Cela posé, si deux lieux

f{^^y)=^ et <f{x,y) = 0

ont un point commun réel ou imaginaire, [x, y], et qu'en ce point les

dérivées de y par rapport à x soient les mêmes et égales à m -|-^ V — 1 » quelque accroissement infiniment petit qu'on donne à x, les accroissements correspondants de y seront les mêmes sur les deux lieux; ces deux lieux auront donc une infinité de points communs infiniment voisins du point [x, y], de sorte que les deux portions du plan recouvertes par les points imaginaires fournis par les équations des deux lieux auront généralement en commun un disque infiniment petit s'étendant dans tous les sens autour du point [x, y], à moins que n ne soit nul, car excepté dans ce cas, qui sera examiné à part,

m 4-n -^ Cm — «) -yff a

pourra prendre toutes les valeurs de — x à -f-'* lorsqu'on donnera à -j- des valeurs convenables.

120. Supposons que sur les deux portions du plan recouvertes par les points imaginaires fournis par les deux équations

f{x,y) = 0 et <f{x,y) = à,

on trace, à partir du point [x, y], les deux courbes définies par une équation complémentaire

satisfaite, bien entendu, par les parties des coordonnées du point [x^ y], il est facile de voir que ces deux courbes seront tangentes au point [x, y]. En effet, les accroissements da, d^^, doL et d^' des parties des coordonnées seront, sur l'un et l'autre lieu, liés entre eux par les mêmes relations

daî dp

doL da. '

<i' dp

ff'X ut

y 4 CHAIMTRE VIII.

/7ft »

qui donneront la même valeur pour -j-, de sorte que le coefficient an-

gulaire

du cheminjoignantle point de départ [.r, y] aupoint[a:-|-c?x, y-j-di/] aura la même valeur dans les deux cas.

Si en particulier on choisit pour équation complémentaire

C désignant la caractéristique du point [x,y], c'est-à-dire si on considère entre autres courbes fournies par les points correspondant aux solutions des deux équations f{x, y)^0 et to(x, y) = 0, les conjuguées des deux lieux qui passent au point [x, y], ces deux conjuguées seront tangentes en ce point.

Or les deux équations

où X et y forment une solution de /"(X, Y) = 0, sont précisément dans le cas qu'on vient de supposer : elles admettent l'une et l'autre la solution X = x, Y = y et la dérivée de Y par rapport à X, pour X = a: et Y=y, est la même, soit qu'on la déduise de l'une ou de l'autre équation. Les lieux que représentent ces deux équations ont donc une infinité de points communs infiniment voisins du point [x, y] et en particulier les conjuguées de ces deux lieux qui ont pour caractéristique commune celle du point [x, y], sont tangentes en ce point. Or l'équation

^ fy {^, y) ^

se réduit, tous calculs faits, à une équation telle que

elle représente donc un faisceau de droites issues du point

Y = mX 4- p, 0 — nX-f- y;

TA-NGEMES El PLA>> iA>uE.NlS. 95

celle de ces droites qui passe au point [x, y], ou qui a pour caractéristique la caractéristique C du point [x, y], est donc tangente en ce point à la conjuguée G du lieu

121. Le disque élémentaire de contact entre deux lieux tangents change de forme avec la valeur de la dérivée commune de y par rapport à X. Si la dérivée de y par rapport à j? en un point [x, y] d'un lieu, est m-\-n\' — i, les éléments de ce lieu à partir du point [x, y] sont fournis par l'équation

dy = [m -\- n y — i J dx.

En donnant à dx, dans cette équation, une valeur infiniment petite quelconque on en tirera la valeur correspondante de dy, et l'on aura les coordonnées d'un point du lieu infiniment voisin du point [x, y]. Si l'on fait

dx = da -\- d^ \ — 1

dy = d^-\- d'i>'\^—i,

on pourra achever de déterminer la direction de l'élément en posant -i- = C. D'un autre côté, si l'on considère le faisceau de droites dp

représentées par Téquation

y = [mJrnsh^x et que l'on fasse dans cette équation

et ^ = C,

les valeurs finies de a, ,S, «', ^'seront proportionnelles aux valeurs infiniment petites de d%, d^, di' et rf,^' tirées des équations précédentes. On conclut de là que les éléments d'un lieu à partir d'un de ses points

où la dérivée de y par rapport à x est m-\-n\/ — 1 forment un faisceau semblable à celui des droites représentées par l'équation

Ce faisceau dont on peut toujours réduire l'équation à la forme

96 CHAPITRE Mil.

par un choix convenable d'axes rectangulaires, si elle n'est pas d'avance de la forme

est généralement elliptique, c'est-à-dire qu'il se compose habituellement des rayons d'une ellipse évanouissante.

