IL

fj /? \ — 1

90. Les calculs, dans ce qui précède, ont pu être abrégés parce que l'on savait que la conjuguée rapportée aux axes choisis devait avoir ses ordonnées imaginaires sans parties réelles : s'il s'agissait par exemple de trouver l'équation générale des droites capables de couper en deux points la conjuguée à abscisses réelles du lieu

-h2(e+ev/-4)-z^-hl=0, on pourrait observer que la substitution à y de

dans cette équation, donnant en x une équation de la forme

(p + p' y/Z~[) ^.2 + (q -f Q' s[Zr\) X + H + R' v'^ = 0,

les racines de cette équation, supposées réelles, devraient satisfaire aux deux équations

P^-^ + Qar + R = 0, et

PV^ -i- Q'^ -f R' = 0,

ce qui exigerait que ces deux dernières fussent identiques, de sorte que les deux conditions cherchées entre m, n, p et q seraient exprimées par

91. Plus généralement, si l'on voulait obtenir l'équation générale des droites capables de couper la conjuguée C=oo d'un lieu quelconque f{x, y) = 0, il faudrait exprimer que l'équation

f[x, (m-^ nsfZri) ^. J^p J^ r^sj^ri] = 0

eût deux racines réelles; or ces racines, en supposant l'équation développée et mise sous la forme

devraient satisfaire aux équations

On obtiendrait donc les deux conditions cherchées entre m, n, p etg en exprimant que P et Q aient un diviseur commun du second degré.

92. Les équations générales de la droite capable de couper en deux points une conjuguée [G, C] d'une surface

s'obtiendraient par une méthode identique à celle qu'on a employée dans les numéros précédents.

Les équations de cette droite, d'après ce qu'on a vu au n° 72, devraient être prises dans le type

X =^\m -\- n v' — \) z -\- p -\- q \ — 1 , y =[m'^nK\n^\) z +p' ^ q^s"^^, les constantes devant d'ailleurs être assujetties à la condition

Si l'on avait préalablement rendu réelles les coordonnées ar et y de la conjuguée considérée, en dirigeant convenablement l'axe des z, C et C seraient infinis, la condition précédente se réduirait par conséquent à

mK = m',

et par suite les équations de la droite devraient être prises dans le type

j: = (m -{- n s - i) z ^ jj -\- q ^ 1 y = (m -f- n s/'^^ï) Kz-\-p'-{- qK V"^» ou mieux

.i: = {m -)- n V — i) - + /J + ^ V — 1 Kx — y = pK — p.

Cela posé, il faudrait exprimer que deux des solutions communes à ces équations et à l'équation f{x, y, r)=0 eussent leurs x et ^ réels. Mais l'équation

Kx— y =pK — p',

obligeant d'elle-même y à être réel dès que x le serait, il suffirait en définitive d'exprimer que l'équation en x résultant de l'élimination de y et s entre les trois équations, c'est-à-dire

eût deux de ses racines réelles ; conditions qu'on obtiendra, comme au numéro 91, en exprimant que les équations

dans lesquelles se décomposerait la précédente, dès qu'on supposerait x réel, eussent deux solutions communes.

Les deux conditions ainsi obtenues réduiraient à quatre le nombre des constantes contenues dans les équations de la droite, c'est-à-dire que cette droite pourrait, comme cela devait être, occuper toutes les positions imaginables.

Des modes de génération comparés de la courbe réelle et de ses conjuguées.

93. On verra dans le troisième volume de cet ouvrage comment en cherchant à découvrir, dans l'équation d'une courbe, les modes de génération dont elle serait susceptible, j'avais été conduit à remarquer que ses conjuguées pourraient être engendrées par le point de rencontre

des mêmes courbes mobiles, mais groupées difléremment, dont les intersections successives fournissaient la courbe réelle elle-même.

L'espèce d'assimilation que j'avais établie par ce moyen entre la courbe réelle et l'une de ses conjuguées, outre qu'elle est peu naturelle, ne pouvait s'obtenir que dans des cas particuliers, et j'ai bientôt renoncé à poursuivre mes recherches dans la voie où je m'étais primitivement engagé.

