X-'X--^(Z-z) et Y y = ^(Z

TANGENTES ET PLA\- lANGEMS. i09

Tangentes aux surfaces courbes.

155. Une tangente à une surface passe par deux points infiniment voisins de cette surface, c'est une sécante dont deux points de rencontre sont venus se confondre en un seul.

Soit

l'équation d'une surface, les différentielles des coordonnées x, y, z d'un point de cette surface sont liées entre elles par l'équation

dx ^ dy ^ ^ dz *

les coefficients angulaires -^ et - - de la droite menée entre les deux

az dz

points [x, y, ::] et [jc+Vx, y-\-dy,z-\- dz] sont donc liés entre eux par la

condition

(Ifdx d£dy d£ dx dz "^ dy dz '^ dz~ '

par suite les équations d'une tangente quelconque à la surface au point [x, y, z] sont

X — X =m{Z — z) et

Y-y=n{Z-zl

m et n étant assujettis à la seule condition

df , df . df

Si le point [x, y, z] est imaginaire et appartient àla conjuguée [C, C'J de la surface, la droite représentée dans le système [G, C] par les équations précédentes sera tangente à la conjuguée [G, G'] au point [x, y, z]. Les coefficients de ces équations rempliront d'eux-mêmes les conditions nécessaires pour qu'elles aient une inflnité de solutions du système [G, G'],* parce que le point [x-\-dx, y + dy, z-\-dz] pourra être supposé pris dans le système auquel appartient le point [x, y, 2].

1 54. Si l'on propose de mener une tangente à une surface f{x, y, z)=0 par un point extérieur [x^, y^, rj, les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact seront

•^V, — •-/-■ = m fz,, — z) , //„ — // = H {z„ — z)

r.HAPITRE VFir.

df df . df

"'d:c-^^iy^Jz^=''^

ou simplement

■•^ ^f j,yo — y df df

-z dx~^ z, — z dy "^ dz

avec

Les points de contact formeront donc l'intersection des deux surfaces représentées par les équations

f{x,y,z) = 0 et

dx^'^ dy^-'dz-'"' dx ^^Uy^ " dz '

dont la seconde pourra être abaissée au degré m — 1, si m est le degré de f(x, y, z), en retranchant mf{x, y, z) de son premier membre.

L'intersection de deux surfaces, en y comprenant les. points représentés par les solutions imaginaires communes à leurs équations, forme une surface dont, en général, les points de mêmes caractéristiques sont en nombre limité. La solution analytique ne fournira donc de chaque conjuguée de la surface proposée que les quelques points remplissant la double condition que, joints au point donné, ils donnent effectivement des tangentes à la conjuguée 'qui les contiendra, et que les équations analytiques de ces tangentes soient satisfaites par les coordonnées du point donné.

Supposons que la surface proposée soit du second degré et que le point donné x^, y^, z^ soit réel, l'équation

*''■« ~ ^'^ % +^ ^^" ~ ^^ f + ^'^ ~ '^ Tz + '^^'^' ^' '^ "" ^'

représentera un plan réel

Ma?+ Ny+Pz -1-0 = 0;

or une pareille équation n'admet que des solutions où les rapports C et G' des parties imaginaires de - et de x, de z et de y satisfassent à la condition

les points de contact des tangentes imaginaires menées du point donné

se trouveront donc exclusivement sur les conjuguées de la surface proposée dont les caractéristiques rempliront cette condition ; mais-, par compensation, les points de contact appartenant à un même système [C, C] seront en nombre infini et formeront une courbe qui ne sera autre que l'intersection du même plan

Mx -f Ny 4- Pz + Q = 0

avec la conjuguée [G, C] de la surface. Toutes les cdurbes de contact des cônes circonscrits aux conjuguées dont les caractéristiques rempliront la condition

seront d'ailleurs les conjuguées, dans son plan

de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface réelle ellemême. En effet, si l'on prenait pour plan des xt/ le plan de la courbe de contact avec la surface réelle, les points imaginaires formant les courbes de contact avec les conjuguées [C, C] ne seraient plus déterminés que par la même équation qui représenterait la première courbe. On pourrait généraliser le problème en attribuant des coordonnées

imaginaires «„ -\- \ \/ — l, « „ + ?'o V' — 1 , «"o + ?"o v' — * au point géométriquement donné. Si l'on voulait que le point de contact appartînt à une conjuguée [C, C] de la surface el qu'en même temps la tangente menée en ce point passât effectivement au point donné, il faudrait d'abord faire

