X* 4- Y^ — 2RY

et l'équation de la corde des contacts des tangentes menées du point situé sur l'axe des y à. la distance y de l'origine est

Y(y-R)-Ry = 0; les coordonnées des points de contact sont donc

Y=-^ et x=±^-^^l^^y-R y — R '

par suite les équations des tangentes sont

RY ± \lf—my X — Ry = 0.

Si on cherche la demi-distance de leurs pieds sur l'axe des x on retrouve

slf-2Ry'

c'est-à-dire la valeur du rayon de base du cône.

Mais le calcul précédent s'applique aussi bien à celle des conjuguées du cercle qui le touche aux extrémités de son diamètre couché suivant l'axe des y qu'au cercle lui-même. En effet quand y est compris entre 2R et 0, l'ordonnée commune des deux points de contact est réelle et leurs abscisses sont imaginaires, de sorte que les deux tangentes sont données alors par les solutions réelles par rapport à X de l'équation

RY ± \j2\iy — y'- yj—i X — Ry = 0.

En faisant dans cette équation Y = 0 on en lire

Lors donc que y est compris entre 2R et 0 le cône est circonscrit à l'hyperboloïde engendré par la rotation autour de l'axe des y de l'hyperbole dont il vient d'être question.

Si y = R, ce cône devient le cône asymptote de l'hyperboloïde, il est isocèle, c'est-à-dire que le rayon de sa base est égal à sa hauteur, ou à R ; son volume est par conséquent

i TtR' ;

c'est justement ce qu'on a trouvé plus haut.

Si y est négatif, le sommet du cône passe au-dessous de l'axe des x et ce cône redevient tangent i\ la sphère.

Enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan.

146. On a vu aun" 421 que lorsque la dérivée de y par rapport à x en un point [jc, y] d'un lieu plan, est imaginaire, les éléments du lieu rayonnent autour de ce point dans toutes les directions, d'où il résulte qu'un pareil point ne peut pas appartenir à l'enveloppe des conjuguées.

Au contraire en un point {x,y] ou — est réel les éléments du lieu se dirigent tous suivant la droite menée du point [x, y] parallèlement à la

dy droite réelle qui aurait pour coefficient angulaire la valeur de —-. Un

pareil point jouit donc de la propriété que toutes les courbes continues qui y passent, dans le champ recouvert par les points représentés par les solutions de l'équation du lieu, y ont même tangente. C'est par conséquent un point de l'enveloppe des conjuguées du lieu.

-y- est réel en un point quelconque de la courbe réelle et l'est enax

core en tous les points du lieu déterminé par la condition que dans

f'.^^.czi (a + ^ V^, «' + ?' N ^) et dans

les parties réelles et imaginaires soient proportionnelles. Cette condition ■jointe aux deux équations dans lesquelles se décompose

laissera en général arbitraire l'une des quantités a, ;i, a' et ^', il y correspondra donc une certaine courbe qui sera l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Ainsi l'enveloppe totale des conjuguées d'un lieu plan est caractérisée par la condition

-^ = réel, /

et cette enveloppe se compose en général de deux parties, la courbe réelle et une courbe imaginaire que l'on verra s'associer à la courbe réelle dans un grand nombre de recherches et la suppléer relativement à d'autres.

147. Les conjuguées de l'ellipse réelle ni celles de la parabole n'ont d'enveloppe imaginaire ; nous avons trouvé que l'ellipse

aY + b^x^ — aW

est l'enveloppe imaginaire des conjuguées de l'ellipse imaginaire

aY + h'-x^ — — a«èS

et que les conjuguées de l'hyperbole

aY — h^x^ — — éW

ont pour enveloppe imaginaire l'hyperbole supplémentaire

a'?/2 — IP-x^ = c^h^.

On peut se proposer d'obtenir directement ces deux enveloppes. Soit d'abord l'ellipse imaginaire

aY + * V = — c?h^ :

j- en un point a? = a -|- fi v^ — 1» y =«' + P' V^ — 1 de ce lieu est

eii uii puuii x' = a -f- p y

pour que ce coefficient angulaire soit réel, il faut que

aV~a^fi'' d'un autre côté l'équation du lieu donne

a^a'^' + é^ap = 0.

