Les solutions imaginaires communes à deux équations

à coefficients réels, sont deux à deux conjuguées; un couple de ces solutions peut donc être représenté par

x= '/ itS \ — 1,

Ces deux solutions ont même caractéristique -—^ = C, les deux points

correspondants

appartiennent donc aux conjuguées de caractéristique G des deux lieux proposés, la droite qui les joint d'ailleurs a pour coefficient angulaire G ; ces points sont donc les extrémités d'une corde réelle commune aux deux conjuguées; enfin le point milieu jc = a. y = a' de cette corde commune est commun aux diamètres correspondant aux cordes réelles de ces mêmes conjuguées. Ainsi les solutions imaginaires communes aux équations à coefficients réels de deux lieux fournissent, par couples, les points de rencontre des conjuguées, de même caractéristique, qui, en Tun des points de rencontre de leurs diamètres respectifs, correspondant à leurs cordes réelles, ont même ordonnée à partir de ces diamètres, les ordonnées étant prises parallèlement à la direction commune des cordes réelles.

82. Les solutions communes à deux équations à coefficients imaginaires

P + Q N - ' = o> R-fSs —I =0

auraient leurs conjuguées dans les solutions communes à

P Q y/ i = 0, Il — S V ^ = 0.

Elles fournissent la moitié des solutions communes aux équations à coefficients réels

et par conséquent l'énoncé précédent, convenablement modifié, s'y applique aisément. '*

Cet énoncé même montre pourquoi le nombre des solutions communes à deux équations reste fini, tandis que le nombre des points de rencontre deux à deux des conjuguées des deux lieux est infiniment grand.

85. Si des lieux plans on passe aux surfaces, on verra de même que toute solution commune à deux équations

à coefficients r^els, ne peut fournir qu'un point tel que la droite menée de ce point parallèlement aux cordes réelles des conjuguées de mêmes caractéristiques qui le contiendraient, aille rencontrer l'intersection commune des surfaces diamétrales correspondant à l^urs cordes réelle^^.

Or si par un point choisi à volonté de l'intersection des surfaces diamétrales correspondant aux cordes réelles de deux conjuguées de mêmes caractéristiques, on mène une parallèle à la direction commune de ces cordes réelles, en général les points de rencontre de cette parallèle avec les deux conjuguées seront différents.

Il en résulte que l'intersection totale des deux lieux

ne doit en général comprendre qu'un nombre limité de points appartenant à un même système [G, G'], mais qu'en général aussi, quels que soient G et G', on devra trouver sur l'intersection totale quelques points appartenant aii système [G, G'J.

L'ensemble des solutions communes aux équations de deux lieux à trois dimensions, devait donc fournir une surface, puisque chaque solution était déterminée par le choix de deux constantes complètement arbitraires G et G'.