Si n' = i le faisceau devient exceptionnellement circulaire, son cçelficient angulaire est alors indépendant du choix du système d'ajçes rectangulaires auquel on le rapporte. . ,

Si le coefficient angulaire du faisceau des éléments du tieu'est^xceptionpellement réel, ce faisceau s'aplatit de manière que tous ses éléments se confondent géométriquement en un seul, parce que l'équçition

di/ = doL' 4- d'^' V — T = m (/7a + c?^ s/^i)

donne

dix = ni'dy.

flfjii' = in'd{i,

d'où l'on conclut

dcfi -\- d^' =: m {du -j- d^).

dy Les points d'un lieu où -^ est réel forment une courbe remarquable

que nous caractériserons dans le chapitre suivant.

122. Le problème de mener par un point extérieur une tangente à une courbe f{x, y) = 0 peut être entendu de deux manières selon qu'on suppose les coordonnées du point extérieur données de façon que l'équation de la tangente doive être satisfaite par ces coordonnées, d'ailleurs réelles ou imaginaires, ou que l'on demande seulement que la tangente passe par le point géométriquement donné.

Dans le premier cas, le problème est déterminé et les solutions qu'on en obtient se rapportent partie à la courbe réelle, partie à quelques-unes de ses conjuguées qu'on n'est plus maître de choisir dès que le problème est posé.

Dans le second cas, au contraire, le problème est naturellement indéterminé et on peut à volonté en rendre la solution relative à celle que l'on veut des conjuguées du lieu.

Nous supposerons d'abord, que les coordonnées du point extérieur soient données et réelles, le cas où elles seraient imaginaires devant se trouver compris dans celui où elles seraient laissées indéterminées dans l'énoncé de la question.

Soient x^ et i/^ les coordonnées du point donné, celles du point de contact seront déterminées par le système des deux équations

yo f'yi^', y) H- •^0 / ^' '.^» y) = yf'y (-^^ y) + ^ A i-^"» y) — ^fi^^ y)^

l'une de degré w, et l'autre de degré m — 1.

Les solutions réelles du système de ces deux équations fourniront naturellement les coordonnées des pomts de contact des tangentes qui pourront être menées du point réel \x^, yj, à la courbe réelle représentée par l'équation f{x, y) = 0; quant aux solutions imaginaires de ces mêmes équations, elles fourniront les coordonnées de points remplissant à la fois les deux conditions que la tangente menée en chacun d'eux à la conjuguée qui y passe contienne de fait le point [a'„, yj et que l'équation de cette tangente soit satisfaite par les valeurs jc^x^, y=yo, ce qui explique pourquoi le nombre de ces solutions restera limité.

Au reste le point réel donné [Xq, yj sera le centre commun des différents faisceaux tangents obtenus comme solutions et si Féquation f(x, y) = 0 a ses coefficients réels, les coordonnées des points de contact seront conjuguées deux à deux, c'est-à-dire appartiendront deux par deux à une même conjuguée.

125. Lorsque la courbe proposée est du second degré, la seconde équation du problème s'abaisse au premier et, par conséquent, représente une droite, qui porte, comme on le sait, le nom de corde des contacts OU' de polaire du point extérieur. Les solutions du problème sont fournies par les intersections de la courbe proposée avec cette droite.

Cette droite est toujours réelle, quelque part que l'on place le point réel [a?o, yj dans le plan de la courbe, c'est-à-dire lors même qu'on ne peut mener de ce point aucune tangente réelle à la courbe. L'équation du second degré étant en effet représentée par

At/'- + 2Bxy -h Ci* + Wy + 2Ex -f F = 0,

on trouve pour équation de la polaire du point [x„, yj

y(Ayo-f Bx„+D) -^x{By,-\-Cx;-^E) -f D,y, -f Eu„ + F = 0

Cette polaire contient effectivement les points de contact des tangentes menées de son pôle, alors même que ces points de contact sont imaginaires, puisque son équation ne représente qu'un faisceau de droites confondues en une seule.