La dernière donne

hH __ 5;

et de celle-ci, combinée avec la première, on tirerait

ce qui est impossible. On ne peut rétablir la compatibilité entre les équations

aV a}^' a-a! ^

qu'en faisant soit ji et ^' nuls, soit a et a' nuls, mais l'équation proposée n'ayant pas de solutions réelles, ^ et fi' ne sauraient être en même temps nuls, il faut donc faire a et a' nuls. Les coordonnées d'un point de l'enveloppe sont donc de la forme

et comme l'équation du lieu donne entre [i et ^' la relation on voit que l'enveloppe est bien l'ellipse

Soit maintenant le lieu

a^y^ — b^x^ == — arb^ :

-f- en un pomt

est

Z>^ (g 4- ^ V'-Tl) .

la condition de réalité est donc

d'un autre côté l'équation du lieu donne

La dernière donné

d'où l'on tirerait, en tenant compte de la première,

by = a*,a^

de sorte que la seconde »

se réduirait à

On peut encore rétablir la compatibilité entre les équations en faisant a et a', ou [i et [i' nuls. Si on fait ^ et ^' nul's, on trouve la courbe réelle ; pour avoir l'enveloppe imaginaire il faut donc faire a et a' nuls. Ainsi les coordonnées d'un point de l'enveloppe imaginaire sont de la forme

x = [^s[—{ et î/ = ^'v/— 1, l'équation du lieu donne d'ailleurs entre [i et ^' la relation

Par conséquent l'enveloppe imaginaire est bien l'hyperbole

On trouvera plus loin d'autres exemples relatifs à difï'érents lieux. Nous citerons ici seulement celui qui se rapporte au cercle imaginaire

(x — a — a \/^f -\-(t/ — ù — b' \/^)' = (r + r \/^)\ dont les conjuguées ont pour enveloppe imaginaire le cercle {x — a — a'f -\-{y — b — b'f = (r -f r'f.

148. Lorsque la courbe représentée par l'équation proposée, tout en restant réelle, comprend un point réel isolé, toutes les conjuguées, ou au moins celles d'une certaine classe passent par ce point. Gela résulte évidemment soit de ce qu'un point isolé peut être considéré comme un anneau évanouissant qui, avant de disparaître, formait l'enveloppe d'une certaine catégorie de branches de conjuguées d'une certaine classe ;

soit de ce que -j- se présentant en un pareil point sous la forme -, la

condition que les parties réelles et imaginaires de fx et de fy soient proportionnelles, est satisfaite d'elle-même.

Il convient toutefois de remarquer que cette dernière raison pour être probante exige qu'il puisse en effet partir du point considéré une infinité de branches imaginaires composées de points de caractéristiques diffé-

du rentes, ce qui suppose que les valeurs de j-, après leur séparation, se

trouvent imaginaires, ce qui était précisément l'hypothèse.

En effet il ne pourrait partir d'un point double, oti — aurait les deux

valeurs réelles m et m', que deux branches imaginaires composées de points ayant pour caractéristique soit m, soitw'. Car le rapport

dy da 4- rfy y/^

^ doL + d^ V— î^'

d^' ayant nécessairement pour valeur m ou m', — ne pourrait prendre que

l'une ou l'autre de ces valeurs.

Les points de rebroussemenl cependant feront exception à la règle parce qu'une droite réelle qui en se déplaçant parallèlement à elle-même viendrait à passer par un point de rebroussement de la courbe réelle coupera ensuite cette courbe en un nombre de points réels plus grand

ou plus petit de deux unités. Mais c'est qu'aussi -7-^ étant infini en un

point de rebroussement y n'est plus développable par la série de Taylor à partir d'un pareil point, d'où il résulte qu'on ne peut plus égaler le

rapport -^ au coefficient angulaire de la tangente double obtenue.

