Cette équation donne lieu à plusieurs remarques

On voit d'abord que le coefficient angulaire varie en général avec C, de manière h pouvoir prendre toutes les valeurs, ce qui confirme ce qui a été dit plus haut.

Si l'on fait G infini, l'équation se réduit à

c'est-à-dire que la conjuguée à abscisses réelles du lieu se forme en remplaçant sj — 1 par 1 dans l'équation de ce lieu. Ce résultat sera fréquemment utilisé, parce que dans les démonstrations théoriques, on ramènera habituellement la conjuguée qu'on voudra étudier, du lieu en discussion, à avoir ses abscisses réelles.

64. Nous donnerons habituellement le nom de faisceau elliptique au faisceau représenté par l'équation générale du premier degré. Son équation, aussi simplifiée que possible, se réduit à

n étant moindre que \, si l'ellipse évanouissante dont les diamètres forment ce faisceau a été rapportée à ses axes et que le grand axe ait été pris pour axe des x.

Nous dirons que le faisceau est circulaire lorsque l'ellipse évanouissante qui lui correspondrait sera un cercle. Un pareil faisceau, quel que soit le système d'axes rectangulaires auquel on le rapporte, aura toujours son coefficient angulaire égal à V — 1 ; il sera représenté par

y = ±isl~\x-^p-\-q\l—i.

Enfin le faisceau sera parabolique si l'ellipse qui lui correspondrait a l'un de ses axes infiniment petit par rapport à l'autre, c'est-à-dire si le coefficient angulaire de ce faisceau est réel. L'équation générale des faisceaux paraboliques est

y = mx -\-p-\-q\/ — i;

un pareil faisceau ^st composé de droites repliées toutes les unes sur les autres ; en efi"et, si dans l'équation

y = mx + /> + ^ V' — « »

on fait il vient d'où, en ajoutant,

X = a-\-^\l — l et ^^a'-f- ^Cy/— 1, ai^mai-{-p et ''^C = m'^ -\- ç ,

c'est-à-dire, suivant notre notation habituelle,

yi = mx, -\-p + q.

Le faisceau parabolique donne encore lieu à une autre remarque importante, qui sera utilisée dans la théorie des asymptotes; l'équation

qui donne

montre que tout le long d'une même droite du faisceau, les parties imaginaires des coordonnées sont absolument constantes. Elles sont d'ailleurs infinies sur la droite dont la caractéristique est le coefficient angulaire du faisceau.