D'un autre côté les coordonnées des points de contact devant satisfaire à l'équation de cette polaire, ont nécessairement pour caractéristique son coefficient angulaire, c'est-à-dire que la polaire est une des cordes réelles de la conjuguée à laquelle appartiennent les points de contact.

Enfin la droite qui joint effectivement les points de contact des tangentes menées d'un point extérieur à une courbe du second degré, étant toujours conjuguée du diamètre de cette courbe qui contient le^ point

98 CHAPITRE VIH.

extérieur, il en résulte que les points de contact des tangentes imaginaires menées d'un point réel à une conique appartiennent toujours à la conjuguée de cette conique qui la touche aux extrémités de celui de ses diamètres qui passe par le point d'oii les tangentes sont menées.

Cet énoncé doit être un peu modifié lorsqu'il s'agit d'une ellipse imaginaire : si on rapporte cette ellipse au diamètre passant par le point donné, pris pour axe des x, et au diamètre conjugué pris pour axe des y, son équation prend la forme

et les coordonnées du point donné sont

57 = a^o et y == 0 ; la corde des contacts est alors

elle est toujours parallèle au diamètre conjugué de celui qui contient le pôle, mais la conjuguée qu'elle coupe, dont les abscisses sont actuellement réelles, touche l'ellipse imaginaire, qui est alors l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu, aux extrémités du diamètre couché suivant l'axe des y, c'est-à-dire aux extrémités du diamètre conjugué de celui qui contient le pôle.

Les points de contact des tangentes menées d'un point réel à l'ellipse imaginaire n'appartiennent jamais à cette ellipse, à moins que le point de contact ne soit à l'infini,, puisque les coordonnées des points de l'ellipse elle même sont toutes imaginaires, mais en supposant Xq=cc dans l'équation de la corde des contacts

on trouve

ar =r: 0 et par suite y = ±b'\J — 1.

124. Si la courbe considérée étant une ellipse, d'ailleurs réelle ou imaginaire, on place le point donné en son centre, on trouve pour les coordonnées des points de contact des valeurs infinies. C'est qu'en effet les tangentes fournies par le calcul doivent alors se confondre avec les asymptotes des conjuguées.

125. L'équation d'une conique rapportée à Tun de ses fo5'ers et à son axe focal est

y^ -{- x'^ — r [nx -\- pf = 0 ;

la polaire de ce foyer est

nx ^ p = 0;

TAJNGEMES ET PLANS TA>GEI«ITS. 99

c'est la directrice correspondante. Les points de contact des tangentes sont les points de rencontre de la directrice

nx -\- p =Q et du lieu

D'un autre côté, comme l'abscisse commune, , de ces points de

contact est réelle, et que les tangentes partent de l'origine actuelle,

leurs équations en coordonnées réelles sont

ces tangentes sont rectangulaires L'équation de l'ellipse imaginaire peut recevoir la forme

y'-\-a^ = -{nx-\-py,

et l'origine jouit alors des propriétés des foyers réels des coniques réelles.

L'équation

y'-^x'=~{nx+pY

peut s'écrire

//- -f (i -f n-) X- -f 2npx + />* == 0

le centre de la courbe est au point x = — T-p-ji y = ^ et, en rapportant la courbe à ce point, on fait prendre à son équation la forme

Si l'on pose

l + ,-^ et p^=-,

cette équation devient

100 CHAPITRE Mil.

iry- -j- b^x^ = — a^b- ;

-JJ—-est d'ailleurs égal à ±:na, c'est-à-dire à dza\/ 1 ou

±: \/b^ — a^, puisque b est plus grand que a.

Les points réels qui jouissent par rapport à l'ellipse imaginaire des propriél'és des foyers des coniques sont donc situés sur le petit axe et à une distance du centre marquée par la racine carrée de la différence des carrés des deux axes.

