L'équation

ay--\-b'x- = —a'b'

offre un exemple où l'enveloppe réelle n'existe plus. Le lieu total qu'elle représente, rapporté à de nouveaux axes dirigés suivant deux diamètres conjugués de l'ellipse

ay- 4- b'x- = a-b\.

fcfurnie par les solutions de la forme

x = 'ps — \, >/=,^5'v — 1 de l'équation proposée, aurait évidemment pour équation nouvelle

La conjuguée dont la caractéristique aurait eu la valeur du coefficient angulaire ancien de la direction qu'on a donnée au nouvel axe des y n'est donc autre chose que l'hyperbole

— dhf -f- b'^x^ = — d^b'\ qui touche l'ellipse

ah/ + b^x'' — a'b^

aux deux extrémités de son diamètre couché suivant le nouvel axe des y.

Ainsi les conjuguées qui composent le lieu

a-y^ + Px^ = —a?b^

sont encore toutes les hyperboles qui ont, avec l'ellipse

un système de diamètres conjugués commun; mais cette ellipse n'en est plus que l'enveloppe imaginaire.

Au reste la caractéristique d'une quelconque des conjuguées n'est plus, comme pour les conjuguées de l'ellipse réelle, le coefficient angulaire du diamètre non transverse qu'elle a de commun avec l'enveloppe, mais celle du diamètre transverse.

Le renversement de la courbure d'une conjuguée, et le changement dans le mode d'accouplement de ses quatre branches, s'est produit au moment où, l'ellipse s'évanouissant, les quatre sommets ont été un instant confondus et la courbure nulle.

Application aux surfaces du second ordre.

41. Les conjuguées d'un ellipsoïde sont les hyperboloïdes continus qui ont avec lui un système de trois diamètres conjugués communs.

En effet, si l'on dirige l'axe des z de manière à rendre réelles les abscisses et les ordonnées de la conjuguée qu'on veut obtenir, et ceux des x et des y suivant deux diamètres conjugués de la section faite par le plan diamétral conjugué de l'axe des z, l'équation de la surface deviendra

la conjuguée cherchée aura donc son z imaginaire sans partie réelle, par conséquent son équation en coordonnées réelles sera

qui représente l'hyperboloïde à une nappe circonscrit à l'ellipsoïde le long de la section faite dans cette surface par le plan des x, y.

Les conjuguées de l'ellipsoïde remplissent donc tout l'espace, sauf l'intérieur de cet ellipsoïde.

42. Les conjuguées de l'hyperboloïde à une nappe sont des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes à deux nappes selon que les parallèles à leurs cordes réelles, menées par le centre, sont intérieures ou extérieures au cône asymptote.

En effet, les mêmes dispositions étant prises que dans le cas précédent, l'équation de l'hyperboloïde prendra l'une des deux formes

ou

la conjuguée cherchée, dont les x e,iy seraient réels, aura donc son z imaginaire sans partie réelle; son équation en coordonnées réelles sera, suivant l'hypothèse,

ou

Ces deux équations représentent l'une un ellipsoïde, l'autre un hyperboloïde à deux nappes.

Chaque conjuguée a encore trois diamètres conjugués communs avec la surface réelle.

45. Les conjuguées dont les cordes réelles seraient parallèles aux génératrices du cône. asymptote sont évanouissantes ; mais il convient de remarquer que, lorsque la direction des cordes réelles d'une conjuguée se rapproche de celle d'une génératrice du cône asymptote, la courbe de contact de cette conjuguée avec la surface réelle tend à se réduire à deux droites parallèles, tandis que le diamètre conjugué du plan de cette courbe tend à venir se placer sur ce plan. Suivant donc que la conjuguée limite est considérée comme un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes, elle se réduit elle-même à un cylindre elliptique aplati sur le plan des deux parallèles et dans leur intérieur, ou à un cylindre hyperbolique aplati sur le même plan, mais en dehors des mêmes j)arallèles. Le double du plan diamétral singulier, correspondant à la direction donnée, forme donc l'ensemble des deux conjuguées évanouissantes.

44. Les ellipsoïdes conjugués d'un hyperboloïde à une nappe remplissent l'espace compris entre cet hyperboloïde el l'hyperboloïde h deux nappes de mêmes axes qui aurait le même cône asymptote.