A-i et ?i-i ro~G ^0 G"

et exprimer en outre la condition pour que le point de contact appartînt au système [C, G'J. Les deux équations propres à exprimer la dernière condition se réduiraient à une seule parce que, les équations de la tangente étant déjà satisfaites par les coordonnées d'un point appartenant au système [C,C'j, celles d'un autre point ayant. sa première caractéristique égale à C, ne pourraient les vérifier qu'autant que la seconde caractéristique serait C. On n'aurait donc à exprimer entre a^, ^^, a'„ ^i'^, a% et fV'g que trois nouvelles conditions qui jointes à

«0 + ?o = -^'o' ^'o + ?^'o = î/o et ct\ -\- ^\ = Z„,

achèveraient de les déterminer. Cela fait on aurait obtenu les équations propres à représenter la courbe de contact du cône circonscrit à la conjuguée [C, G'] et ayant son sommet au point donné.

H2 CHAPITIIE Vin.

Soit proposé par exemple de déterminer le cône, de sommet donné, circonscrit à la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles de l'ellipsoïde

l'abscisse et l'ordonnée du sommet donné ne devront être introduites que sous forme réelle, ce seront donc a„ et a'^ ; quant à l'ordonnée parallèle aux z, elle sera provisoirement représentée par a'^-j- ^\\/ — 1. Les équations propres à déterminer les coordonnées de l'un des points de contact seront

cr tr c

Mais X et y devant être réels et z imaginaire sans partie réelle, cette seconde équation se décomposera en

ce qui montre que a''^ devra être nul ; le sommet du cône devra donc avoir pour coordonnées

«o «0 et Tos/— ï;

le plan de la courbe de contact sera alors donné par l'équation

dont on ne construira que les solutions réelles par rapport ù x el à //.

15o. Le problème de mener une tangente à une surface parallèlement à une droite donnée peut être considéré comme un cas particulier du précédent : soient

X = mz et y = nz

les équations de la parallèle menée de l'origine à la direction donnée : les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact seront

f{xry,z)=:0

dx dy dz

L'ensemble de ces deux équations fournira en général, pour la surface réelle, une courbe continue, mais il ne donnera de chaque conjuguée que les quelques points remplissant la double condition, que des parallèles à la direction donnée, menées de ces points, soient effectivement tangentes à la conjuguée et que les coefficients angulaires des projections de ces tangentes sur les plans des xy et des xz soient m et n. Lorsque la surface proposée sera du second degré, l'équation

dl,df dl dx dy dz

sera du premier degré,

Mx -h N^ -I- P2 -f Q = 0 ;

elle n'admettra que des solutions où les rapports C et C des parties imaginaires de z et de x, de - et de y satisferaient à la condition

Les points de contact des tangentes imaginaires menées parallèlement à la direction donnée se trouveront donc exclusivement sur les conjuguées de la surface proposée dont les caractéristiques rempliront celte condition; mais par compensation les points de contact appartenant à une même conjuguée formeront une courbe continue. Toutes les courbes de contact des cylindres circonscrits aux conjuguées dont les caractéristiques rempliront la condition

seront d'ailleurs les conjuguées de la courbe de contact du cylindre circonscrit à la surface réelle parallèlement à la même direction.

136. On pourrait généraliser le problème en attribuant des coefficients imaginaires à la direction donnée. Les parties réelles et imaginaires de ces coefficients angulaires seraient assujetties à deux conditions et on achèverait de les déterminer en exprimant que le point de contact dût appartenir à une conjuguée désignée.

137. Si l'on avait déterminé les équations générales des tangentes à une surface /"(x, y, z) := 0 sous la forme

x = mz-\-^{m,p), y = pz -\-'if (m, f)),

les équations générales des tangentes aux conjuguées de la même surface seraient

7j =z{p -^gs/—{) z^^ (m 4- n V— 1, i» + ? sT-î) ;

mais il faudrait y joindre deux conditions particulières entre w, n^petq pour exprimer que les points de contact appartiennent à une conjuguée désignée.

