L'équation du premier degré entièrement réelle

y = mx -J- p

paraîtrait ne représenter que deux droites confondues, l'une réelle et l'autre ayant pour caractéristique le coefficient angulaire m. Mais on peut remarquer que les deux équations

a := Wa -|- /),

qui donnent les solutions imaginaires de l'équation, laissent [i complètement arbitraire, par rapport à a, d'où il résulte qu'il vaudra mieux dire que l'équation représente une infinité de droites confondues, l'une réelle et les autres ayant toutes pour caractéristique commune le coefficient angulaire de la droite réelle.

De cette manière, l'équation

y = mx -f- p

pourra encore être considérée comme représentait un faisceau de droites.

66. D'après ce qui a été dit dans le chapitre précédent, l'équation

ne saurait être considérée comme l'équation la plus générale de la ligne droite, en coordonnées imaginaires; mais il n'est pas de circonstances où elle puisse être insuffisante, par la raison que chacune des droites qu'elle représente pourra être assujettie à passer par deux points donnés à volonté par leurs coordonnées imaginaires, pourvu que ces deux points aient même caractéristique, ce qui est la condition indispensable pour qu'ils puissent faire partie des données d'une même question. ■

D'un autre côté, la représentation de la droite, sous forme imaginaire, par l'équation

conserve à ce lieu sa propriété la plus caractéristique, que le rapport des différences des coordonnées de deux quelconques de ses points reste constant.

Ces deux remarques font pressentir la facilité avec laquelle la représentation de la droite par l'équation

s'adaptera à la recherche des tangentes et asymptotes aux courbes imaginaires.

67. La théorie géométrique des angles imaginaires formera un chapitre important de cet ouvrage, mais nous ne pourrions pas dès maintenant résoudre convenablement les questions relatives aux inclinaisons mutuelles de droites imaginaires.

Provisoirement, lorsqu'on en aura besoin, on pourra recourir au coefficient angulaire

de la droite C d'un faisceau, soit pour arriver à l'interprétation des résultats de calculs achevés, soit même pour disposer un calcul conformément aux conditions imposées par la .question.

Si l'on voulait mettre le coefficient angulaire (?/? -|- n y^ 1 ) d'un faisceau de droites, rapporté à des axes rectangulaires, sous la forme

tang(!p -{- Is' — 1 ), l'analyse algébrique ferait aisément connaître © et '^. D'un autre côté, si l'on faisait ensuite tourner les axes d'un angle (jl, le coefficient angulaire du faisceau deviendrait évidemment

tang((p — fx-|--J/v — l) ;

d'où l'on voit que <p n'est autre chose que l'angle que fait avec l'axe des X le grand axe de l'ellipse évanouissante qui correspond au faisceau,

tandis que la valeur absolue de tang -^ y/ — 1 est le rapport du petit au grand axe de cette ellipse. Car si Ton supposait p =9, le coefficient angulaire du faisceau se réduisant à tang {<\i \—i), le faisceau serait bien rapporté au grand axe de l'ellipse évanouissante correspondante, pris pour axe des x. Mais la transformation ne présenterait maintenant aucun intérêt, parce qu'elle ne pourrait pas encore recevoir d'interprétation nette.

(58. L'expression analytique de la distance de deux points recevra un sens défini de la discussion du heu représenté par l'équation du cercle imaginaire

. (^^-a-a's-lf-\-(y-à-b'^/—^y = (r-]-r\-lf;

mais les questions oti entreraient des distances, soit comme données, soit comme inconnues, devront être provisoirement écartées, comme celles où entreraient des grandeurs angulaires.

69. Nous pouvons toutefois remarquer que les demi-sommes des coordonnées Je deux points, de même caractéristique, représentent, dans le même système, le milieu de la droite qui joint ces deux points.

Cette remarque suffira pour étendre aux courbes imaginaires les deux théories des centres et des diamètres.

Du plan.