CONSTRUCTION PAR POINTS DES CONJUGUÉES
extrêmes de ce secteur. Si l'on ne peut pas mener de tangentes à la courbe réelle parallèlement à une direction donnée, et que cependant les parallèles à cette direction la coupent en un nombre de points moindre que le degré de son équation, il existera une conjuguée ayant pour caractéristique le coefficient angulaire de la direction considérée, mais cette conjuguée ne touchera pas la courbe réelle.
Les courbes imaginaires représentées par une même équation, soit qu'elles touchent ou ne touchent pas la courbe réelle, peuvent avoir une seconde enveloppe, nécessairement imaginaire, qui sera déterminée plus tard.
Nous désignerons habituellement les droites parallèles à la direction î/= Ca; sous le nom de cordes réelles de la conjuguée C.
Extension de la méthode aux équations algébriques à coefficients imaginaires et aux équations transcendantes.
li>. Nous.supposions implicitement, dans ce qui précède, non-seulement que l'équation proposée eût ses coefficients réels, mais encore représentât un lieu réel. Ces restrictions doivent être abandonnées.
Pour nous une équation
à coefficients réels ou imaginaires, représente, par ses solutions de la forme
réalisées par
une infinité de courbes imaginaires, dont chacune est déterminée par la valeur de C. Les points de la courbe réelle, si elle existe, se trouvant répartis sur les conjuguées, le lieu complet pourrait même être regardé comme ne se composant en réalité que de ses conjuguées.
16. Si la courbe réelle fait défaut, elle sera généralement suppléée dans sa fonction de lien entre les conjuguées par une autre enveloppe imaginaire; mais les conjuguées, outre cette enveloppe imaginaire, ont encore, dans ce cas, une sorte d'enveloppe réelle composée des points dont les coordonnées réelles peuvent satisfaire à l'équation du lieu; car chacun d'entre eux pouvant être considéré comme ayant sa caractéristique indéterminée, c'est-à-dire comme appartenant à une conjuguée quelconque, toutes les conjuguées viendront en général s'y croiser.
17. Si l'on voulait obtenir en coordonnées réelles l'équation de la conjuguée G d'un lieu
4 6 CHAPITRE il.
il faudrait poser
et
substituer dans l'équation proposée, qui se décomposerait en deux /(«,|â,a')=0 et /;(a,^,«')=0,
poser ensuite
^1 = « + [^ et
enfin éliminer a, p et a' entre les quatre équations obtenues.
Si l'équation F, de degré m, avait ses coefficients réels, l'une des équations f et ^ serait de degré m et l'autre de degré m — 1, parce que p se serait trouvé facteur commun dans l'ensemble des termes imaginaires de
F(a + [iv'I^, a'-f-^Cv-T)==0;
les deux autres équations étant donc du premier degré, le lieu cherché, c'est-à-dire la conjuguée G, serait du degré m (m — 1).
Si l'équation F avait au contraire ses coefficients imaginaires, les conjuguées composant le lieu qu'elle représente seraient de degré m^.
On voit par là que les conjuguées d'un lieu étant généralement de degré bien supérieur à celui de l'équation de ce lieu, l'inconvénient, peu considérable d'ailleurs, comme on le verra par la suite, de la représentation sous forme imaginaire, sera largement compensé par l'avantage toujours si considérable que présente l'abaissement dans le degré des équations.
18. Au reste il faut bien remarquer que si, comme l'ensemble des théories de géométrie analytique a amené les géomètres à le faire, on doit regarder comme une courbe complète et distincte le lieu de tous les points réels représentés par une équation rationnelle à coefficients réels, il n'y a pas à craindre qu'une conjuguée d'un lieu
dont l'équation aurait ou non ses coefficients réels, ne soit composée que de quelques branches d'une courbe de degré supérieur, auquel cas le bénéfice de l'abaissement dans le degré de l'équation de cette courbe, parla représentation" sous forme imaginaire, serait compensé et au delà par la suppression effective de quelques branches de cette courbe. Les équations f et /", du numéro précédent étant algébriques et en-
CO.NSTRLGTIO-N PAR i'Ol.NTS DLS CONJUGUÉES. 17
tières, conduiront en effet, pour la conjuguée G, à une équation algébrique et entière, représentant par conséquent une courbe algébrique complète, contenant tous les points de caractéristique G du lieu Fi=0.