126. Supposons maintenant que le point donné soit connu de position seulement : ses coordonnées pourront être représentées par

et,

^0 = ««'0 + [^'oV'— 1,

%, 1^0, «0 et P'o n'étant encore assujettis qu'aux deux conditions

a et 6 désignant les coordonnées du point géométriquement donné. Lès équations

ne fourniront pas nécessairement dans ce cas, pour chaque système de valeurs de «q.^q, a'^ et[i'„, les coordonnées des'pointsde contact de tangentes menées du point donné à des conjuguées du lieu, mais seulement les coordonnées des points de contact de tangentes appartenant h. des faisceaux contenant le point donné représenté par ses coordonnées imaginaires actuelles. Pour que les tangentes obtenues passent effectifs' vement par le point donné, il faudra que ^ soit égal à la caractéristique

ro du point de contact ; cette condition étant remplie, on pourra ensuite achever de déterminer a^,, [i^, a'^ et ^\ de façon que l'une des solutions doive se rapporter à une conjuguée désignée du lieu.

Supposons par exemple que le lieu proposé soit une ellipse, et que la conjuguée à laquelle on veut mener une tangente par le point donné ait été désignée par sa caractéristique, on pourra supposer que l'on ait pris pour axe des x le diamètre conjugué des cordes réelles de celte con-

lA\.,r >ir.> ET PLANS TANGE.Ms- iOl

juguée et pour axe des y le diamètre conjugué de l'axe des a*. L'équation de la courbe aura alors pris la forme

a -y -j- fj-x- = a-o-\

quant aux coordonnées du point donné, on devra les introduire sous la forme

a'o et ^'o n'étant encore assujettis qu'à la condition de fournir une somme égale à l'ordonnée, dans le nouveau système d'axes, du point géométriquement donné. Les coordonnées du point de contact, fournies par le calcul, seront

il ne restera plus qu'à déterminer a'^ et ^\ sous la condition que x soit réel. Or on voit immédiatement que celte condition donne soit .S'o=0, soit a'„=0. Si l'on fait 'p\ nul, le point donné redevient réel et la solution s'applique soit à lellipse elle-même, si le point? donné est en dehors de cette courbe, soit, dans le cas contraire, à celle de ses conjuguées qui la touche aux extrémités du diamètre passant par le point donné. Si l'on fait a'„ nul, l'abscisse du point de contact devient

si elle est réelle, c'esl-à-dire si a-^'^^ — fj\--\- o-O- est positif, la solution appartiendra bien effectivement à la conjuguée que l'on voulait considérer, et il est remarquable que les deux points de contact fournis par le calcul se trouveront tous deux sur cette même conjuguée, ce qui n'arriverait pas en général, c'est-à-dire si l'on n'imposait pas aux coordonnées du point donné la condition de fournir un point de même système que le point de contact,

Si a-^'o' — ^' V + o-ô- est négatif, le problème sera impossible pour la conjuguée considérée, parce que le point donné sera dans son intérieur, mais la solution, en quelque sotte imaginaire au second degré, à laquelle on sera parvenu, fournira le? points de contact des tangentes menées du

102 CHAPITRE VllI.

point donné à la conjuguée de la conjuguée de la courbe proposée, qui touchera cette conjuguée aux extrémités de celui de ses diamètres qui passe par le point donné.

127. On peut tout aussi aisément faire porter la discussion du problème sur la corde des contacts. Cette corde est généralement représentée, dans le cas de l'ellipse, que nous continuons de prendre pour exemple, par l'équation

</o et ^0 étant maintenant imaginaires, il ne faut plus regarder cette équation comme représentant une droite unique, mais bien un faisceau de droites, et en général les points de rencontre de ce faisceau avec la courbe appartiendront à des conjuguées différentes.

Supposons qu'on ait pi^s pour axe des y le diamètre parallèle aux cordes réelles de la conjuguée à laquelle on veut qu'une des solutions se rapporte et pour axe des x le diamètre conjugué de l'axe des y. L'équation de la courbe sera devenue

et pour que le point donné appartienne effectivement à la tangente obtenue comme solution, il faudra supposer x^^ réel. L'équation de la corde des contacts sera donc

tto étant l'abscisse du point géométriquement donné et la somme a'^-}" [^o formant son ordonnée.

On aura, pour achever de déterminer a'„ et [i'^, à exprimer la condition que l'un des points de rencontre du faisceau

avec la courbe ait son abscisse réelle. Or l'équation aux abscisses des points de rencontre est

dont les coefficients deviennent réels si l'une des quantités a'^ ou ^^^ est annulée.