Quant aux hyperboloïdes à deux nappes conjuguées du même hyperboloïde à une nappe, ils occupent tout l'espace compris en dehors de la surface réelle.

Les ellipsoïdes conjugués d'un hyperboloïde à une nappe ont, pour seconde enveloppe imaginaire l'hyperboloïde à deux nappes supplémentaire; mais, conformément à ce qui a été dit au n" 27, chaque conjuguée ne touche cette enveloppe qu'en deux points.

45. La parallèle menée par le centre aux cordes réelles d'une conjuguée de l'hyperboloïde à deux nappes ne peut être qu'extérieure au cône asymptote, puisque toute parallèle à une droite menée du sommet à l'intérieur de ce cône couperait nécessairement la surface réelle en deux points.

Cela posé, si l'on prend pour axe des z une parallèle menée par le centre aux cordes réelles d'une conjuguée de l'hyperboloïde à deux nappes, et pour axes des x et des y deux diamètres conjugués de la section faite par le plan diamétral conjugué de cette direction, l'équation de la surface réelle aura l'une des formes

selon que ce sera l'axe des x ou l'axe des ?/ qui sera transverse, mais l'axe des z sera toujours non transverse.

La conjuguée dont les x et y seraient réels et par suite les z imaginaires sans parties réelles, aura donc pour équation en coordonnées réelles

Ce sera donc toujours un hyperboloïde à une nappe. Les conjuguées de l'hyperboloïde à deux nappes sont donc les hyperboloïdes continus qui ont avec lui un système de diamètres conjugués commun et le touchent suivant ses sections centrales réelles.

46. Les conjuguées dont les cordes réelles seraient parallèles aux génératrices du cône asymptote sont évanouissantes. Mais lorsque la direction des cordes réelles d'une conjuguée se rapproche de celle d'une génératrice du cône asymptote, la section de la surface réelle par le plan diamétral conjugué de cette direction, a son axe transverse infini et une ouverture nulle ; en même temps le diamètre conjugué du plan de cette section tend à venir se placer sur ce plan. La conjuguée se réduit donc encore dans ce cas au double du plan diamétral singulier correspondant à la direction de ses cordes réelles.

47. Les conjuguées du paraboloïde elliptique sont des paraboloïdes hyperboliques de mênnes paramètres, et opposés à lui par un diamètre commun.

En effet, si l'on prend pour axe des - une quelconque des tangentes menées à la surface parallèlement à la direction des cordes réelles de la conjuguée qu'on veut obtenir, pour origine le point de contact de cette tangente, pour axe des x une parallèle à l'axe de la surface, pour plan des zy le plan tangent à l'origine, enfin pour axe des y le diamètre conjugué de l'axe des z dans la section évanouissante faite par le plan des zy, l'équation de la surface aura la forme

la conjuguée dont les x e,iy seraient réels, et dont par suite les :; seraient imaginaires sans parties réelles, aura donc pour équation en coordonnées réelles

ce sera donc un paraboloïde hyperbolique circonscrit au paraboloïde elliptique le long de la section faite dans cette surface par le plan des xy. La conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à l'axe de la surface serait rejetée à l'infini.

48. Les conjuguées du paraboloïde hyperbolique sont des paraboloïdes elliptiques de mêmes paramètres et opposés à lui par un diamètre commun.

Il n'y aurait pour le voir qu'à renverser la démonstration précédente.

Mais il faut remarquer que selon que la parallèle menée par un point de l'axe aux cordes réelles d'une conjuguée sera comprise dans l'un ou l'autre couple des angles dièdres formés par les plans directeurs, la conjuguée aura sa concavité tournée vers une des directions de l'axe ou vers l'autre.

En effet, si l'on fait mouvoir un plan, non parallèle à l'axe, parallèlement à lui-même, selon qu'il se trouve d'un côté ou de l'autre de la position qu'il occupe lorsqu'il est tangent, l'hyperbole de section a ses branches comprises dans un des couples des angles dièdres formés par les deux plans directeurs menés par le diamètre lieu de ses centres, ou dans l'autre couple.

Or, pour qulme droite réelle coupe imaginairement une hyperbole, il faut que sa parallèle menée du centre ne soit pas comprise dans les mêmes angles, formés par les asymptotes, où se trouve la courbe ellemême.