Si l'on voulait comparer entre eux les modes de génération qui pourraient convenir à nne courbe réelle quelconque, d'une part, et à toutes ses conjuguées, de l'autre, on y arriverait bien plus naturellement et avec des ressources bien autrement fécondes au moyen de cette simple remarque que si la courbe réelle

F {x, y) = 0 est le lieu des intersections des deux courbes mobiles

/' {x, y, a) = 0, fi{x,y,a) = 0,

où le paramètre a prendrait toutes les valeurs réelles de — x à -j-^ , chaque conjuguée G de cette même courbe réelle pourra être considérée comme le lieu des intersections des conjuguées G des lieux représentés par les deux équations

f {^'^ y,p + fi V— 0 = 0,

oh p ei q seraient assujettis à la condition que l'un au moins des points de rencontre appartînt au système G.

Il résulte en eflet de là qu'à chaque mode de génération de la courbe réelle il en correspond un entièrement analogue pour chacune de ses conjuguées.

Ces considérations ne me paraissent plus offrir qu'un intérêt relativement médiocre, aussi ne m'y arrêterai-je que fort peu, mais il m'a paru utile de mentionner au moins la méthode.

J'en ferai seulement l'application à l'ellipse et à ses conjuguées pour un seul mode de génération.

L'ellipse

ay -}- b'x^ = o}^

est le lieu des points de rencontre des droites

y z=i m ix -\- ci) et V = T- {x— a\\

si l'on veut déduire de là un mode de génération de la conjuguée G= x de cette ellipse, on remplacera la constante arbitraire réelle m par une

constante imaginaire m -\- n^ — 1 et on liera m à n par la condition que le point de rencontre des deux faisceaux

y = (w4-nv— l) (x-^a),

a*(w-J-wV— l)

ait son abscisse réelle.

L'élimination de y donne

b^ — a-m^ -f- arn- — Imna- sJ — i X = a : ,

b^ -\- a^m} — aV -f- 2mna- \ — 1

en sorte que la condition serait

b^ — a^m^ -\- a-n* mn

b^ -\- a^m^ — a-n- mn '

elle se réduit en apparence à

fflYl

si l'on remplace — — par — 1 ; mais cette impossibilité montre mn

mn 0 ;

que doit être -•> c est-à-dire que l'une des parties m ou n v — 1 de

mn 0

la constante doit disparaître.

En faisant évanouir n on retrouverait naturellement l'ellipse ellemême, il faudra donc pour obtenir sa conjuguée faire au contraire disparaître m.

Ainsi la conjuguée C =x de l'ellipse

aY + **-i' = û*ô' est le lieu des intersections des droites C = oo des deux faisceaux

y = n V— 1 {x + a) et

yz= = {X — a).

Or ces droites sont représentées en coordonnées réelles par

y = n{x-^a) et

On connaît donc ainsi les deux génératrices réelles de Thyperbole éy^ — è V = — û'é2.

De l'extension qu'on peut donner à la définition d'un lieu pour y comprendre celles de ses conjuguées, et de la construction graphique de l'une des conjuguées au moyen de la définition de la courbe réelle.

94. L'importante question indiquée dans ce titre est indéfinie de sa nature, elle se reproduira sous une infinité de formes, selon que la définition de la courbe réelle se rapportera à sa génération par points, ou qu'elle contiendra renonciation d'une propriété de ses tangentes ou de ses normales, de son cercle osculateur, etc.

Nous aurons donc à y revenir dans le chapitre où nous traiterons des tangentes aux courbes imaginaires.

Nous ne nous occuperons ici que du cas où la courbe réelle serait définie par la construction propre à en fournir un point quelconque. La question proposée ne comporte évidemment pas de solution générale ; nous nous bornerons donc à l'examen d'un cas simple, présentant de l'intérêt.

93. La cissoïde de Diodes se tire du cercle, comme on le sait, en menant d'un point A de la circonférence une transversale quelconque APN et portant sur cette transversale, à partir du point A, une longueur AM égale à la portion de cette même transversale comprise entre le second point P où elle coupe la circonférence, et le point N où elle coupe la tangente à cette circonférence menée par la seconde extrémité du diamètre passant en A. Le sens de AM doit d'ailleurs être le même que celui de PN.