149. Lorsque l'équation proposée, quoique ayant encore ses coefficients réels, ne représente plus aucune courbe réelle, l'enveloppe réelle des conjuguées n'existe plus : elle est généralement suppléée par quelques points qui forment les seules solutions réelles de l'équation. Les conjuguées passent généralement toutes par ces points, par les mêmes motifs qui viennent d'être énoncés.

loO, Lorsque l'équation proposée a ses coefficients imaginaires, elle ne représente plus aucune courbe réelle, à moins que les parties imaginaires des différents coefficients ne soient proportionnelles à leurs parties réelles.

L'équation admet encore dans ce cas quelques solutions réelles fournies par les intersections des deux courbes représentées par les équations à zéro des deux parties réelle et imaginaire du premier membre.

Les conjuguées du lieu passent généralement par ces différents points, qui peuvent être considérés comme résumant l'enveloppe réelle.

loi. Lorsque les coefficients d'une équation variant d'une manière continue passent de l'état réel à l'état imaginaire, l'enveloppe réelle disparaît instantanément, à moins que les accroissements imaginaires acquis par tous les coefficients ne soient proportionnels à leurs valeurs antérieures, auquel cas le lieu ne changerait aucunement, mais la portion de l'enveloppe imaginaire qui la remplace est en continuité géométrique avec l'ancienne enveloppe réelle.

En effet, soient a et a' les coordonnées d'un point de l'enveloppe restée encore réelle, si l'on fait prendre aux coefficients des accroissements imaginaires infiniment petits et qu'on donne ensuite à x la valeur a, d'une part la nouvelle équation fournira- pour y une valeur infiniment peu différente de a, de sorte que le point correspondant sera infiniment voisin de l'ancienne enveloppe réelle; et, de l'autre, le coefficient angulaire de la tangente en ce nouveau point, différant infiniment peu de ce qu'il était en [a, a'], la partie imaginaire en sera infiniment petite, de sorte que le point lui-même sera infiniment voisin de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du nouveau lieu.

L'enveloppe imaginaire du nouveau lieu et l'enveloppe réelle de l'ancien différeront donc infiniment peu de forme et de position.

132. Dans cette même hypothèse où les coefficients, d'abord réels, d'une équation représentant un lieu réel, viennent à prendre des accroissements imaginaires, les conjuguées qui tout à l'heure touchaient la courbe réelle, subissent une modification instantanée considérable qu'il est important de signaler.

Les courbes qui formaient ces conjuguées sont remplacées par d'autres qui en diffèrent infiniment peu de forme et d'étendue, mais il s'y ajoute instantanément des branches finies ou indéfiniment étendues qui proviennent de l'ancienne courbe réelle, laquelle donne naissance d'abord à une enveloppe imaginaire, destinée à la remplacer, mais aussi à une infinité de branches de conjuguées qui se séparent plus ou moins de la courbe réelle.

En effet, tant que la courbe réelle existe, elle fait partie de toutes les conjuguées qui la touchent, parce qu'elle a sa caractéristique indéterminée, mais dès qu'elle cesse d'exister elle est forcément remplacée par une infinité de courbes approchant plus ou moins de son ancienne forme, mais de caractéristiques toutes différentes.

Ces caractéristiques sont dans ce cas constituées par des rapports de quantités d'abord infiniment petites, puisque si les coefficients de l'équation n'ont varié que de quantités infiniment petites, les solutions de cette équation n'ont pu varier non plus que de quantités infiniment petites, mais les rapports des parties imaginaires de ces quantités infiniment petites peuvent avoir toutes les valeurs.

Le même fait s'explique aussi bien par cette considération que tantque la courbe réelle existe, ses différents points sont reproduits dans les intersections successives du lieu avec toutes les droites réelles imaginables, tandis que, au contraire, dès qu'elle cesse d'exister, les intersections avec les mêmes droites réelles cessent de se confondre, A chaque direction de cordes réelles, il correspond alors un système particulier d'intersections qui n'est plus reproduit lorsque la direction des cordes change.