Pla?is tangents aux surfaces courbée. *

158. Le plan tangent à une surface en un de ses points est le plan qui la coupe suivant une ligne dont ce point soit un point double, au moins.

On peut aisément déduire l'équation du plan tangent de cette définition ; mais on arrive également au but en cherchant le lieu des tangentes à la surface au point considéré.

Les équations d'une quelconque de ces tangentes sont

X — x = -^{Z — z) dz

x-\-dx, y-{-dy Qi z-\-dz désignant les coordonnées d'un point quelconque de la surface, infiniment voisin du point [j?, y, z]. Si f{x, y, z)=0 est l'équation de la surface considérée, dx, dy et dz sont assujettis à la condition

d'où l'on tire

dx ^ dy ^ ^ dz

df dx df dy ^.df

dx dz dy dz dz

le lieu des tangentes est donc représenté par l'équation

dl X — x df Y— y , df dx Z — z '^ dy Z — z ~^ dz '

qui représente un plan.

On donne souvent à l'équation du plan tangent une autre forme en y

dz dz

introduisant les dérivées partielles ---=:net-T-=vdez par rapport

dx dy

à A- et à ^ au point de contact : les valeurs de ces dérivées sont

df^ . rf/-

dx dy

dz dz

de sorte que l'équation du plan tangent peut être écrite sous la forme

z-z = p{x-x)Jrq{'^-y)'

Si l'on suppose que x, y et z prennent des valeurs imaginaires

satisfaisant, bien entendu, à l'équation de la surface, l'équation

Z-z = p{X-x)-\-q{Y-y) qui, les substitutions faites, se présentera sous une forme telle que

Z = (m + w' V^) X + (n + n' y'— T) Y -^ k -\- h' V^, représentera une infinité de plans imaginaires contenant tous la droite

Z = mX ~\- nY + k,

mais celui de ces plans qui appartiendra au système [C, C] passera au point [x, y, z] et sera tangent en ce point à la conjuguée [C, C] de la surlace proposée. En effet les dérivées partielles de z par rapport à x et à y gardant les mêmes valeurs au point [x, y, z], soit qu'on les tire de l'équation de la surface ou de celle du lieu

on aura dans l'un et l'autre cas, pour un même système de valeurs i'ij dx et de dy, la même valeur de dz,

dz = [m -f- m V — i) dx -\- [n -\- n \/ — i) dy ;

Uti CHAPITRE VIII.

d'un autre côté, si l'on veut que le point x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz appartienne à la conjuguée [C, C'J soit de la surface, soit du lieu

il faudra que dx, dy et dz aient respectivement les formes

^« + F 4=^ V^—^ ' da -^ — 6?fi V— î et dcf!' + d[i> sj'^. Ci L

Il n'y aura donc d'arbitraires que c?a et da', par exemple, puisque l'équation

dz = \m-\- m' \j — i) dx -^ [n -\- n' \j — 1 ) dy

se décompose en deux. Ainsi c?a et d(x recevant les mêmes valeurs dans les deux cas, dx\ dy et dz prendront aussi les mêmes valeurs. Les cordes élémentaires de la conjuguée [G, C'j de la surface proposée, qui rayonneraient du point [x, y, z] de cette conjuguée, appartiendront donc bien au plan déterminé par les solutions du système [C, C] de l'équation

c'est-à-dire que ce plan sera bien tangent au point [x, y, z] à la conjuguée de la surface proposée qui passe en ce point.

159, Les mêmes considérations prouvent que si deux lieux

/ {^, ^, 2) = 0 et /; {x, y,z) =0

ont un point commun [x, y, z] et qu'en ce point les dérivées partielles de z par rapport h x et h y aient les mêmes valeurs, soit qu'on les tire de la première équation, soit qu'on les tire de la seconde, les conjuguées des deux lieux qui passeront au point [x, y, s] seront tangentes en ce point.

Mais il y a plus : deux lieux tangents en un point [x, y, z], c'est-à-dire tels qu'en ce point les dérivées partielles de z par rapport h x et h y soient les mêmes de part et d'autre, ont en commun un volume infinitésimal entourant le point de contact. Car dz conserve la même valeur sur l'un et l'autre lieu, quelques valeurs que l'on donne k dx et h dy, c'est-à-dire quand bien même le point [x-\-dx, y-{-dy, z-\-dz] n'appartiendrait plus au même système que le point [x, y, z].