Pour généraliser cet énoncé il suffira de le transformer de la manière suivante :

Que l'on imagine par le point A, pris pour origine des coordonnées,

Fig. 1.

une droite quelconque

c'est-à-dire un faisceau de droites ; que l'on détermine d'une part les coordonnées du second point de rencontre de ce faisceau avec le cercle ou avec l'une des hyperboles ses conjuguées, et de l'autre les coordonnées du point de rencontre du même faisceau avec la tangente TT' représentée par l'équation

enfin que l'on forme Jes différences des coordonnées des deux points obtenus (en retranchant les coordonnées du point du cercle des coordonnées du point de la tangente) : le point qui aurait pour coordonnées les différences obtenues sera un point du lieu cherché.

Les coordonnées de ce point, en raison même de l'identité de marche suivie dans le calcul, satisferont à l'équation de la cissoïde,

ce sera donc un point de cette cissoïde ou de l'une de ses conjuguées. Cela posé, le second point de rencontre du faisceau

avec le cercle

a pour coordonnées

y =i {m-\-n \/ — 1 ) X y^ = :2Rj? — x- 2R

le point de rencontre du même faisceau avec la droite

x = 2R a pour coordonnées

les différences des coordonnées des deux points, ou les coordonnées du point du lieu, sont donc

(m-fnv— l)'-f 1/ " {m-\-ny/—^y-\-i'

la partie imaginaire de x est

Si l'on veut que le point obtenu appartienne à la conjuguée à abscisses réelles de la cissoïde, c'est-à-dire à la courbe représentée en coordonnées réelles par l'équation

il faudra faire nulle l'une des parties m ou n ; en supposant n = 0 on trouverait la cissoïde elle-même, pour avoir sa conjuguée G =x il faudra donc faire m =: 0.

Mais si?M=0 le point de rencontre du faisceau avec le cercle appartiendra à la conjuguée à abscisses réelles de ce cercle, car l'abscisse de ce point de rencontre se réduira alors à

c'est-à-dire sera réelle ; l'abscisse 2R du point de rencontre du même faisceau avec la droite

étant aussi réelle, les deux points de rencontre du faisceau avec le cercle et avec sa tangente appartiendront à la même droite G =oo du faisceau ; enfin le point du lieu ayant encore son abscisse réelle, se trouvera aussi sur la même droite G = oo du faisceau.

On voit donc que la conjuguée G =00 delà cissoïde se tire de la conjuguée G=x du cercle exactement de la même manière que la cissoïde elle-même se tire du cercle.

Pour construire cette conjuguée G = ao de la cissoïde, il faudrait, sur chaque transversale APNPj, issue du point A, porter, à partir de ce point, une distance AM^ égale à la distance NPj, comprise sur la même transversale entre la tangente TAï' et l'hyperbole équilatère conjuguée du cercle, en ayant soin de donner à AMj le sens P^N.

On pourrait sans doute étendre la même étude aux autres conjuguées de la cissoïde, mais les résultats seraient alors moins intéressants parce que chaque point du lieu proviendrait des points de rencontre de deux droites différentes du faisceau

= (m -f- wy — V X

avec le cercle et avec sa tangente, et que du reste non-seulement la caractéristique du point du lieu différerait de la caractéristique du point du cercle dont il proviendrait, mais que les points d'une même conju-

guée de la cissoïde ne seraient plus fournis par les points d'une même conjuguée du cercle.

Discussion de quelques problèmes de géométrie élémentaire.

96. La discussion complète des problèmes relatifs au cercle est généralement impossible par les éléments parce que l'une des hyperboles équilatères conjuguées du cercle vient toujours jouer un rôle plus ou moins important dans la question, le problème posé relativement au cercle l'étant en même temps par rapport à toutes ses conjuguées, si l'on en entend l'énoncé aussi largement que possible, et au moins par rapport à une conjuguée convenablement choisie tant que les données restent réelles.

Nous citerons ici quelques exemples choisis parmi ceux où il n'y ait à considérer que des intersections de droites et de cercles : on en trouvera d'autres dans le chapitre des tangentes, mais la goniométrie imaginaire en présentera de plus importants, dont l'étude méthodique est devenue indispensable aux théories des fonctions circulaires et des fonctions exponentielles.