Un exemple simple achèvera de faire comprendre ce qui vient d'être dit. Supposons qu'il s'agisse d'une hyperbole d'abord réelle, la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à un diamètre non transverse de cette hyperbole serait une ellipse limitée aux deux tangentes à

l'hyperbole parallèles à ce diamètre non transverse. Si la sécante parallèle à ce diamètre ne passait plus entre ces deux tangentes, il n'y aurait plus d'intersections imaginaires. Mais si les coefficients de l'équation de l'hyperbole recevaient des accroissements imaginaires même infiniment petits; aussitôt la sécante, transportée en dehors de ses anciennes limites, fournirait une suite indéfinie de points imaginaires qu'il faudrait joindre à ce que serait devenue l'ellipse pour avoir la conjuguée du nouveau lieu, ayant pour caractéristique le coefficient angulaire de cette sécante mobile : la courbe réelle se serait donc transformée instantanément en une infinité de courbes imaginaires.

La théorie des asymptotes permettra d'éclairer encore mieux ce point important.

lo5. Le problème de mener une tangente à une courbe réelle parallèlement à une droite réelle donnée, y = ax, comprend à la fois comme solutions toutes les tangentes réelles que l'on peut mener à la courbe réelle parallèlement à cette droite et toutes les tangentes imaginaires qu'on peut mener dans la même direction à l'enveloppe imaginaire des conjuguées. En efi'et, sien un point de l'enveloppe la tangente est effectivement parallèle h y = ax, le coefficient angulaire réel de la tangente en ce point ne pourra pas différer de a, puisque une équation du premier degré dont le coefficient angulaire est réel, ne représente qu'une parallèle à la droite réelle de même coefficient angulaire.

D'un autre côté on sait que le problème de mener une tangente à une courbe de degré m parallèlement aune direction donnée a généralement

solutions. Ces m {m — 1) solutions se partagent donc entre la courbe réelle et l'enveloppe imaginaire des conjuguées: si l'une de ces courbes a /> tangentes parallèles à ladirection donnée, l'autre en a m (m — 1) — />. Si la courbe réelle n'en a pas, l'enveloppe en a m {m — 1). Cependant le degré de l'enveloppe est

ïn(m — l)(27n— 3) ou

suivant que l'équation du lieu a ses coefficients réels ou. imaginaires. Les courbes de son degré pourraient avoir

m {m — 1) (Sot — 3) [ m (m — 1) (2;n — 3) — 1 1 ou 2»i'- {m — l) ( 2m^ (m — 1) — l 1

tangentes parallèles à une droite donnée, d'où il résulte que l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu de degré m a toujours au moins

m* (w — if (2m — 3)- — 2m {m — 1 ) [m — 2) ou

tangentes de moins, parallèlement à une direction donnée, que celle des courbes de son degré qui en a le plus.

Lorsque les coefficients de l'équation proposée sont imaginaires, l'enveloppe a toujours m {m — 1) tangentes parallèles à une direction quelconque puisque la courbe réelle n'existe pas.

1S4. Il est important de remarquer que le coefficient angulaire de la tangente en un point de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan ne saurait que très-exceptionnellement coïncider avec la caractéristique de la conjuguée qui touche l'erLveloppe en ce point, c'est-à-dire avec le coefficient angulaire des cordes réelles de cette conjuguée. En effet si

x=(x-\-^sl—i et y = a + [àC V— 1

sont les coordonnées d'un point de l'enveloppe imaginaire, C est la caractéristique de la conjuguée à laquelle ce point appartient, mais il n'y

dy a aucune raison pour que -~ en ce point soit égal à G.

Il en résulte que parmi les m (m — 1) points de contact des tangentes menées parallèlement à une droite

à un lieu de degré m^ ceux qui sont réels appartiennent bien à la conjuguée G, mais que les autres appartiennent en générale des conjuguées quelconques.

133. Une valeur infinie de -r- doit toujours être considérée comme

réelle, parce que

/ . , \ tang cp -4- tang J^ V — 1

tang(<pH-^S/-0 ou ^^-t ^XV^

1 — tang cp tang <{/ y — 1

n'est infinie que pour

vj, = 0 et (û = (2K + 1) ^ ;

car, d'une part, tang ^ sj — 1 est fini quel que soit «];, de l'autre l'hypothèse

