Si l'on prolonge l'un des diamètres

d'une courbe réelle

au delà des limites en deçà desquelles les cordes parallèles à la direction y=ax coupent effectivement cette courbe, le prolongement fournit naturellement le diamètre correspondant aux cordes parallèles à la même direction ^ = ax de la conjuguée 0=0 du lieu. Ce diamètre est réel dans toute son étendue parce que les extrémités des cordes de la conjuguée qu'il coupe en parties égales ayant leurs coordonnées conjuguées, c'est-à-dire telles que

X = a. zh f> V — 1,

les demi-sommes de ces coordonnées sont réelles.

La définition même des conjuguées d'une courbe réelle contenait au reste cette propriété.

Les conjuguées d'une courbe ne sont en effet que les courbes qui ont en commun avec elle un diamètre et dont les cordes, comptées à partir de ce diamètre, parallèlement à la direction correspondante, sont en continuité avec celles de la courbe réelle.

ilO. Si l'on voulait obtenir spécialement le diamètre lieu des milieux des cordes parallèles à une direction

y = ax

84 CHAPITRE Ml.

d'une conjuguée désignée G d'un lieu

il faudrait d'abord déterminer, conformément aux prescriptions du n° 92, l'équation générale des droites capables de couper cette conjuguée G en deux points.

Cette équation

où m, n, p et q seraient assujettis à deux conditions, étant obtenue, on achèverait de la particulariser en exprimant le parallélisme de la droite C du faisceau et de la direction y = «j-, au moyen de la condition

elle ne contiendrait plus alors qu'un paramètre arbitraire, et pourrait par conséquent recevoir par exemple la forme

pour chaque valeur de m, cette équation et f\x,y] = 0 auraient deux solutions communes appartenant au système C et auxquelles correspondraient deux points situés sur une même parallèle hy = ax.

Le milieu de la corde qui joindrait ces deux points devant appartenir d'une part au lieu

cp [x, y, m-\-'k (m) sj — l) == 0

et de l'autre au faisceau

y = [m-\-'k{m) \l — 1 ) a^ -|- fx (w) -j- V (m)y'— 1,

on obtiendrait le lieu de ces milieux, ou l'équation du diamètre cherché, en éliminant ?n entre ces deux dernières équations.

Il pourra arriver que l'une des deux conditions propres à exprimer que le faisceau

coupe la conjuguée G du lieu /[x, ?/] = 0 en deux poinls, ne contienne que m ein; dans ce cas m et n assujettis d'autre part à la condition

seront complètement déterminés et l'équation du système des cordes à considérer sera de la forme

M désignant une expression connue dépendant de a et des paramètres du lieu et P une fonction connue de la variable p.

Pour avoir le diamètre cherché, il faudrait éliminer/) enlre

o {x, y, M î = 0 et

y = Mx' + P ; mais

ne contenant pas/j, cette équation sera précisément celle du lieu.

Par exemple l'équation, trouvée au n° 92, des droites qui peuvent couper en deux points la conjuguée C de l'ellipse

a-y- -\- fj-jr = (âtr étant

i\/-lC\/'/'C^+/.>-f-'î'Wi4-C^ . • fliCi+/>2

l'équation générale des diamètres de cette conjuguée G sera

Ir n\—\ \ rt'C- + ^' — fl'C \ l -f- C- ^'S* V ^ G V a'G- + 6^ -f i^ 1 J- C-

c'est-à-dire que, pour chaque valeur de n, la droite C du faisceau représenté par cette équation sera un diamètre de la conjuguée C de l'ellipse.

Cette équation, s'il s'agissait de la conjuguée C = x de l'ellipse se ré-

duirait à y = x=: —\ — i ^' et pour chaque valeur de n

a^ns — 1 «""

fournirait le diamètre de Thyperbole a^y- — h-x^= — o/^b^ correspondant aux cordes parallèles à la direction y^=nx.

111. La même théorie s'applique évidemment et sans d'ailleurs aucune modification aux surfaces diamétrales des conjuguées d'un lieu à trois dimensions.

112. La recherche du lieu des points milieux des cordes d'une courise f{x,y) = 0 qui divergeraient d'un point fixe [j? = a, y= ô], se lie intimement à la précédente et présente un intérêt analogue.