97. Soit proposé d'inscrire dans une sphère un cylindre de volume donné :

En désignant par x le rayon de ^

base du cylindre et par y la moitié v\

de sa hauteur, les équations du pro- nN^/

blême seront

^■KX'y = V = irf ;

éliminant x entre ces équations^, on trouve :

L'expression du volume change de

signe avec y parce qu'en réalité, ^^' "

dans la mise en équation, on n'a évalué que la moitié du cylindre, soit la

partie ABEF, soit la partie CDKF. C'est le double de cette moitié qu'on

a égalé à m^ ; nous pourrons donc borner la discussion aux variations

de ?/ de 0 à -f- 00 •

Tant que y est moindre que R; le volume du cylindre est positif, le cylindre est alors réellement inscrit dans la sphère.

Mais dès que y surpasse R, le volume du cylindre devient négatif, il reste réel quoique le cylindre lui-même devienne complètement imaginaire.

L'explication de ce fait est très-simple. L'équation

exprime que j? et y sont les coordonnées d'un point du cercle générateur de la sphère, rapporté aux axes Ox et Oy : si y est plus grand que B, X est imaginaire sans partie réelle, le point [x^y] appartient à l'hyperbole équilatère A^MEj, par conséquent l'expression en discussion estcelledu volume d'un cylindre inscrit dans l'hyperboloïde engendré par la révolution de l'hyperbole AiMBj autour de l'axe des y. Ce cylindre est en continuité concrète avec le cylindre inscrit dans la sphère, comme l'expression de son volume est en continuité analytique avec l'expression du volume du cylindre inscrit dans la sphère.

98. Les mêmes remarques s'appUqueraient au cône inscrit dans la sphère.

99. Voici une question encore plus simple et où cependant la discussion des résultats obtenus est encore plus impossible par les éléments.

Supposons que d'un point A pris à volonté dans le plan d'un cercle 0, de rayon R, on mène à ce cercle une sécante variable qui le rencontre en M et N : on pourra demander le maximum et le minimum de la somme des produits des distances AM et AN par des nombres donnés m et n.

Soient d la distance du point A au centre 0 du cercle, et x' l'une des longueurs AM ou AN, que nous prendrons pour variable indépendante, l'autre x'\ si l'on suppose le point A pris hors du cercle, sera donnée par l'équation

en sorte que la fonction dont on demandait le maximum et le minimum sera

mx -kw ; — .

Pour lui faire prendre la valeur S il faudrait donner à x' la valeur

le minimum de la somme cherchée serait donc

2\/mn(d^—ii^), tandis que le maximum serait

— ^s/mnid^ — R^),

Mais si iron fait application de cette formule, on reconnaît que ni ce minimum ni ce maximum ne se rapportent toujours à la question proposée.

En effet, soient

R = l'", f/ = 2^ n=9, m =0,0001, les valeurs limites de la fonction, fournies par l'équation

S^ = 4mn((f-— R-), seraient

— 2X0,01 XV3X 3 et + 2x0,01 Xv3X 3 ou

— 0^^,06 X v'3 et + O^Oe X ^3,

S et les valeurs correspondantes de la variable x, réduite alors à -— ,

seraient

— SOO'-XvS et 4-300° XV 3.

Ainsi l'analyse prescrirait, comme moyen de solution, de décrire

du point A comme centre un cercle de rayon égal à 300° X V 3 et de joindre au point A les points de rencontre de ce cercle avec le cercle proposé !

Ces rencontres n'existant pas, il faut en conclure que les équations du problème en comprenaient un autre que le proposé.

Pour justifier cette conclusion, on remarquera d'abord que les deux variables x' et x" liées entre elles par l'équation

sont toujours réelles en même temps; qu'à la vérité, lorsque la somme S est comprise entre

— 2 \/mn {d- — R-) et +2 ymn (d- — R-) ,

x et par suite x" sont réels ; mais qu'il ne suffit pas que x' et xf' soient réels pour que ces quantités représentent les distances du point A aux points de rencontre d'une transversale issue de ce point avec la circonférence du cercle donné, la formule symbolique de la distance d'un point ■ ,

au point

c'est-.'i-dire la formule

pouvant représenter une quantité réelle dès que

x' et x" pouvaient donc rester réels bien au delà des limites en deçà desquelles le problème proposé serait encore possible et par conséquent on pouvait être induit en erreur en cherchant les limites de S dans les conditions de réalité de x' ou de x".

