Soit en second lieu l'équation

qui représente une ellipse réelle et toutes les hyperboles imaginaires qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun.

Ces hyperboles ont leur caractéristique négative lorsqu'elles touchent l'ellipse dans le premier et le troisième quadrant, positive lorsqu'elles la touchent dans le deuxième et le quatrième. La conjuguée qui a pour axe transverse l'axe des x, a sa caractéristique infinie, celle qui a pour axe transverse l'axe des y a sa caractéristique nulle.

il résulte de là que la caractéristique change de signe en passant par zéro lorsque le point de contact de l'ellipse avec la branche de conjuguée sur laquelle se trouve le point [x, y], passe du premier au deuxième quadrant, ou du troisième au quatrième, ou inversement, et qu'elle change de signe en passant par l'inlini lorsque le même point de contact passe du deuxième au troisième quadrant, ou du quatrième au premier, ou inversement.

D'un autre côté, la conjuguée dont la caractéristique est infinie a ses abscisses réelles et plus grandes que a, ou moindres que — a, et celle dont la caractéristique est nulle les a imaginaires sans parties réelles; par conséquent G ne peut changer désigne qu'aux époques oh Ç> passe par zéro, a^ étant plus grand que a% ou bien où « passe par zéro, quel que soit alors p.

D'ailleurs, quand ^ change de signe en passant par zéro, a* étant alors plus grand que a^, la caractéristique change de signe, car la partie imaginaire de y conserve le sien. De même, quand a change de signe en passant par zéro, la caractéristique change encore de signe ; car la partie imaginaire de x, qui était finie, conserve son signe, et celle de y, qui était infiniment petite, en change. En effet, si le point de la conjuguée G = 0 par où passe le point [x, y] a pour coordonnées

x = p sP^, ^

et par exemple

y = + ^ va^ + ^%

le coefficient différentiel de y par rapport à x est alors

^, la I

Orsij? augmente de d(x-{- d^ ^— i, la partie imaginaire de y augmente de

quantité qui change de signe avec da et qui est indépendante de d^. En résumé donc, G change de signe chaque fois que a change de

signe, quel que soit alors ^, et chaque fois que p change de signe, ^ étant plus grand que é.

Par suite, le point de départ [Xj, yj ayant, par exemple, sa caractéristique positive, le point d'arrivée sera

^1 = «i + Pi V^, .Vi = «',+ PAv/-],

C, étant positif ou négatif, suivant que le nombre des passages à compter se sera trouvé pair ou impair.