L'équation de ce lieu étant une fois trouvée, le coeflicient angulaire variable de la transversale menée du point [a, b], après qu'il aura été éliminé, pourra aussi bien être supposé avoir été imaginaire que réel ; le lieu complet représenté par l'équation obtenue, se composera donc non-seulement du lieu réel, qu'on avait en vue, mais du lieu des milieux de toutes les cordes qui joindraient les points d'intersection de la courbe /(^, 2/)^0 avec tous les faisceaux imaginables que pourrait représenter l'équation

y — h =. (m -|- n si — l) [x — a),

qui contient les deux constantes arbitraires m et n.

Au reste la partie réelle du lieu représenté par l'équation trouvée n'appartiendrait généralement pas tout entière au lieu qu'on avait d'abord en vue. '

En effet la transversale mobile, menée du point [a, b], à partir de l'une des positions où elle serait devenue tangente à la courbe

ne fournirait plus d'intersections réelles, et cependant le lieu réel se prolongerait sans solution de continuité au delà du point de contact, car les abscisses, par exemple, des deux points de rencontre, devenus imaginaires, de la transversale réelle et du lieu

étant imaginaires conjuguées, leur demi-somme serait restée réelle et la demi-somme de leurs ordonnées le serait pareillement.

Au reste la caractéristique commune des deux points imaginaires auxquels correspondrait un point réel du lieu ne serait autre que le coefficient angulaire actuel de la transversale mobile.

En général donc, la partie réelle du lieu trouvé se composera du lieu des milieux des cordes menées effectivement du point donné au travers de la courbe réelle .

et de la suite des points milieux des cordes menées du même point au travers des conjuguées de cette courbe, mais avec cette restriction que chaque conjuguée n'apportera au lieu d'autre contingent que le système des points milieux des cordes qu'elle pourra intercepter sur la seule transversale menée du point donné parallèlement à ses cordes réelles. Par exemple le lieu des milieux des cordes menées d'un point à un cercle est fourni par l'équation de la circonférence ayant pour diamètre la droite qui joint le point donné au centre du cercle donné : lorsque le point donné est intérieur au cercle donné, la partie réelle du lieu appartient tout entière au lieu qu'on avait en vue ; mais lorsqu'au con-

traire le point est extérieur au cercle, la partie de la circonférence obtenue qui se trouve en dehors du cercle donné, est étrangère à la question.

Cette partie extérieure est le lieu des milieux de cordes menées du point donné aux hyperboles conjuguées du cercle donné ; mais chacune de ces hyperboles ne fournit au lieu que le milieu de la corde menée du point donné perpendiculairement à son axe transvérse.

113. Si au lieu des milieux des cordes NN' menées d'un point fixe A à une courbe f[x\ y] = 0 on voulait considérer le lieu des points M tels que

AM = A-AN -f A'AN',

on arriverait naturellement à des conséquences analogues ; c'est-à-dire que la partie réelle du lieu se prolongerait encore sans aucune solution de continuité, à partir du point où elle traverserait la tangente menée du point A à la courbe réelle.

Mais il est important de remarquer qu'un point réel du lieu, voisin du point situé sur cette tangente ne proviendrait plus alors de points N et N' ayant leurs coordonnées imaginaires conjuguées, et que, par suite, la transversale qui le fournirait n'aurait plus son coefficient angulaire réel.

Le coefficient angulaire variable de la transversale, en tant que cette transversale dût fournir un point de la pt)rtion réelle du lieu, resterait réel jusqu'au moment où la transversale deviendrait tangente, mais ce coefticient angulaire deviendrait ensuite imaginaire et sa partie imaginaire, d'abord nulle, commencerait par être infiniment petite pour n'atteindre une valeur finie qu'à une distance finie de la tangente.

Au reste dès que le coefficient angulaire de la transversale serait devenu imaginaire, naturellement les expressions analytiques des distances AN et AN' le seraient devenues en même temps et ces expressions

débarrassées du signe y — î» c'est-à-dire construites comme nous" avons construit les coordonnées d'un point imaginaire, ne représenteraient aucunement les distances effectives du point réel A aux points imaginaires N et N'.

Enfin les caractéristiques des deux points N et N' étant différentes, ces deux points n'appartiendraient plus à une même droite du faisceau représenté par l'équation de la transversale imaginaire.

Intersection de deux courbes du second degré.