Suivant donc que la direction donnée aura sa parallèle contenue dans l'un ou l'autre couple des angles dièdres formés par les deux plans directeurs, il faudra, pour obtenir la conjuguée correspondante, faire mou-

voir la corde idéale vers la droite de l'axe ou vers la gauche à partir de la parabole de contact du cylindre circonscrit au'paraboloïde parallèlement à là direction donnée.

49. La conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à l'axe même de la surface, serait rejetée à l'infini.

Quant à celles dont' les cordes réelles seraient parallèles aux plans directeurs, elles seraient évanouissantes; celle dont les cordes réelles seraient parallèles à une génératrice rectiligne désignée de la surface, se réduirait au double du plan mené par cette génératrice parallèlement à l'axe.

En effet, si l'on coupe la surface par une série quelconque de plans parallèles à cette génératrice, le lieu des centres des sections hyperboliques obtenues sera une parallèle à Taxe, menée par le point de la génératrice où le plan tangent à la surface est parallèle aux plans considérés; celle des asymptotes de l'hyperbole de section qui sera parallèle à la génératrice désignée, décrira donc toujours le même plan directeur quelle que soit la direction donnée aux plans sécants. Mais, dans chaque position du plan sécant, l'asymptote dont on vient de parler, doublée, sera précisément la conjuguée de l'hyperbole de section, correspondante à la direction assignée pour les cordes réelles ; le lieu de ces courbes conjuguées n'est autre chose que la surface conjuguée cherchée.

Cette surface conjuguée se confondra donc avec le plan directeur doublé que l'on mènerait par la génératrice désignée.

50. Pour déterminer les conjuguées d'un cône du second degré, on pourra l'assimiler à l'un deshyperboloïdes, par exemple à l'hyperboloïde à une nappe; on verra dès lors immédiatement que, si les cordes réelles d'une conjuguée sont parallèles à une droite menée du sommet à l'intérieur du cône, la conjuguée se réduira au sommet; que, si les cordes réelles sont parallèles à une génératrice du cône, la conjuguée se réduira au double du plan tangent mené suivant cette génératrice ; enfin que les conjuguées non singulières sont des cônes du second degré ayant même sommet que le cône réel donné.

Pour préciser davantage, il suffira de rappeler ce qui a été dit plus haut sur les sections faites par un plan réel dans une surface et dans ses conjuguées. On verra ainsi que les conjuguées d'un cône du second degré sont tous les cônes qui auraient même sommet et pour directrices, dans tous les plans imaginables, les conjuguées des sections faites par les mêmes plans dans le cône réel, chaque plan sécant fournissant les directrices des cônes conjugués dont les cordes réelles lui seraient parallèles.

81. En considérant les cylindres du second degré comme des cônes dont les sommets seraient à l'infini, on pourra leur appliquer les considérations précédentes, et l'on en conclura que les conjuguées d'un

cylindre du second degré sont tous les cylindres du second degré qui auraient leurs génératrices parallèles aux siennes et, pour directrices, dans tous les plans imaginables, les conjuguées des sections faites par les mêmes plans dans le cylindre réel; mais les plans réels, dont les sections pourraient fournir les directrices d'un des cylindres conjugués, devraient être parallèles aux cordes réelles de ce cylindre.

o2. Le lieu représenté par l'équation de l'ellipsoïde imaginaire

si on le rapportait à trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde réel, mais semblable

conserverait une équation de même forme x^ V* z^

a, h', c désignant les longueurs de ces trois diamètres. Or la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles fournie par cette dernière équation, ayant ses z imaginaires sans parties réelles, serait représentée en coordonnées réelles par l'équation

c^ serait un hyperboloïde à deux nappes : les conjuguées de l'ellipsoïde imaginaire sont donc les hyperboloïdes à deux nappes qui ont avec l'ellipsoide réel de mêmes axes un système [de diamètres conjugués commun.

L'ellipsoïde réel

enveloppe imaginaire des conjuguées de l'ellipsoïde imaginaire

est représenté dans l'équation de ce dernier par les solutions de la forme

L'enveloppe imaginaire des conjuguées n'est touchée encore ici par chacune d'elles qu'en un seul point.