Quant aux résultats obtenus, on s'en rendra compte en remarquant que lorsque x' et x" sont réels, sans que le problème soit possible par rapport au cercle, ces variables représentent les distances figurées du point A aux points de rencontre d'un faisceau imaginaire issu du point A avec l'hyperbole conjuguée du cercle fixe qui a pour axe transverse la ligne OA.

En effet, si x = (x-\-^\/ — 1 et y = a -\- ^' \/ — 1 désignent les coordonnées d'un point du lieu

x'-^f = R\ a, f>, a' et ^' devront satisfaire à la condition

et si l'on tient compte de celle qu'on a trouvée plus haut

pour exprimer la réalité de la distance x' ou x" du point [x, y] au point A, il en résulte

^^ = 0, c'est-à-dire

condition qui exprime que le point [x, y] appartient à la conjuguée à abscisses réelles du cercle x^-{-y^=: R^.

Les deux points de cette hyperbole dont les distances figurées au point A seront x et x", appartiendront naturellement à url même

Fig. 3.

INTERSECirONS SIMPLES. 7 S

laisceau issu du point A; mais comme ils auront tous deux leurs abscisses réelles, ils appartiendront tous deux à la droite C = x de ce faisceau, dont l'équation sera dès lors nécessairement de la forme

Il est au reste facile de voir ce que sont effectivement les distances x' et x" correspondant à une transversale AMN : les abscisses des points M et N étant réelles et leurs ordonnées étant imaginaires sans parties réelles, l'expression de l'une des distances,

représentera le second côté de l'angle droit du triangle rectangle dont d — X serait l'hypoténuse et dont y serait l'autre côté.

Ainsi les longueurs que désigneraient x' et x" seraient AM, et AN,, d'où l'on voit à quel problème se rapportera effectivement la solution lorsqu'elle ne conviendra pas au cercle proposé.

Les deux circonférences AM,P, AN,Q ayant pour centre de similitude le point A et les distances PM et QN étant dans le rapport de similitude, les trois points A, Mj, N, seront en ligne droite, comme les trois points A, M, N.

Sur un paradoxe de la géométrie des *sur faces.

100. Supposons, pour prendre un exemple simple, que nous fassions glisser un cercle parallèlement à lui-même de manière qu'il rencontre toujours en deux points un autre cercle fixe, de moindre rayon, do"nt le plan serait perpendiculaire au sien, le cercle mobile engendrera une surface définie dans tout l'intervalle compris entre les plans parallèles à celui du cercle mobile menés tangentiellement au cercle fixe ; mais, la génération de la surface n'étant plus définie en dehors de ces deux plans, il semblerait qu'elle dût être limitée par eux.

Cependant, si l'on soumet la question au calcul, on trouve que la surface engendrée s'étend indéfiniment et que le cercle mobile se transporte d'une manière aussi parfaitement régulière après avoir perdu ses guides que lorsque son mouvement était déterminé par eux.

Ainsi soient

les équations du cercle fixe, dans le plan des yz, et

y^-J^(x-df = K\ Z = h

celles du cercle mobile dans un plan parallèle à celui des xy, la condition de rencontre sera exprimée par

de sorte que l'équation de la surface, qui sera double, parce que le cercle mobile peut se présenter d'un côté et de l'autre du cercle fixe, sera

(x dz \/W—y^y — z^ = W— r\

Or, quelque valeur que l'on donne à z dans cette équation, l'équation résultante

représentera toujours deux cercles réels de rayon R.

Gela posé, on demande comment le cercle mobile est guidé dans son mouvement en dehors des plans

La réponse à cette question est extrêmement aisée à trouver : la condition de rencontre

n'exprime pas exclusivement que les deux circonférences se coupent effectivement, mais que si elles ne se coupent pas, une conjuguée de l'une coupe une conjuguée de l'autre.

Les points de rencontre auront nécessairement leur abscisse nulle, par conséquent réelle, puisque l'une des équations de la circonférence fixe est j? = 0 ; ce sera donc la conjuguée à abscisses réelles du cercle mobile qui rencontrera une conjuguée du cercle fixe, mais les ordonnées z des points de rencontre devront aussi être réelles, puisque l'une des équations de la courbe mobile est z=h; par conséquent ce sera la conjuguée à z réels de la circonférence fixe qui sera rencontrée par la conjuguée à abscisses réelles de la circonférence mobile.