114. Les quatre points d'intersection de deux courbes du second degré sont deux à deux les extrémités de cordes égales de ces deux courbes, menées par les points d'intersection des diamètres correspondants. Le nombre des points d'intersection est limité parce que, si l'on choisit au hasard une direction commune de cordes et qu'on construise

88 CHAPITRF, vn.

les diamètres correspondants, en général la corde parallèle à la direction choisie, menée par le point de rencontre des deux diamètres, n'aura pas la même longueur dans les deux courbes ou dans leurs conjuguées. Celle droite pourra d'ailleurs couper l'une des courbes et la conjuguée de l'autre.

Lorsque les quatre points d'intersection sont réels, les trois systèmes de sécantes communes se composent de droiles réelles.

Dans les deux autres cas les sécantes réelles communes sont la droite qui joint les deux points de rencontre réels et celle qui joint les deux points imaginaires conjugués, ou les deux droites qui joignent les points imaginaires conjugués.

La droite qui joint deux points imaginaires conjugués est, dans tous les cas, une corde réelle commune à deux conjuguées de même caractérislique.

Si deux des quatre solutions communes se confondent, les deux autres pourront être distinctes, si les premières sont réelles, mais elles se confondront nécessairement si les premières sont imaginaires, parce qu'elles en seront les conjuguées.

On voit par là que deux courbes du second degré non bitangentes ne peuvent se toucher qu'en un point réel. Mais du reste le cas où deux conjuguées seraient bitangentes peut

évidemment se réaliser. En effet, si l'on considère deux coniques MANBP et M'AN'BP' tangentes à la fois en A et en B, les coniques réelles dont elles pourraient être les conjuguées, sous une caractéristique commune égale au coefficient angulaire de AB, auront pour diamètre commun, correspondant aux cordes paral- *^' ' lèles à AB, la droite TC menée du

point C milieu de AB au point de concours T des tangentes communes en A et en B aux deux coniques proposées; et les équations de ces coniques réelles rapportées aux droites CT et CA, prises pour axes des x et des y, admettront pour solutions doubles

^t- = 0 et y = ±kC\l—\.

llo. Une ellipse imaginaire peut de même, évidemment, être bitangente à une elHpse réelle ou à une hj^erbole. Les deux lieux auront encore dans ce cas un diamètre commun conjugué, dans l'un et l'autre, de la corde double commune. Les deux conjuguées bilangentes admettant l'une et l'autre la corde double pour corde réelle, auront encore même caractéristique.

IIG. Lorsque l'ellipse imaginaire est rapportée à son centre, les coor-

données des points de l'enveloppe sont imaginaires sans parties réelles. Il en est de même des coordonnées des points de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une hyperbole, lorsque cette hyperbole est rapportée à son centre. Quant à l'ellipse réelle, elle ne présente pas d'enveloppe imaginaire. Les parties réelles des coordonnées des points de l'enveloppe imaginaire d'un lieu du second degré à coefficients réels, sont donc dans tous les cas constantes et se confondent avec les coordonnées du centre.

Cela posé, si deux lieux du second degré se touchent en deux points

./; = a±'^ V — J ' ;'/ = a' =t ?' V— I dont l'un

appartienne à l'enveloppe imaginaire de l'un de ces deux lieux, comme les coordonnées du centre de ce lieu seront a et a', le second point de contact

appartiendra aussi à l'enveloppe imaginaire du même lieu et sera diamétralement opposé au premier.

Les tangentes aux deux points de contact seront donc parallèles et par suite ces deux points de contact seront aussi diamétralement opposés sur le second lieu, de sorte que les deux lieux auront même centre.

Mais alors les coordonnées du centre du second lieu étant aussi a et a', les coordonnées, des deux points de contact

rapportés au centre du second lieu, seront aussi db^y — 1 etzh^'y — 4, c'est-à-dire imaginaires sans parties réelles et par conséquent ces mêmes points de contact appartiendront aussi à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du second lieu.

Ainsi deux lieux du second degré à coefficients réels ne peuvent se loucher en un point de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de l'un d'eux sans se toucher également au point diamétralement opposé au premier, sans être concentriques et sans que les deux points de contact appartiennent aussi à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du second lieu.

Il «est clair d'ailleurs qu'on pourra toujours d une infinité de manières établir un double contact entre les enveloppes imaginaires des conjuguées de deux hyperboles, entre deux ellipses imaginaires, ou entre une ellipse imaginaire et l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une hyperbole.

i>0 CHAPITRE VII.

S'il s'agissait d'une hyperbole et d'une ellipse imaginaire et que cette ellipse imaginaire dégénérât en cercle^ il est clair que les points de contact ne pourraient plus se trouver qu'aux extrémités de l'axe non transverse de l'hyperbole considérée.