19. Toutefois les courbes définies comme conjuguées d'autres courbes subissent effectivement une réduciion que ne comporterait pas leur représentation en coordonnées réelles : la représentation sous forme imaginaire les débarrasse des branches parasites qui se présenteraient sous forme imaginaire dans leurs équations en coordonnées réelles. En effet, les cordes réelles d'une conjuguée d'un lieu de degré m ne coupent cette conjuguée qu'en m points au plus, quoique son degré soit m{m — 1) ou m^ suivant que l'équation du lieu a ses coefficients réels ou imaginaires et les rencontres omises seraient fournies sous forme imaginaire dans l'équation en coordonnées réelles de cette même conjuguée.
G'est du reste précisément à la suppression des branches parasites des courbes, dans leur représentation en coordonnées imaginaires, qu'est dû l'abaissement indirect de leur degré et par suite la diminution des difficultés analytiques que comporte leur étude.
20. Une équation transcendante représente, comme une équation algébrique, une infinité de lieux imaginaires, capables de la même classification en conjuguées caractérisées par le rapport constant des parties imaginaires des deux coordonnées.
Par exemple, si dans l'équation de la sinussoïde
y=smf-— xj=cosx== ,
on fait
y sera réel et les solutions obtenues appartiendront à la conjuguée C = 0 du lieu.
La substitution donne
puisque
Ainsi la conjuguée C = 0 du lieu comprendra d'abord la chaînette
reproduite une infinité de fois à des intervalles égaux à 2ir, parallèlement à l'axe des x.
iS CHAPITRE 11.
Si l'on fait x={'^k-\-i)T,-{-p\/ — i, y sera encore réel ; les solutions obtenues appartiendront donc encore à la conjuguée C = 0, la substitution donnant
puisque e^'^" ■''**'' ^ * = — 1, la conjuguée G = 0 du lieu comprendra donc encore la chaînette ,
également reproduite une infinité de fois à un intervalle constant, 27r compté parallèlement à l'axe des x.
Toutes les chaînettes de la première série touchent la courbe réelle en ses sommets situés au-dessus de l'axe des x, tandis que celles de la seconde la touchent en ses sommets situés au-dessous du même axe.
La conjuguée G = x du lieu est évanouissante, parce que, quelque valeur réelle qu'on donne à x, y n'a jamais qu'une valeur réelle.
Les autres conjuguées du lieu seraient des courbes analogues à la chaînette, quant à leur forme, tournées les unes vers les y positifs, les autres vers les y négatifs et toujours tangentes à la sinussoïde, tant que leur caractéristique ne surpasserait pas 1 en valeur absolue.
Celles dont la caractéristique dépasserait les limites — 1 et -|"1 ^^^ seraient plus tangentes à la courbe réelle.
21. Nous terminerons ces considérations générales par la démonstration du théorème suivant :
Si une courbe est conjuguée d'une autre courbe, réciproquement celle-ci est conjuguée de celle-là, et les caractéristiques des deux courbes, considérées chacune comme conjuguée de l'autre, sont égaies.
La démonstration de ce théorème n'exige évidemment que celle de cet autre plus simple : la conjuguée à abscisses réelles d'une courbe a la première courbe pour conjuguée à abscisses réelles.
Soient y^ et y^ deux ordonnées d'une même courbe réelle f{x, y) = 0, qui deviennent égales pour une même valeur réelle de l'abscisse, et ensuite imaginaires; <p(a;) la demi-somme constamment réelle de ces deux ordonnées et 'i^{x) leur demi -différence qui doit devenir imaginaire, lorsque x dépasse certaines limites :
Ces deux ordonnées seront représentées par
y, = ç> (x) + ^ {x) et
ys = ? (^') — H«^)-
La conjuguée à abscisses réelles de la courbe proposée contiendra, entre autres, les deux branches représentées par les équations