Ainsi, à partir du moment où les deux circonférences deviennent tangentes et vont se quitter, les deux hyperboles équilatères symétriques par rapport aux axes, et conjuguées de ces circonférences, viennent se substituer à elles de telle sorte que le glissement de l'une d'elles entre les branches de l'autre continue de régler le mouvement du cercle mobile.

Il est clair que la même question pourrait être reproduite pour une surface quelconque, car on pourrait toujours définir cette surface comme engendrée par le mouvement d'une courbe mobile plane variable de grandeur en même temps que de position et assujettie à glisser entre les branches d'une autre courbe plane fixe, de manière que son plan restât parallèle à lui-même.

En donnant à la courbe fixe des dimensions aussi petites qu'on le voudrait on restreindrait à volonté les limites entre lesquelles le mouvement de la courbe mobile pourrait être réglé par les conditions mêmes de l'énoncé.

LMERSECIIU-NS SIMPLES. 77

La solution de la difficulté du reste serait toujours identique à celle que nous avons donnée dans le cas précédent, et les conjuguées des deux courbes planes qui se substitueraient à elles, après qu'elles auraient cessé de se couper, seraient encore définies de la même manière.

En effet, si l'on prenait toujours le plan de la courbe fixe pour plan des zyQi un plan parallèle à celui de la courbe mobile pour plan deso:^, d'une part, l'une des équations de la courbe fixe étant

les points de rencontre ne pourraient se trouver que sur la conjuguée à abscisses réelles de la courbe mobile, et de l'autre, l'une des équations de la courbe mobile étant

les points de rencontre ne pourraient se trouver que sur la conjuguée à 2 réels de la courbe fixe.

Ainsi le mouvement de la courbe mobile serait toujours réglé d'après les mêmes conditions.

Quoique la question qu'on vient d'examiner soit toute particulière, en ce que l'on a supposé planes la directrice et la génératrice de la surface, il est bien clair que les mêmes principes s'appliqueraient d'une manière analogue dans tous les autres cas. Mais il est inutile d'insister.

101. Lorsqu'une courbe réelle a un centre, ce point est centre commun de toutes ses conjuguées : en effet, si on l'a pris pour origine, les solutions de l'équation de la courbe seront deux à deux égales et de signes contraires, c'est-à-dire que si

est une solution de cette équation,

en sera une autre. Or ces deux solutions ont même caractéristique

ft' G= ~; les deux points correspondants

et

appartiennent donc à la même conjuguée G, et comme leurs coordonnées sont égales et de signes contraires, la corde qui les joint passe par l'origine et y est divisée en deux parties égales.

L'origine est donc le centre de la conjuguée G, c'est-à-dire d'une quelconque des conjuguées.

102. Réciproquement, si l'une des conjuguées d'une courbe réelle a un centre réel, ce point est aussi le centre de la courbe réelle et par suite de toutes les autres conjuguées.

Cela résulte évidemment de ce qu'on a vu au n° 21, que toute courbe réelle est une conjuguée de l'une de ses conjuguées.

105. Au reste les équations du centre d'une courbe algébrique dont l'équation aurait ses coefficients réels ne pourraient en aucun cas

-a'- fi'

donner de valeurs imaginaires pour les coordonnées de ce point ; en effet, si elles admettaient une solution

x= a -\- h V — l, y=a'+6'V— 1, elles admettraient aussi la solution conjuguée

X = a — h V — Ij »

et cette simultanéité est contraire à ce que l'on sait, qu'une courbe algébrique ne saurait avoir plus d'un centre.

A la vérité on pourrait bien objecter que la présence de deux centres imaginaires ne contredit pas le principe, puisque la courbe dans ce cas n'en aurait même pas un seul.

Je pense qu'on pourrait se contenter de répondre que si les équations du centre du lieu considéré comportaient, pour de certaines valeurs des coefficients, les deux solutions

X = a àz b \l — \ ,

on pourrait changer ces coefficients de manière à rendre réelles les deux solutions trouvées, ce qui ferait reparaître les deux centres.

Mais une preuve directe du fait nous enseignera quelque chose de plus.