35. Le cône imaginaire ou ellipsoïde évanouissant a encore pour conjuguées des cônes du second degré, par cette simple raison que lorsque l'ellipsoïde se réduit à un point, les hyperboloïdes continus qui en sont les conjuguées se transforment en cônes.

Au reste les sections faites par un plan réel dans les conjuguées du cône imaginaire seront toujours les conjuguées d'un rhême lieu; l'équation de la section toUle étant donc celle d'une ellipse imaginaire, les hyperboles circonscrites à cette ellipse imaginaire seront les directrices, sur le plan sécant, des cônes conjuguas dont les cordes réelles lui seraient parallèles.

Le cône qui, sur l'un des plans de section, aurait pour directrice l'ellipse de mêmes axes que l'ellipse imaginaire trouvée, sera l'enveloppe de ces cônes conjugués.

L'équation du cône imaginaire étant ramenée à la forme

la trace du cône enveloppe imaginaire, sur un plan z=.hy sera l'ellipse

les points de ce cône seront représentés dans l'équation du lieu par les solutions de la forme

Pareillement les conjuguées du cylindre elliptique imaginaire seront les cylindres qui auraient pour bases, dans tous les plans imaginables, les conjuguées des ellipses imaginaires de section.

L'ellipse réelle de mêmes axes que l'ellipse imaginaire de section, par un plan quelconque, sera la base, sur ce plan sécant du cylindre enveloppe, de tous les cylindres conjugués.

Quant aux conjuguées du cylindre elliptique évanouissant, ce seraient des plans passant tous par l'axe de ce cylindre.

54. Les courbes sur lesquelles on spécule dans une même recherche sont de deux sortes : la première sorte comprend les courbes que l'on veut étudier, et la seconde celles qui, parfaitement connues d'avance, sont employées à l'étude des autres.

La ligne droite, le cercle sont les lignes de la seconde sorte qui se présentent les premières dans l'ordre croissant de difficulté des recherches.

Or, que les courbes à étudier soient représentées en coordonnées réelles ou en coordonnées imaginaires, leurs équations seront toujours imposées par la question même que l'on traitera.

Tandis que les équations des lignes employées à l'étude des autres devront au contraire être choisies par l'opérateur, de façon à pouvoir remplir le but proposé : car un même lieu peut être imaginairement représenté par une infinité d'équations distinctes, puisque les coordonnées de ses points peuvent être successivement partagées suivant des lois toutes différentes en parties réelles et imaginaires. Il est clair d'ailleurs que le meilleur choix à faire sera déterminé par des conditions souvent très-délicates.

Les plus impérieuses de ces conditions peuvent toutefois être formulées à l'avance d'une manière générale.

En premier lieu, si la courbe à étudier a pour caractéristique C, les lignes au moyen desquelles on voudra l'étudier devront naturellement être représentées dans le même système.

En second Ueu, comme la condition, pour une courbe imaginaire, de passer par un point imaginaire, donné par ses coordonnées, s'exprime par deux conditions, pour qu'on puisse établir entre une courbe imaginaire donnée et celle dont on voudra se servir pour l'étudier, le même degré de contingence dont ces deux lignes sont capables, lorsqu'elles sont représentées en coordonnées réelles, il faudra que l'équation de la seconde courbe contienne deux fois plus de paramètres arbitraires que son équation en coordonnées réelles.

Enfin la condition de conserver à l'équation du lieu employé son degré minimum pourra achever de déterminer cette équation.

oo. Je m'étais d'abord exclusivement posé la question dans les termes qui viennent d'être rapportés, et c'est ainsi que j'avais été amené à

former l'équation en coordonnées imaginaires de la ligne droite sous la forme, d'ailleurs convenable, qui lui sera conservée, puis celle du cercle. Mais je n'ai pas tardé à m'apercevoir que, parallèlement à l'ancienne méthode, malgré les grands services qu'elle est encore appelée à rendre, on pouvait en instituer une autre plus aisée à mettre en pratique et souvent plus féconde.

5G. La simplicité de la figure géométrique d'un lieu entraîne naturellement la simplicité de la forme algébrique de son équation en coordonnées réelles, en sorte que l'emploi des lignes les plus simples, la droite, le cercle, etc., à l'étude des lignes plus compliquées, devait se réaliser par la mise en rapport des équations des lieux à étudier avec des équations plus simples.