1 — tang 9 tang ^ \l — 1 =: 0

est impossible, et enfin si tang cp était infini sans que tang ^ \/— 1 fûtnul, tang(cp+<L\/— 1) se réduirait à

tang ^ \/ — 1

dy Il résulte de là que les points d'un lieu oti j- est infini appartiennent

toujours à l'une ou à l'autre enveloppe. S'ils sont réels, ils appartiennent de plus à la conjuguée G = oo, mais s'ils sont imaginaires ils appartiennent généralementà des conjuguées quelconques et on peut toujours diriger l'axe des y de manière qu'aucun de ces derniers n'appartienne à la conjuguée G ^ oc , car les points de l'enveloppe où la caractéristique coïncide avec le coefficient angulaire sont toujours en nombre limité. ,

156. L'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une courbe réelle toucbe toujours cette courbe en ses points d'inflexion et s'y infléchit comme elle.

En effet le problème de mener à une courbe une tangente parallèle à une direction donnée fournit encore, comme solution réelle, un de ses points d'inflexion lorsque la direction donnée se confond avec celle de la tangente en ce point ; mais si le coefficient angulaire donné s'éloigne infiniment peu, dans un sens convenable, de celui de la tangente au point d'inflexion considéré, la solution réelle qui correspondait' à ce point, et qui du reste était double, disparaît aussitôt et est remplacée par deux solutions imaginaires infiniment voisines.

Les deux points de contact correspondants appartiennent naturellement à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, puisque le coefficient

différentiel -f- y est réel; ils sont d'ailleurs infiniment peu distants du dx

point d'inflexion de la courbe réelle ; les tangentes à l'enveloppe y ont des directions infiniment voisines de celle de la tangente au point d'inflexion de la courbe réelle ; enfin le parallélisme des tangentes à l'enveloppe en ces deux points indique qu'ils comprennent un point d'inflexion de cette enveloppe.

On voit donc que l'^enveloppe imaginaire passe par les points d'inflexion de la courbe réelle, que les deux enveloppes sont tangentes en ces points et que l'enveloppe imaginaire s'y infléchit comme la courbe réelle.

lo7. Du reste, l'enveloppe imaginaire ne peut toucher l'enveloppe réelle qu'aux points d'inflexion de celle-ci. Car si le point de contact n'était pas un point d'inflexion, la courbe réelle aurait, dans les deux sens opposés, deux tangentes infiniment peu inclinées sur la tangente au point commun ; d'un autre côté l'enveloppe imaginaire en aurait au moins une inclinée dans un certain sens sur la même tangente : de sorte que m étant le coefficient angulaire de la tangente au point commun, et m-\- dm le coefficient angulaire delà tangente à l'enveloppe imaginaire en un point infiniment voisin du point commun, le problème de mener une tangente au lieu parallèlement à la direction w-f-c?/« aurait une solution réelle etunesolution imaginaire infiniment voisine de la première. Gette solution imaginaire ne pouvant aller seule, il en existerait forcément une troisième, imaginaire conjuguée de la seconde et par conséquent infiniment voisine des deux premières, de sorte que Tenveloppe imaginaire

aurait deux tangentes infînimeni: voisines, parallèles à la direction?n-|-(/?/i et que le point communaux deux enveloppes serait au moins un point d'inflexion par rapport à l'enveloppe imaginaire. Mais alors le point commun correspondrait à une solution double du problème de mener au

lieu une tangente parallèle à la direction m, c'est-à-dire que -^^ serait

nul en ce point, qui dès lors serait un point d'inflexion de la courbe réelle.

Réciproquement les points d'inflexion de l'enveloppe imaginaire appartiennent à l'enveloppe réelle dont ils sont aussi des points d'inflexion, car la tangente en un point d'inflexion de l'enveloppe imaginaire étant la réunion de deux tangentes imaginaires conjuguées est entièrement réelle, c'est une corde réelle de cette enveloppe imaginaire, mais une corde réelle tangente ne peut être tangente qu'en un point réel, puisque deux points imaginaires conjugués ne peuvent se réunir qu'en devenant réels.

On verra, au chapitre des Asymptotes, que l'enveloppe imaginaire des conjuguées touche encore la courbe réelle en ses points situés à l'infini. Du reste les points d'une courbe situés à l'infini peuvent toujours être

considérés comme des points d inflexion de cette courbe puisque j^ y est

nécessairement nul.