-l — Om-2)
OU, en multipliant les deux termes de la première fraction par [a^—am), les deux termes de la seconde par (o^ — Om) et ainsi de suite, divisant les deux membres par {am — a,)(om— «i) ... (a« — «m-i), et faisant tout passer dans le premier membre,
(O, — Ctj) (''i — O3) . . . («1 — flm-l)
Ainsi la somme des m résidus, ou périodes cycliques, est toujours nulle.
Conclusion.
445. Lorsqu'un lieu de degré m dégénère en un système de m droites, il présente — ^- points doubles et les coefficients de son équation
satisfont à autant de conditions particulières.
m — 1 de ces conditions expriment que les m résidus relatifs aux asymptotes sont nuls, puisqu'ils le sont en effet. .
Si ces m — 1 conditions cessaient d'être satisfaites, le lieu redevien-
(m—\){m — '2.) drait irréductible et chacune des ^ ^ « conditions restantes
correspondrait toujours àla présence d'un point double. Ainsi le nombre maximum de points doubles d'un lieu irréductible de degré m est
C'est en effet la formule à laquelle Riemann était arrivé; la démonstration qu'il en donne n'avait pas besoin de vérification, mais il est remarquable que la théorie des périodes, traitée par la méthode des conjuguées, y conduise si naturellement.
Le nombre maximum des points doubles étante -^ -^ il en ré-
suite que le nombre total des périodes ultra-cycliques est (w — \)[m — 2). D'un autre côté, le nombre des périodes cycliques est m — \ ; par conséquent le nombre total des périodes est {m — 1)*; c'est-à-dire que la formule donnée par M- Jordan n'était pas, comme il semblait le craindre, susceptible de réduction.
Cela posé, la solution du problème de la classification des quadralrices des courbes algébriques est maintenant complète.
Les courbes de degré m quarrables algébriquement sont celles qui ont
pomts doubles et que leurs asymptotes coupent toutes
en trois points situés à l'infini.
Les courbes de degré m, quarrables au moyen des fonctions circulaires
seulement, sont celles qui ont i points doubles. Ce sont
celles que M. Hermite appelle unkursales ; leurs quadratrices ontm— i périodes cycliques au plus.
/fil \)(m 2)
Celles qui ont 1 points doubles sont quarrables par
les intégrales elliptiques, etc.
Cette théorie est, comme on le voit, plus complète à la fois que celle de M. Jordan et que celle de M. Clebsch;elle les remplace l'une et l'autre sans rien en emprunter, et elle est infiniment plus simple.
Elle ne procède absolument que delà méthode des conjuguées, et repose entièrement sur ce principe, que les périodes des intégrales sont les aires des anneaux fermés de la courbe réelle ou de ses conjuguées, que j'avais établi dès 185 1 .
Formule du produit des périodes de la quadratrice dune courbe de degré m.
444. La théorie précédente suggère une remarque qui pourra n'être pas immédiatement utilisable, mais que les géomètres apprécieront sans doute, sachant combien les premiers éléments de théories destinées à recevoir plus tard de grands développements, sont souvent insignifiants en apparence.
Pour qu'une des périodes ultra-cycliques de la quadratrice d'une courbe de degré m, f{x, y) = 0, devienne nulle, il faut que la courbe acquière un point double ; le produit des périodes doit donc contenir en facteur une certaine puissance du premier membre de la condition que les coefficients devraient remplir pour que la courbe eût un point double, c'est-à-dire de la condition que l'on obtiendrait en éliminant X Qi y entre les équations
Ax,y)=o, 1 = 0 et 1=0.
D'un autre côté, pour qu'une des périodes ultra-cycliques de la quadratrice devienne infinie, il faut que deux asymptotes de la courbe, devenues parallèles, soient rejetées à l'infini ; le produit des périodes ultracycliques doit donc contenir en dénominateur une certaine puissance du premier membre de la condition que devraient remplir les coefficients des termes du plus haut degré pour que l'ensemble de ces termes, égalé à zéro, fournît deux droites confondues.
Soient A et I les premiers membres de ces conditions, le produit de toutes les périodes ultra-cycliques de la quadratrice sera
S et i désignant les exposants encore inconnus des puissances dont il vient d'être parlé et û une constante, dépendant seulement de m, puisque ce facteur ne saurait devenir ni nul ni infini, pour aucun système de valeurs des coefficients.
A eti devront être séparément des fonctionshomogènes des coefficients de l'équation proposée qui y entreront, car les conditions qu'elles expriment ne dépendent que des rapports des coefficients à l'un d'eux.