Ces explications étaient peut-être nécessaires pour rendre compte de la méthode qu'on emploie depuis quelque temps pour la recherche des longueurs des axes d'une conique.

Tangentes aux courbes planes.

1 1 7. La théorie des tangentes aux courbes représentées en coordonnées imaginaires exigerait une révision préalable de la théorie des dérivées dont la notion doit recevoir une plus grande extension que celle qu'on lui donne ordinairement dans les éléments.

Lorsqu'on définit la dérivée d'une fonction, pour un système particulier de valeurs de cette fonction et de sa variable, comme étant la limite du rapport des accroissements infiniment petits que prendraient simultanément la fonction et la variable, à partir de leurs valeurs initiales, on laisse planer sur la définition cette restriction que l'accroissement de la variable, au moins, doive être réel.

Quoique cette restriction n'ait peut-être jamais été expressément énoncée, elle est restée d'abord tacitement consentie et il en est résulté des habitudes d'esprit dont il faut aujourd'hui se débarrasser, après réflexion.

La limite du rapport des accroissements infiniment petits d'une fonction et de sa variable reste toujours la même, pour chaque système de valeurs de cette fonction et de sa variable, quel que soit l'accroissement de la variable, réel ou imaginaire et, s'il est imaginaire, quel que soit le rapport de ses deux parties. Mais ce fait d'abord inaperçu a été ensuite accepté comme n'ayant pas même besoin d'explication.

Quelques mots à cet égard seront d'autant moins superflus que la démonstration du fait ne pourra être convenablement présentée, relativement aux fonctions transcendantes, que lorsque la théorie de ces fonctions, trop peu satisfaisante aujourd'hui, aura été reconstituée sur de nouvelles bases.

La raison générale du fait en question consiste en ce que, bien que zéro soit essentiellement indéterminé, puisque son argument peut avoir toutes les valeurs comprises eutre 0 et 2-k, néanmoins ia substitution de zéro à une variable, dans une fonction quelconque, donne toujours un résultat déterminé. 11 résulte de là en effet que, lorsqu'après avoir introduit sous un symbole quelconque, dx, par exemple, l'accroissement donné à la variable x, dont dépend une fonction, et exprimé en conséquence l'accroissement de cette fonction, si l'on fait ensuite tendre vers zéro cet accroissement dx, on n'a pas besoin de spécifier la loi de

92 CHAPITRE VIH.

variation de ses deux parties réelle et imaginaire, le résultat iinal, au moment où dx est arrivé à la valeur zéro, restant toujours le même.

Mais encore faudrait-il, pour que cette raison pût acquérir toute sa valeur, que la fonction considérée, quand elle portera sur une valeur imaginaire de sa variable, fût nettement intelligible, et c'est justement ce qui manque encore à la notion des fonctions exponentielles et circulaires.

Provisoirement, nous n'accepterions donc môme pas le théorème en ce qui concerne les fonctions transcendantes ; mais quant aux fonctions algébriques explicites ou implicites dont la notion est toujours claire, la raison que nous venons de donner de la réalité du fait qui nous occupe est suffisante. Au reste il serait bien facile, en passant en revue les calculs si simples au moyen desquels on a établi lès règles de dérivation de ces fonctions, de s'assurer que la limite du rapport de leiir accroissement à celui de la variable reste toujours la même, quelle que soit la loi suivant laquelle ce dernier tende vers zéro.

Nous regarderons donc le fait comme établi en ce qui concerne les fonctions algébriques, dont nous nous occupons presque exclusivement, et nous l'admettrons provisoirement pour les fonctions transcendantes, relativement auxquelles il prendra le caractère d'un principe, lorsque ces fonctions seront définies, comme elles doivent l'être, par leurs dérivées.

118. Quoi qu'il en soit, si l'on a trouvé que la dérivée de y par rapport à X, en un point d'un lieu

est

cela signifiera qu'à un accroissement infiniment petit de x,

dx ^= dy. -\- d^ V — 4 , il correspondrait pour y un accroissement donné par l'équation

dy = doL + rffi' sT^i = (m -f n v'— l) (^« + d^ sj—i),

qui se décompose en

f/a' ^=. md^ — nrfjà

et

r/,S' = md^ -f- ndo.,

d'où

m 4- n -j- (m — «) -r (UJ^d^ (m-f n)(/a + (?;2 — n)(/l^ __________Jl

dtx -\-d^~ dx^d<^ ~ i4$