Mais si la représentation sous forme imaginaire altérait un peu la simplicité de l'équation d'un lieu naturellement simple, il pourrait devenir préférable d'employer à l'étude des autres lieux des lieux géométriquement plus compliqués que les lieux les plus élémentaires, mais représentés par des équations plus simples que les leurs.

En d'autres termes, dès qu'au point de vue où l'on se place, les considérations algébriques prennent une plus grande importance que les considérations géométriques, c'est aux convenances algébriques qu'il faut demander un guide dans la méthode à suivre.

Si l'on a fait choix, comme terme de comparaison, d'un lieu représenté par une équation simple et défini d'abord par cette équation seulement, on devra, bien entendu, commencer par constituer la théorie de ce lieu ; mais quand cette théorie sera faite, le lieu en question servira aux mêmes usages, relativement à l'étude des lieux imaginaires, auxquels servait, relativement à l'élude des lieux réels, le lieu représenté en coordonnées réelles par l'équation analogue à celle qu'on aura choisie.

Ainsi les lieux employés à l'étude des autres pourront être ceux dont les équations seront les plus simples, quelle qu'en soit d'ailleurs la figure : par exemple le lieu représenté par l'équation du premier degré

= {m + wv"— i)^- + /> -\-g\J— 1

aurait pu être choisi à priori comme terme de comparaison, pour jouer dans la théorie des courbes imaginaires le rôle que joue la ligne droite dans la théorie des courbes réelles.

Les lignes représentées par cette équation se trouveront être des droites, mais elles eussent pu servir à l'étude des autres lignes non comme droites, mais comme représentées par une équation analogue à celle de la ligne droite.

Quels qu'eussent pu être les lieux représentés par l'équation

y = {m + n \' — i) x ^ p -\- q \' — i , la mise en rapport de cette équation avec celle d'un lieu quelconque

aurait toujours pu fournir les solutions de toutes les questions relatives aux tangentes et aux asymptotes de ce lieu et de ses conjuguées.

o7. Pareillement les lieux représentés par l'équation

(a: a - a'v - l)' + (y - 6 - b'\- if = (r + r y'- if,

lieux qui différeront totalement du cercle, le remplaceront complètement dans l'étude de la courbure des courbes ; et il sera même beaucoup plus aisé d'obtenir le rayon de courbure d'une conjuguée d'un lieu, en un de ses points, au moyen des éléments r et r', déterminés par la formule ordinaire

où -j- et — 4 auraient les valeurs réelles ou imaginaires des deux predx dx'^

mières dérivées de y par rapport à x, au point considéré du lieu, que de

former directement l'équation en coordonnées imaginaires du cercle,

pour chercher ensuite à établir un contact du second ordre entre ce

cercle et la conjuguée considérée du lieu à étudier.

S8. Pour obtenir les éléments de l'osculatrice du second degré à une conjuguée en un de ses points, nous n'hésiterions pas davantage à les chercher dans l'équation complète du second degré à coefficients imaginaires, construits d'après les mêmes formules qui donneraient l'équation de l'osculatrice du second degré d'une courbe réelle.

Cette méthode est évidemment la seule qui, en supprimant tout arbitraire, puisse offrir un guide certain. Elle aura d'ailleurs beaucoup d'autres avantages.

On remarquera d'abord que les équations des lieux choisis comme il vient d'être dit pour être employés à l'étude des autres, se trouveront toujours d'elles-mêmes chargées du nombre de paramètres arbitraires exactement convenable aux recherches tentées.

En second lieu l'institution des calculs nécessaires à chaque recherche n'aura jamais besoin d'être reprise directement : les formules employées seront toujours les mêmes que celles qui fourniraient les résultats des mêmes recherches par rapport à des courbes réelles. En sorte que la question ne sera jamais que de donner, dans chaque cas, une bonne interprétation des résultats obtenus.

Ces principes rendent d'avance compte de la manière dont les questions vont être posées et résolues dans ce chapitre où il est question des lieux du premier ordre.

îï9. 11 nous reste, pour compléter ce qui se rapporte à la méthode, à

4i CHAPITRE V.

expliquer comment les données devront être introduites dans les calculs.