D'un autre côté, S et i devront dépendre l'un de l'autre par cette con dilion que
ne varie pas non plus lorsqu'on multipliera tous les coefficients de l'équation par un même nombre, puisque le produit des périodes ne devra pas alors changer.
En conséquence, si le premier membre de l'équation qui résulterait de l'élimination de ^ et de y entre
A-,y) = 0, 1 = 0 et 1=0
est de degré k par rapport aux coefficients et que h soit celui de l'équation qui résulterait de l'élimination de c entre
ï)(l,c) = 0 et (p'c(l,e) = 0,
<f {x, y) désignant l'ensemble des termes de degré m de l'équation proposée, on devra avoir
hk = ih,
d'où «■ = S «7 ; et il en résultera
Enfin S se déterminera par les considérations suivantes : si l'on suppose numériques les coefficients des termes de degré m de l'équation proposée, ceux des termes de degrém — 1 seront linéaires, ceux des termes de degré m — 2 seront de la seconde dimension et ainsi de suite. D'ailleurs A et I seront séparément homogènes. Cela posé, si
est de degré /, comme le produit P devra être de degré 2 (m — i)(m— 2), puisqu'il y aura (m — 1) (m — 2) périodes ultra cycliques, on devra avoir
fô=2(m— l)(m — 2),
d'où, .
Quant au produit des périodes cycliques, ce sera le produit de (âir V — l)*"" par une certaine puissance du premier membre de l'équation qui exprimerait que l'un des résidus fût nul. Soit R ce premier membre, le produit des périodes cycliques sera donc
et on détermineras' par la condition que cette expression soit de la di-
mension 2 (w — 1)^ ; si l' est la dimension de R, on aura S' = j, ,
et le produit de toutes les périodes sera exprimé par
Quant à Q, on le déterminera exactement ou par approximation sur un exemple particulier.
De la courbe du troisième degré quarrable algébriquement.
44S. L'équation d'une courbe du troisième degré rapportée à l'une de ses asymptotes prise pour axe des y est
xy^^{ax^-\-bx + c)y + dx'-^ex'^fx + h = Q.
Si l'on veut que le résidu relatif à l'axe des y soit nul, il faut faire c = 0, alors les deux valeurs de y sont équidistantes de
ax-\-b
c'est-à-dire que les cordes parallèles à l'axe des y ont pour diamètre la droite
ax-\- b
y = ET--
Ainsi, dans les courbes du troisirme ordre, le diamètre conjugué des cordes parallèles à une asymptote dont le résidu est nul, est une droite.
Si les trois résidus sont nuls, les diamètres conjugués des cordes parallèles aux trois asymptotes seront séparément rectilignes.
Mais quand une courbe a un diamètre rectiligne, ses asymptotes, prises deux à deux, viennent se couper sur ce diamètre et forment des systèmes dont les cordes parallèles à celles de la courbe auxquelles correspond le diamètre rectiligne, ont elles-mêmes leurs milieux sur ce diamètre.
Par conséquent, si les trois périodes cycliques d'une courbe du troisième ordre sont nulles, la courbe admettra pour diamètres rectilignes les médianes du triangle formé par les trois asymptotes.
D'un autre côté, si une courbe pourvue d'un diamètre rectiligne a un point double unique, ce point double devra se trouver sur le diamètre. Par conséquent la courbe quarrable du troisième ordre devra avoir pour point double le centre de gravité du triangle des asymptotes.
Soient m le tiers d'une des médianes de ce triangle et a la moitié de la base correspondante; si l'on prend pour origine le point double, pour axe des a? la médiane, dirigée du point double vers le côté 2a, et pour axe des y la parallèle à de côté, l'équation de la courbe sera
^ ' \^la 2m / V 2a 2//i j ^
H devant être tel que l'origine soit un point double, condition en apparence triple, mais qui se réduit à
les termes du premier degré en a^ et en y s'en allant d'eux-mêmes. Ainsi, la courbe du troisième degré quarrable algébriquement est
ax . jx
Lorsque cette courbe a ses trois asymptotes réelles, elle a la figure ci-dessous. Je lui ai donné le nom de Trèfle.
Quand la courbe a deux asymptotes imaginaires, c'est une projection orthogonale ou oblique du foliuai.de Descartes.
