M KM' P-KP

puisque l'équation du plan réel contenant cette intersection totale sera (M — KM) * + (P — KP) ?/ + (R — KR') z -}- H — KH' = 0.

DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN. oà

7/i. Il est important de remarquer que dans le cas qui vient de nous occuper, l'intersection totale des deux plans n'est autre qu'un faisceau plan de droites, tel qu'il se trouvait défini par la discussion de l'équation du premier degré à deux variables.

En effet, en prenant pour plan des xy\e plan réel qui contient l'intersection totale, on ramènerait nécessairement le système des équations des deux plans au système

75. Les équations générales de la droite dans l'espace seront, d'après ce qu'on vient de voir,

X = [m -f- 'î \ — 1 ■' - ~h P "h ^ V — ^ et

et les caractéristiques d'une des droites représentées par ce système d'équations seront liées entre elles par la relation

— r = otK. -^ m .

76. Les équations de la droite, dans un système donné [C, G], ne contiendront donc effectivement que six constantes arbitraires ?», n, p, q, m et />', puisque G et G' étant donnés, K serait déterminé par la condition

Mais on aurait tort de croire qu'elles en dussent contenir huit, car la condition, pour la droite, de passer par un point

du système [G, G'], s'exprimera par trois conditions seulement au lieu de quatre, parce que les équations de la droite auront justement été préparées de telle manière que l'une des quatre équaiions rentre forcément dans le système des trois autres.

77. Les équations d'une droite assujettie à paisse i par un seul point

donné géométriquement et analytiquement seront

Mais si les coordonnées du point donné [x\ y, z'] sont

qui se réduit à

2 se traduira pa

^Tîfi" —

7la"

— ni

Ainsi les équations générales des droites passant par un point [x', y', z'\, de caractéristiques G et C, sont

X — X = [m -f- n y/ — l) (- — ^') et

y — y' = (m' ^ n' yj — i) {z — z),

avec la condition

1 — m C nC

78. Les équations de la droite assujettie à passer par deux points [x, y', z'], [x", y", z"] de mêmes caractéristiques C et C' seraient, dans le même système [G, G'],

Dans ces deux dernières les conditions

et

^ = — q' ri

n n , , -, = mn — nm

seront satisfaites d'elles-mêmes, par cela seul que les deux équations admettront deux solutions d'un même système.

79. Si l'on voulait que l'un des plans représentés par l'équation

contînt l'une des droites représentées par

X =i {m-\- n ^ — l) z -\- p -\- q \ — 1 et

= (m'+nKv — 1) z+p'^qK\ — 1.

bien que le - d'un point de cette droite ne fût pas complètement arbitraire, puisque ses parties a" et [i'' devraient être assujetties à l'une des relations

^ = mr + «a" -f q

et

sL. = n,y-\-nKoL"-\-qK

du n° 72, relations qui rentrent l'une dans l'autre dès qu'on suppose, comme on doit le faire,

il n'en faudrait pas moins toujours exprimer que l'équation en:: résultant de l'élimination de x et de y est satisfaite d'elle-même, ce qui exigerait* toujours les deux conditions

(M-hXv^ (m-\-n\/^) + (.M'-f N V^) (m'-|-nKv/^)-t- 1 =0

et

(M+Nv^)(/. + Vv3ij + (M'+NV^(//+îKv^)-hP+Qv'^=0.

analogues à celles qui expriment qu'une droite réelle est contenue dans un plan réel.

Mais si l'un des plans représentés par

(m + N v/^)x 4- (M'+N'v^)y + .' + P + 0\/^ = 0 contient l'une des droites

X = [m -\- n V— ijz -{- jj -f- g V — '»

comme toute solution quelconque du système des deux dernières équations formera solution de la première, le faisceau entier des droites sera compris dans le système des plans, chaque droite d^ faisceau étant contenue dans l'un des plans.