L'équation
(M | N ^fZr\) j- + (P + 0 v"^) .y + (r + s sT^i) z -I- H = 0,
contenant six paramètres arbitraires, suffira à la représentation du plan dans toutes les circonstances possibles, puisqu'un plan représenté par cette équation pourra toujours être assujetti à passer par trois points donnés à volonté, géométriquement et analytiquement.
De la ligne droite dans l espace.
72. Nous avons déjà dit que deux équations à trois variables, à coetlicients réels ou imaginaires, prises au hasard, ne fourniraient généralement qu'un nombre limité de solutions appartenant à un même système [C, C']. Pour que le contraire arrivât, il faudrait que les quatre équations dans lesquelles se décomposeraient les proposées, lorsqu'on y supposerait les variables imaginaires et telles que les rapports deux à deux de leurs parties imaginaires fussent des nombres donnés C et C, se réduisissent à trois ; et dans ce cas, en général, C et C dépendraient l'un de l'autre.
On pouriait rechercher, d'après ces indications, les conditions auxquelles devraient satisfaire les équations de deux onglets
(m + N V - l ■ .r 4- i P -h Q V — I ) // -f ( R -f S \ — l'; -- + II = 0
,M'+N'V -l)x-{-lP'-f U's — Dy-f (R'-f S'v— I)z4-H' = 0
de plans imaginaires, pour que leur intersection totale se composât de séries de points de mêmes caractéristiques ou de lignes droites, ce qui conduirait aux équations de la droite, considérée dans l'espace.
Mais l'intersection totale de deux lieux n'élant en rien changée lorsqu'on substitue au système de leurs équations tout autre système équivalent, nous pourrons supposer que des équations proposées, en éliminant entre elles successivement y et x, on ait tiré deux équations telles que
ij—[m'^n\—\ :. ---//— y' s -- I :
les conditions cherchées, alors, s'obtiendront en éliminant a, a', a" entre
et exprimant que l'équation résultante en |i" est identiquement satisfaite.
Or l'élimination de a" entre les deux dernières donne
' ( g" ~ (T ~~ "'" "^ ""/ ~ ^'* — ^'^ i les conditions cherchées sont donc
, , r. on
an — qn :=. 0 ou -^ = -y q n
et
La première doit être remplie par les coefficients des équations des deux plans, et la seconde lie entre elles les caractéristiques d'une des droites d'intersection. . ■ ,
75. Gela posé, il est facile de revenir du cas particulier qu'on vient d'examiner, au cas général : il suffira pour cela d'interpréter la condition obtenue.
q n Or on voit immédiatement qu'en supposant ■Ît= -, dans les équations
X = \m -f- n \ — l) - + /> + ^ V — 1 et
y = {m -{- n' V — l) s + ;/ + q'sj — \,
on pourrait tirer de leur système, en les retranchant membre à membre, une équation à coefficients réels.
La condition est donc que l'intersection totale des deux lieux soit contenue dans un plan réel : cette condition, dans le cas général, s'exprimera par
et en désignant par K la valeur commune de ces rapports, si la condition est remplie, la relation entre les caractéristiques d'une des lignes formant l'intersection totale sera