L'hypothèse P'o = 0 se rapporterait au cas où les tangentes devraient être menées à la courbe réelle ; on supposera donc a'o = 0. Alors l'équation de la corde des contacts deviendra

TANGExMES ET PLANS TANGENTS. 103

«0 et fi'o étant les coordonnées du point géométriquement donné.

128. Considérons le cas où le point donné serait l'un des foyers imaginaires de l'ellipse et supposons que ses coordonnées aient été introduites précisément sous la forme

.c, = 0 et y^=>,/a'-b'sl—i; l'équation de la corde des contacts sera

c'est-à-dire l'équation analytique de la directrice correspondant au foyer considéré.

Les points de contact des tangentes auront leurs abscisses déterminées par l'équation

//-V = aW- 4- ,

d'où

quant à leurs ordonnées elles seront

Ces points de contact sont justement les points de contact des tangentes menées par les foyers réels. 11 en résulte que les tangentes menées par les foyers réels passent par les foyers imaginaires et réciproquement; ou que les droites qui joignent dans l'ellipse les deux points pris sur les lieux axes à la distance c du centre sont tangentes à l'hyperbole de mêmes axes.

L'équation générale des tangentes à l'hyperbole

ahf — V-x^ = — a'b' est en effet

y = mx ± V û wi" et si l'on y fait ;« = rb 1 , elle devient

y = dz X ±: V a^ — b^-

Les tangentes menées du foyer imaginaire sont naturellement rectangulaires entre elles comme celles qui sont menées du foyer réel, les quatre tangentes formant un carré.

104 CHAPITRE Mil.

lîJÎ). Les mêmes principes nous serviront à compléter la solution du problème des tangentes parallèles à une direction donnée et à interpréter les résultais obtenus, dans tous les cas. Le problème pourra encore être étendu de la courbe réelle à ses conjuguées et comportera par conséquent comme solutions Jes tangentes menées parallèlement à la droite donnée, à la courbe réelle et à celles de ses conjuguées pour lesquelles la condition imposée sera réalisable. Le même problème pourra ensuite subir une nouvelle généralisation, lorsque Ton supposera que la direction donnée soit fournie géométriquement, sans que la forme analytique du coefficient angulaire de cette direction soit déterminée à l'avance.

En désignant par m le coefficient angulaire de la direction donnée, les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact sont

Occupons-nous d'abord du cas où m serait donné sous forme réelle. ■ Les solutions réelles du système des équations

/■(x, ?/) = 0 et mf'y -\- f'x={)

fourniront les coordonnées des points de contact des tangentes t|ui pourront être menées parallèlement à la direction

y = mx

à la courbe réelle.

Quant aux solutions- imaginaires de ces mêmes équations, elles fourniront les points remplissant la double condition non-seulement que la tangente menée en chacun d'eux soit de fait parallèle à

y = mx,

mais encore que le coefficient angulaire

ait identiquement la valeur m.

Ce coefficient angulaire étant réel, les points de contact trouvés appartiendront à un lieu particulier que nous verrons, dans le chapitre suivant, être l'enveloppe imaginaire des conjuguées du Ueu. Ainsi le problème se sera trouvé être de mener parallèlement à une direction donnée y =mj?, toutes les tangentes possibles à l'enveloppe totale des conjuguées du lieu.

Supposons par exemple que la courbe proposée soit une hyperbole, qu'on ait pris pour axe des x le diamètre parallèle à la direction donnée et pour axe des y le diamètre conjugué correspondant, l'équation de la courbe sera

a'-y- — b'-jr- = — (ri)'* ou

Ion que l'axe des x sera transverse ou non transverse. Les tangentes ront dans le premiei* cas représentées par l'équation

y = dzb'sf^,

et dans le second par

quant aux coordonnées des points de contact, elles seront

y — ±b'\—i, j: = 0 ou

Le lieu des points de contact de celles de ces tangentes qui seront imaginaires sera le lieu des extrémités des diamètres non transverses, •'est-à-dire précisément l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

