Une droite réelle
^ = G^- + cl
INTERSECTIONS SIMPLES. o'J
ne peut couper que la>conjuguée G d'une courbe
fix,y)=i}.
mais elle la peut couper en un nombre de points qui atteigne le degré de l'équation de cette courbe.
D'un autre côté une droite non parallèle aux cordes réelles d'une conjuguée G ne peut la couper qu'à la condition d'être représentée imaginairement.
Mais si cette droite dont l'équation en coordonnées réelles serait y^ux-\-b, est représentée en coordonnées imaginaires par une équation du premier degré
comme les coefficients m, n, p^ q ne seront encore assujettis qu'à deux conditions exprimées par
/Il — n — Li
on pourra l'assujettir à rencontrer effectivement la conjuguée G du lieu
en deux points, puisqu'il restera dans son équation deux constantes arbitraires.
80. Inversement, sans se donner géométriquement la droite à représenter, on peut se proposer de déterminer la forme de son équation sous la condition que le système de cette équation et de celle du lieu ait deux solutions appartenant au système G.
Cette condition s'exprimera par deux relations entre m, n. p ei y et il restera encore, dans l'équation, deux constantes arbitraires dont on pourra disposer pour fixer la position géométrique de la droite.
On conçoit sans peine l'utilité de la recherche théorique de l'équation générale des droites capables de couper la conjuguée G d'un lieu f{x, y) := 0 en deux points effectifs, puisque, à défaut de méthodes directes, ce serait dans cette équation générale qu'on trouverait, en particularisant davantage, l'équation des cordes de cette conjuguée parallèles à une direction donnée, l'équation générale de ses tangentes, les équations de ses asymptotes, etc.
La solution tie cette question serait du reste toujours très-simple, au moins en principe, puisqu'il ne s'agirait que d'exprimer que deux des solutions communes aux équations
y ==(«-}-«' si— I ) X-\-h -{- 1/ \' — I , f{x,jj) = i)
appartiennent au système G.
En supposant le degré de f{x, y) égal à. m et en admettant qu'on eût pu résoudre le système des deux équations, on pourrait combiner deux
à deux les m solutions trouvées de — ^^ '- manières différentes, et
par conséquent en cherchant à exprimer que deux solutions, prises au hasard, dussent appartenir simultanément au système G, on Irouve-
. m (m — 1) rait lormes de l'équation cherchée.
Mais en fait celte question ne présente qu'un intérêt purement théorique, car on n'aura jamais besoin de la résoudre effectivement. Nous nous bornerons en' conséquence à la traiter sur les exemples les plus simples.
86. Supposons d'abord qu'il s'agisse de l'ellipse : pour obtenir l'équation générale des droites capables de couper l'une de ses conjuguées en deux points, nous pourrons imaginer que la courbe réelle ait été rapportée au système des deux diamètres conjugués qu'elle a en commun avec cette conjuguée, de manière, par exemple, que ce soit Taxe des x qui soit le diamètre transverse de la conjuguée ; l'équation cherchée étant obtenue dans ce système, il ne s'agira plus que de ramener les axes des coordonnées à coïncider par exemple avec les axes principaux de la courbe réelle.
Soit
a'\if -j- Px- = d^U-
l'équation de l'ellipse rapportée au système choisi de diamètres conjugués : pour que les solutions communes à cette équation et à l'équation
y = [m -f- 11 \/— l) xA^]-)^-q\i — \.
/ournissent deux points de la conjuguée désignée, dont les abscisses sont devenues réelles, et dont les ordonnées sont imaginaires sans parties réelles, il faudra que l'équation
ait ses deux racines réelles, et que ces racines substituées dans
donnent pour y des valeurs débarrassées de parties réelles.
Ces valeurs de x devront satisfaire à la condition
mx -|- ^ =r 0 ;
mais celle-ci ne peut être satisfaite par deux valeurs différentes de x à moins que m et p ne soient nuls.
L'équation générale des droites qui peuvent couper la conjuguée à abscisses réelles de l'ellipse
est donc
y — n\—\x^qS—^-
Au reste les hypothèses m=^<) et ;:» = 0 réduisent l'équation propre à donner les valeurs de a- à
{Ir — n-LÎ-) x^ — 2nga-x — a'^b'*- — a Y = 0, qui donne
nqo'- =t a'b' y' b'^ — n-o'^ -\- q* ^"" b-- - n'a'
Ces valeurs ne sont réelles qu'autant que
b'- — ii-a'- -{- ç* >> 0.
87. Pour interpréter cette condition il suffit de remarquer que la droite C = cc du faisceau
qui est celle qui contient les points de rencontre, aurait pour équation en coordonnées réelles
y = )ix -}- g.
11 en résulte que la condition
//* n'a" -h ^' = 0 ou
est celle qui exprimerait que cette droite est tangente à l'hyperbole conjuguée dont il s'est agi dans la question.
88. Si l'on voulait maintenant avoir l'équation générale des droites qui couperaient en deux points la conjuguée G de l'ellipse
rapportée à ses axes, il n'y aurait qu'à faire la transformation de coordonnées.
Les formules seraient
X sin a' — y cos a' sin (a — a) ' y cos a — a: sin a
sin (a — a)
a' et a désignant les angles des diamètres a', h' avec l'axe a; la substitution dans
donnerait
n V — 1 sin a' -j- sin a , r/ \/ — 1 sin (a — a)
n V — 1 cos a -|- cos a w y — 1 cos a' -|- cos o Sachant d'ailleurs, que
tang a = C et
tang a = ^
il ne resterait plus qu'à substituer dans cette dernière
sin a = - , sm a
cos a = - , cos a
ce qui la réduirait à
ns!— 1 C y/ Q^C + A^ + ^>^>1 4- C^
n v — 1 \' rt*r/ + é' — «T. V 1 + Û'
Telle est l'équation générale des droites qui peuvent couper en deux points la conjuguée C de l'ellipse a^y^ -\- b^x^ ^=.o^b^.
On trouverait de même, pour l'équation générale des droites qui peuvent couper en deux points la conjuguée C de l'hyperbole
n \i — \ C \ aHV' -j- 6* — b^ \'. 1 + C^
— qsj — i
y/ — 1 V fl*C^ + // — a^Q. \J l -\- C-
89. L'équation générale des droites qui peuvent couper en deux points la conjuguée C de la parabole y-=2px, serait plus simple : on l'obtiendrait aussi en faisant subir à l'équation générale
de ces droites rapportées au diamètre commun et à la tangente commune aux deux paraboles, la transformation correspondant au retour aux anciens axes.
Les formules seraient alors
X = j- — y cotang a — — ^— , ,
2 lang- a
el
sina' lang a" où l'angle a' serait déterminé par la condition
tangage, ce qui les réduirait à
.v = fs<+c.-f
substitution donnerait
nCs -\ , ffi\—i