140. Si l'on propose de mener un plan tangent à une surface parallèlement à un plan donné, on pourra prendre pour inconnues soit les coordonnées du point de contact, soit le paramètre linéaire de l'équation du plan cherché. Dans le premier cas, quelques formes qu'on ait données aux coefficients angulaires du plan, le plan tangent au point

trouvé sera bien représenté par une équation du premier degré ayant ces coefficients angulaires, mais il ne sera pas nécessairement pour cela parallèle au plan géométriquement donué. Il faudra pour qu'il en soit ainsi que les coefficients angulaires aient reçu des formes convenables. D'ailleurs le point de contact n'appartiendra aune conjuguée désignée de la surface que si on a achevé convenablement la détermination des coefficients angulaires en question.

Le second cas est plus simple : si

z = mx + wy -f~ ? {^^ ^) estl'équation générale des plans tangentsàunesurface réelle /"(a;, y, -)=0,

sera l'équation générale des plans tangents à toutes ses conjuguées. Si l'on veut en particulier l'équation générale des plans tangents à l'une des conjuguées, on aura à établir en conséquence deux conditions entre m, m , n et n'.

Ainsi l'équation générale des plans tangents à l'ellipsoïde

est

:; = 7nx -\- ny dz \l m^a* -\- n-b- -(- c-,

et celle des plans tangents à la conjuguée à abscisses et à ordonnées réelles de cet ellipsoïde est

m*â' -|- n^b^ étant supposé plus grand que c-, - ^

141. Les problèmes qui consisteraient à déterminer les plans tangents à une surface menés par un point extérieur ou parallèlement à une droite donnée, n'ont pas d'autres solutions que ceux qui consistent à déterminer les tangentes à cette surface dans les mêmes conditions. Ces derniers ayant été traités plus haut, nous n'avons pas à revenir sur ceux qui s'y ramènent.

142. Toutefois nous présenterons ici une remarque d'une certaine importance.

Un lieu f{x, y, z) = 0 a bien une infinité de plans tangents parallèles à un plan donné, puisque chaque conjuguée de ce lieu* en a quelquesuns, mais, du moins, dès que les coefficients du plan tangent cherché sont donnés sous une forme particulière, le problème ne comporte plus en général qu'un nombre limité de solutions, parce que les équations

du problème sont alors en même nombre que les inconnues. Les solutions trouvées se rapportent alors à quelques conjuguées particulières, à l'exclusion des autres. En sorte que l'introduction volontaire de la considération des surfaces imaginaires n'ajoute rien au fait.

11 n'en est plus de même lorsqu'il s'agit de mener à une surface un plan tangent par un point extérieur dont les coordonnées soient fournies sous une forme particulière, ou parallèlement à une droite donnée dont les coefficients angulaires soient fournis sous une forme particulière. Dans l'un et l'autre cas la solution trouvée doit être interprétée d'une façon plus large qu'on n'avait autrefois l'babitude de le faire. Il ne suffît pas de prendre les solutions réelles des équations du problème, il faut aussi en prendre les solutions imaginaires et alors on obtient outre le contour apparent de la surface réelle, d'autres contours apparents en nombre infini.

143. S'il s'agit de mener un plan tangent par un point extérieur et que ce point soit donné sous forme réelle, l'ensemble des points formant solution sera l'intersection totale du lieu représenté par l'équation proposée et du lieu représenté par l'équation de la surface polaire. Cette intersection se composera soit de points appartenant aux conjuguées de mêmes caractéristiques, d'ailleurs quelconques, des lieux représentés par les deux équations, soit des intersections des conjuguées dont les caractéristiques communes satisferaient à une condition que l'on obtiendra en éliminant, lorsque ce sera possible, a, p, a', p', a" et ^" entre les quatre équations dans lesquelles se décomposeront les équations des deux lieux et les équations

p" = cp et f = G'^'.

S'il s'agit d'une surface du second degré, la surface polaire se réduisant alors à un plan réel, et l'intersection de ce plan avec la surface totale se composant de ses intersections avec toutes les conjuguées de la surface proposée dont les cordes réelles lui seraient parallèles, les contours apparents fournis par les équations du problème seront ceux des conjuguées dont les cordes réelles seraient parallèles au plan trouvé ; et ce seront aussi les conjuguées du contour apparent de la surface réelle.