Si, dans une équation

on remplace

£ par X ■\- a ■\- b y — 1 et

y par s/ -!-«'+ *'V— 1.

les solutions dont la caractéristique était G = — se transformeront en

d'autres dont la caractéristique restera la même. D'un autre côté, si en même temps on suppose les axes des coordonnées transportés parallèlement à eux-mêmes au point

les nêuvelles solutions, de caractéristique G, de l'équation transformée, rapportées au nouveau système d'axes, reproduiront tous les points de la conjuguée G du lieu, dan-; l'ancien système.

80 CHAPITRE Vil.

Mais sia -j- * V^ — ^ eta'-\-b' y — 1 formaient une solution des équations du centre, les solutions de l'équation transformée seraient deux à deux

égales et de signes contraires, et la conjuguée G = - du lieu proposé,

qui n'aurait pas changé, aurait pour centre le point a^j = a -|- b,y^= a'-\-b'. Mais, pour les mômes raisons, elle admettrait aussi pour centre le point x/ = a — b,y\ = a' — b', ce qui est impossible.

Ainsi il est impossible que les équations du centre d'un lieu algébrique à coefficients réels admettent une solution imaginaire.

104. Mais s'il s'agissait d'un lieu à coefficients imaginaires, il n'y aurait évidemment aucun empêchement à ce que les équations du centre fournissent une solution imaginaire

Dans ce cas, le point

b' serait le centre de la conjuguée G = - du lieu. Il n'y aurait d'ailleurs

aucune raison pour que le même point fût en même temps centre géométrique desautres conjuguées.

Par exemple, en général, parmi les conjuguées du lieu,

ia+a\/^)if-+2{lj+bW—i)xy+{c+cV^)x'i + 2{d+dW^)>j+2{e+e'\/^)x+ 1 =0,

il y en aura une pourvue de centre, tandis que les autres n'en auront pas.

Mais si les équations du centre de ce lieu,

(a -f a' y/Zrr) y + (b -\- b' ^^) X -\- d + d' ^''^ = 0 et

(b + b'sj'^l) y + (c+ c'sj'^l) x+e + e'V^T^ 0,

fournissaient pour x et y des valeurs réelles, ce qui exigerait que les quatre équations

ay -}- bx -\- d := 0,

by -\- ex -\- e = 0,

b'y -f- ex -|- e' = 0,

se réduisissent à deux, dans ce cas, toutes les conjuguées du lieu auraient pour centre commun le point représenté par la solution obtenue.

lOS. Ce qui précède s'applique sans difficultés et sans modifications aux conjuguées des surfaces réelles ou imaginaires.

Diamètres et surfaces diamétrales.

106. La théorie des diamètres se fonde sans difiîcultés sur ces remarques : 1° que le point dont les coordonnées imaginaires sont les demi-sommes des coordonnées imaginaires de deux points quelconques, de même caractéristique, ou de caractéristiques différentes, est toujours le milieu de la corde qui joint ces deux points ; 2° que si les deux points extrêmes ont môme caractéristique, le troisième est représenté dans le même système ; 3° enfin que si les deux points extrêmes appartiennent à une même droite d'un faisceau

le troisième se trouve aussi sur cette droite.

Il résulte de là que si x^ et y^ désignent les demi-sommes des coordonnées de deux points communs au lieu

et à un faisceau

d'une part, la solution [x^^y^ réalisée fournira le point milieu de la droite qui joindrait ces deux points, tandis que d'un autre côté, si dans les deux équations

et

on remplace x par x -{- x^Qi y par y -{- y^, les coordonnées nouvelles des deux points considérés, égales alors et de signes contraires, devront nécessairement satisfaire aux équations

et

y = (m-\-n y'^^ x, c'est-à-dire que l'équation

f[x-\-x^, {m-\-nyf^x-\-y,\ =0 devra avoir deux racines égales et de signes contraires.

Si P et Q désignent, dans cette équation, l'ensemble des termes de degrés pairs et l'ensemble des termes de degrés impairs, la condition énoncée s'obtiendra en exprimant que les équations

P = 0 et Q = 0

ont une solution commune.

Or cette condition

tû(x\,y^,7n-{-n\/—\) = 0

ne différera de l'équation générale des diamètres de la courbe réelle représentée par l'équation,

f{x,y) = 0, qu'en ce que le coefficient angulaire des cordes sera remplacé par