. 150. Supposons maintenant que la direction donnée soit fournie géométriquement : le coefficient angulaire de cette direction pourra être représenté par

m' et a' n'étant encore assujettis qu'à la seule condition

m désignant le coefficient angulaire réel de la droite donnée et C la caractéristique de celle des droites du faisceau

qui devra être parallèle à cette droite donnée. Les équations

f{x,y)=0 et

(ya' 4- n' s ITT) f'y 4- f, = 0

ne l'ournironl pas nécessairement, pour chaque système de valeurs de m\ et n', les coordonnées de points de contact de tangentes effectivement parallèles à la direction donnée, mais seulement les coordonnées des points de contact do tangentes appartenant à des faisceaux dont les droites de caractéristique C seraient parallèles à la direction donnée. Pour que les tangentes obtenues soient parallèles à la direction donnée, il faudra que les points de contact appartiennent au système G. Cette condition jointe à

ni -\- n A ; ; = m

déterminera m' et n en fonction de C ; on pourra ensuite faire varier C de manière à obtenir successivement toutes les tangentes parallèles à la direction donnée que Ton pourrait mener à toutes les conjuguées du lieu proposé.

Supposons par exemple que le lieu proposé soit une ellipse et donnons-nous d'avance la conjuguée à laquelle devra s'appliquer la solution ; si nous prenons pour axes les diamètres conjugués communs à la courbe réelle et à cette conjuguée, la caractéristique G sera infinie par exemple et la première équation de condition entre m' et n' se réduira à

m désignant la valeur nouvelle du coefficient angulaire de la droite donnée. Les coordonnées des points de contact seront

a'^ (ni 4-n' J— l) X ■=. ± ..

\l à- (m' + wV— l)*4- *'^ .

pour que x soit réel il faudra que n'=0 ou m'=:0 ; dans la première hypothèse, les tangentes appartiendraient à l'ellipse elle-même, dans la seconde elles appartiendront à la conjuguée G = x si

est négatif. Dans le cas contraire, on aurait obtenu les points de contact des tangentes menées pa,rallèlement à la droite donnée à la conjuguée G = 0.

151. La question générale des tangentes parallèles à une direction donnée à une courbe

OU à ses conjuguées, peut être traitée d'une autre manière : si l'un exprime la condition pour que la droite

y = mx -f^p rencontre la courbe

en deux points confondus en un seul, on trouvera une condition

propre à déterminer p lorsque m serait donné.

Supposons que cette équation puisse être résolue par rapport à/j et qu'on en tire

l'équation

y = mx -f tf (m)

représentera une tangente à la courbe f{x, y) = 0 ou à l'une de ses conjuguées, quel que soit m. Si on remplace m par m-\-n\l — 4 , on aura sous la forme

l'équation générale de toutes les tangentes imaginables à la courbe proposée et à toutes ses conjuguées.

Si l'on veut que la solution se rapporte à l'une des conjuguées en particulier, on aura à exprimer, par une condition à remplir par m et n, que le point de contact appartient effectivement à la conjuguée désignée.

Supposons par exemple qu'il s'agisse d'une ellipse

ay -f- f/-x' = a^\ l'équation générale des tangentes sera

Pour que l'abscisse du point de contact soit réelle, il faut, comme on l'a déjà vu, que w ou m soit nul: si>i = 0, on retrouve l'équation générale des tangentes à l'ellipse elle-même ; si m =0, on a l'équation générale des tangentes à la conjuguée C = x

ensupposantrî2>-^ car dans le cas contraire la tangente se rapporterait à la conjuguée G = 0.

Ta7igentcs aux courbes à double courbure.

132. Les équations d'une droite assujettie à passer par deux points [x', y', s'], [x", y", z'% de mêmes caractéristiques, sont

-ÏA---^).

Si deux équations

sont capables d'une infinité de solutions continues d'un même système [G, C], solutions auxquelles il correspondra alors une courbe représentée dans ce système [G, G'], les équations

dans lesquelles on substituerait à x\ y\ z et à x", y", z" les coordonnées de deux points de la courbe en question, représenteront, par leurs solutions du même système [C, G'], la corde menée entre les deux points [x, y' , z'\ et {x", y" , z"] de la courbe ; et si x'\ y", z" sont les coordonnées d'un point infiniment voisin du point x', y\ z', les mômes équations représenteront, toujours dans le système [G, G'], la^ tangente à la courbe au point \x\ y\ 2'].

D'un autre côté, si x" , y" et -" diffèrent infiniment peu de x\ y' et z ,

— ;; et '— — ^ auront pour valeurs limites

rA^z) ^^ t\.{y,z)

f'r\x,z) f\yiy,-)'

Les équations de la tangente à une courbe

en un de ses points [x, y, z] sont donc, dans le système où est représentée la courbe,