144. S'il s'agit de mener un plan tangent parallèle à une direction donnée sous forme réelle et qu'on ait pris l'axe des z parallèle à cette direction, il n'y aura d'autre condition à exprimer que

l'élimination de z entre cette équation et

fournira entre x et y une équation

dont toutes les solutions réelles ou imaginaires fourniront des solutions de la question. Or ces solutions formeront une suite réelle à laquelle correspondra le contour apparent, sur le plan des xy, de la surface réelle et une infinité de suites imaginaires constituant les conjuguées du contour apparent réel.

Les points correspondant aux solutions imaginaires de l'équation

appartiendront à toutes les conjuguées de la surface proposée, mais en nombre limité pour chacune, ou bien aux conjuguées dont les caractéristiques satisferaient à une condition que l'on obtiendra en éliminant, lorsque ce sera possible, a, ^, a', ,^', a" et [â" entre les quatre équations dans lesquelles se décomposeront

f[x,y,z) = 0 et ^=0

et les conditions

^i" = cri, p" = C>'.

Dans ce dernier cas, le contour apparent

se composera du contour apparent de la surface réelle et des contours apparents de celles de ses conjuguées dont les caractéristiques satisferaient à la condition trouvée.

C'est ce qui arrivera toujours pour une surface du second degré, parce qu'une combinaison convenable des équations

f{x,y,z)=0 et ^ = 0

fournira l'équation d'un plan réel dont l'intersection complète avec la surface proposée se composera exclusivement des sections faites dans la surface réelle et dans celles de ses conjuguées dont les cordes réelles seraient parallèles au plan trouvé.

Ainsi s'il s'agit de l'ellipsoïde

la condition

se réduisant à

le contour apparent par rapport au plan des xy,

se composera du contour apparent de la surface réelle et des contours apparents de toutes celles de ses conjuguées dont les cordes réelles seraient parallèles au plan des xy.

Discussion d'un problème du second degré.

145. J'ai déjà donné plusieurs exemples de problèmes de géométrie élémentaire dont la discussion ne pouvait être complétée que par l'intervention des méthodes exposées dans cet ouvrage. Les exemples précédents se rapportaient à des questions d'intersections simples, le suivant est relatif à une question où intervient la considération d'une tangente au cercle, capable de devenir imaginaire. On verra que la solution que fournit l'algèbre élémentaire comprend le cas oh le cercle serait remplacé par sa conjuguée hyperbolique, de façon que l'interprétation des résultats obtenus n'est possible que par l'intervention de cette conjuguée qui se trouve jouer dans la question un rôle nécessaire quoique entièrement imprévu d'abord.

Supposons qu'on demande les éléments du cône de volume donné circonscriptible à une sphère de rayon donné : en prenant pour inconnues le rayon de la base de ce cône et sa hauteur, et désignant par Tzm^ le volume donné et par Rie rayon de la sphère donnée ; on a àrési^udre les deux équations

La seconde donne

yJx'-^-y^ ^y — R X R

et il en résulte pour déterminer y,

Cette équation donne

y — iiR

On en conclut que le minimum des valeurs positives de m^ est -x-R^

Mais si m' est négatif, y reste constamment réel, ses deux valeurs sont l'une positive et l'autre négative, la première est moindre que 2R et la seconde quelconque; x- est aussi réel, d'ailleurs négatif ou positif suivant que y est positif ou négatif.

D'un autre côté, si on discute la marche du volume, considéré comme fonction de y, on voit que y partant de + oc, m part aussi de -\-x; que m décroît d'abord avec y et atteint son minimum pour y = 4R ; que pour y = 2R,7« redevient infini; que si ?/ décroît au-dessous de 2R, m devient négatif; que pour y =R, 3m^ = — R' ; que pour y = 0, m = 0; enfin que si y décroît de 0 à — x, m décroît aussi de 0 à

Que signifient tous ces résultats et quel lien peut-on établir entre eux?

Si l'on prend pour axe des x un des rayons de la base du cône et pour axe des y la hauteur de ce cône, l'équation du grand cercle de la sphère compris dans le plan des xy est