On introduit sous forme réelle les données géométriques d'un problème lorsque l'on suppose ce problème possible ; si la solution se rapporte effectivement au lieu réel considéré, le problème est résolu ; si au contraire la solution est imaginaire, elle se rapporte à l'une des conjuguées du lieu ; mais cette conjuguée, dont la caractéristique variera d'ailleurs avec les données, n'aura pas été choisie : elle se sera présentée d'elle-même pour suppléer la courbe réelle.

Si l'on veut disposer le calcul de manière que la solution obtenue puisse se rapporter à une conjuguée quelconque, il faudra nécessairement introduire les données sous forme imaginaire, en ayant soin de conserver l'indétermination qui les affectera nécessairement, jusqu'à ce que, le problème étant résolu dans toute sa généralité, on soit arrivé au point où il ne s'agirait plus que de rendre la solution obtenue propre à celle que l'on voudra des conjuguées.

Un exemple suffira pour expliquer ce que nous venons de dire. Supposons qu'on voulût par un point donné mener une tangente à une courbe définie. Si l'on veut étendre l'énoncé jusqu'à supposer que la question soit de mener par le point donné toutes les tangentes possibles à la courbe et à ses conjuguées, au lieu de représenter le point donné par ses coordonnées réelles a et b, on, les représentera par

y, = a'i -f fi'i y/ ~ 1 ,

en supposant bien entendu

«1 + I^i = n et

a', + [ii'i = h.

On posera alors les équations du problème, et, la solution obtenue, il ne restera plus qu'à achever de déterminer aj, [ij, a.\ et ^\ par la condition que cette solution se rapporte à une conjuguée désignée du lieu proposé.

60. On a vu au n° 17 que les lieux conjugués que représente une équation de degré m à coefficients imaginaires sont du degré ni^. 11 en résulte que les conjuguées du lieu

sont du premier degré, c'est-à-dire des droites.

Leur équation admet pour solution réelle, unique d'ailleurs, le système des valeurs de a; et y tirées de

y = nix -\- n

et

nx -{- q = 0;

le point correspondant à cette solution peut être considéré comme Tenveloppe réelle des conjuguées du lieu, c'est-à-dire que sa caractéristique étant -, ce point peut être considéré comme appartenant indifféremment à toutes les conjuguées; les droites représentées par l'équation forment donc un faisceau divergeant du point

mq

61. On pouvait parvenir aux mêmes conclusions d'une autre manière.

Les deux équations

y = \m ± n\l — \) X -\- p ± q\l — 1, réunies, forment l'équation

(,y — mx — pf + [nx -\- qf = 0," qui est celle d'une ellipse évanouissante réduite à son centre

Les conjuguées du lieu

y = [in ± n V — l) X -\- p ± q y' — 1

devaient donc coïncider avec les hyperboles, réduites à leurs asymptotes, conjuguées de cette ellipse évanouissante, c'est-à-dire former deux faisceaux de droites issues du point

Il convient au reste de remarquer que, lorsque la caractéristique change, les deux droites qui forment la conjuguée correspondante de l'ellipse évanouissante tournent en même temps autour de leur point de concours fixe et ne se confondent ni, par conséquent, ne s'intervertissent jamais ; d'où il résulte que chacune d'elles prend successivement toutes les directions imaginables.

Le faisceau de droites représentées par la seule équation

{?n + nv— l)a;-f /) + îV— 1

comprend donc toutes les droites qu'on peut mener du point

q ma .

et. par conséquent, recouvre tout le plan du tableau, sauf, bien entendu, les cas particuliers.

62. Il sera souvent nécessaire de repasser de l'équation d'une droite en coordonnées imaginaires à l'équation de cette mêm^ droite en coordonnées réelles.

L'équation générale des droites du faisceau

= (m + nV— \)x^p^q\i— 1,

en coordonnées réelles, s'obtiendra par la méthode indiquée au n° 17. - L'équation en coordonnées réelles de la droite, de caractéristique C, du faisceau

résultera de l'élimination de a, [à et a' entre les équations

(1,2) a'-f ^Gv/-1 =(m + n^-l)(a + p/:il)4-p + ^V-l.

d'où l'on lire