272 CHAPITRE XXXVir.
En effet, si l'on rapporte le folium
à son axe de symétrie pris pour axe des x, et à la perpendiculaire menée par le point double, pour axe des y, l'équation de la courbe devient
Les deux courbes sont d'ailleurs, comme on voit, conjuguées l'une de l'autre.
Fig. 33.
L'équation du trèfle peut être réduite à
Si l'on y remplace A; et m par A; + k' sj—lei m -\- m' sj—i, on aura un lieu
/ I wV /x + 3(m + m'v/^)
dont les conjuguées, du neuvième degré, seront également quarrables algébriquement.
Sur la courbe la plus générale du quatrième degré quarrable algébriquement.
446. Toute projection orthogonale ou oblique, sur un plan quelconque, d'une courbe quarrable algébriquement, est aussi quarrable algébriquement; parce que la projection est de môme degré que la courbe projetée, qu'elle présente le même nombre de points doubles, et que chacune de ses asymptotes la coupe en autant de points à l'infini que l'asymptote dont elle est la projection coupait elle-même à l'infini la courbe projetée.
Nous pourrons donc nous borner à la recherche de la projection la plus simple possible de la courbe la plus générale du quatrième degré quarrable algébriquement.
Or, on peut toujours transformer par projection un triangle quelconque en un triangle équilatéral. En effet, si par l'un des côtés du triangle on fait passer un plan quelconque, et que, sur le côté consi* déré du triangle, on construise, dans le plan choisi, un triangle équilatéral, il suffira, pour transformer le proposé dans ce triangle équilatéral, de le projeter parallèlement à la ligne qui joindrait les troisièmes sommets.
Nous pourrons donc supposer que les trois points doubles de la courbe cherchée forment les sommets d'un triangle équilatéral, dont nous désignerons le côté par d.
Si nous rapportons cette courbe à deux des côtés du triangle des points doubles, pris pour axes de coordonnées, les trois points doubles auront pour coordonnées
[^• = 0,y = 0], [x = d,y = Ql [x=0,y^d].
D'un autre côté, en représentant par
les équations des quatre asymptotes, l'équation de la courbe devra être
{y — a,x—b,){y—a^x—b;){y—a^x—b^){y—a,x—b,)-\-kx^^y^C={i,
pour que chacune des quatre asymptotes coupe la courbe en trois points situés à l'infini.
Mais les constantes A, B, C, a^, b^, o^, b^, a^, b^, a^, b^ devront satisfaire à neuf conditions exprimant que les trois points définis plus haut sont des points doubles.
274 CHAPITRE XXXVIl.
Pour que l'origine soit un point double, il faudra que
f^bAK + G = 0,
— hJ)J)^ — b^b, — bj),b, — b,b,b., + B = 0,
afijb^b^ + ^î^s^^^i + '^■fiiPx^^i -\- «4*1^2^3 -f A = 0 :
équations qui déterminent A, B et G.
Si l'on transporte l'origine des coordonnées au point x = {), y = d, l'équation de la courbe devient
et, pour exprimer que la nouvelle origine est un point double, on aura les trois conditions
—a,{d-b^[d—b^{d—h,)—a^{d—bXd—b,Xd—f>y)—ald—b.){d—b,){d—b^) -a,Xd-b,){d-b,){d-h,)Jr.\=0.
En remplaçant dans les deux premières équations de ce second groupe B et G par leurs valeurs tirées des deux premières du premier groupe, elles deviennent
d' — dlb^ + i:b,b, = 0 et
Ad' — Sdlb, -}- 2:^b,b, = 0, d'où l'on tire
lb^=<id et ^b^b.^ = d„
entre les ordonnées à l'origine é^, b^, b^ et b^ des quatre asymptotes.
Ges équations se traduisent d'elles-mêmes, mais on peut encore les transformer avec avantage : si l'on désigne par b\ la distance du milieu du côté du triangle des points doubles, couché sur l'axe des y, au point de rencontre de ce même côté avec l'asymptote y = a^x -\- b^, cette distance étant comptée positivement dans le sens des y positifs, è^ sera
égal à - -f- *'i) P3^r conséquent, les conditions précédentes s'exprime-
ronl par
ou
l.b\=0 et :ùb\^ = d'.
On trouverait naturellement des conditions identiques pour les autres côtés du triangle des points doubles. '
Ainsi, les conditions sont que le milieu de chaque côté du triangle des points doubles soit le centre des moyennes distances des points de rencontre de ce côté avec les quatre asymptotes et que la somme des carrés des mêmes distances soit égale au carré d'un côté du triangle devenu équilatéral.
