Si

y = mx -\- cp {ni)

est l'équation générale des tangentes à la courbe réelle, cette équation, pour chaque valeur de m qui rendra ç (m) imaginaire, représentera une seule droite tangente à l'enveloppe imaginaire ; l'ensemble des deux enveloppes forme donc l'enveloppe des droites réelles ou imaginaires représentées par une équation telle que

y = mx -\- cp(/w).

Cette communauté de définition constitue entre elles une réciprocité évidente.

En effet si un lieu a une enveloppe imaginaire, c'est que «p (m) peut devenir imaginaire pour des valeurs réelles de m. D'ailleurs le problème de mener à une courbe réelle, représentée par une équation à coefficients réels, une tangente parallèle à une droite donnée, ce problème qui peut se réduire à la résolution des équations

f{x,y) = 0, m= — jr.

fournit pour x et y, lorsque ces coordonnées sont imaginaires, des valeurs conjuguées deux à deux, et par conséquent, pour les tangentes aux points correspondants, des équations

Y — ^ = ju (X — a'),

ayant leurs coefficients conjugués.

Les valeurs imaginaires de o (m) correspondant à des valeurs réelles de w. seront donc conjuguées deux à deux et par conséquent o (w) pourra se mettre sous la forme

ç, et Çj pouvant d'ailleurs avoir chacun plusieurs valeurs. Cela posé, lorsque cp^ (m) sera positif,

y = jnx-\- ©1 {m) ± \/f^{m)

représentera une tangente à l'enveloppe réelle et lorsque Çj (m) sera fiégatif, la même équation représentera une tangente à Tenvèloppe imaginaire.

Mais si cp^ (m) est négatif, l'équation

y = wx 4- ç, {m) ± s' <p, {m) représentera effectivement la droite

y = mx + ç, (»0 ± \ — <^i («O-

Ainsi, les deux enveloppes étant prises dans leurs équations en coordonnées réelles, l'équation générale des tangentes à la première serait

y^mx + s,{w)± v>,(m), et l'équation générale des tangentes à la seconde serait

y =z mx + Oj (m) ± \/— ©.(w) ;

mais alors le retour de la seconde courbe à la première se fera comme le passage de la première à la seconde.

Les deux enveloppes d'un même lieu sont donc réciproques l'une de l'autre.

Enveloppe imaginaire des conjuguées dune surface.

io9. Nous avons dit plus haut que deux lieux qui ont un point commun [x, y, z] et dont les équations fournissent d'ailleurs en ce point les mêmes valeurs pour les dé^:ivées partielles de :; par rapport à :r et à y, ont en commun autour de ce même point un volume infinitésimal.

Ce volume s'aplatit en un disque plan lorsque les coefficients angu-

laires du plan tangent commun, ou les valeurs des dérivées partielles

dz dz

-— =pGi —- = q deviennent réels. En effet les rayons vecteurs menés

dx ^ dy ^ •'

du point central [x,y,z], à la surface qui limite le volume commun, sont

dans tous les cas, parallèles aux droites menées de l'origine aux points du

lieu représenté par l'équation

Z = pX-\-qY;

quand p et q sont imaginaires, ce lieu se compose d'une infinité de plans se coupant suivant une droite menée de l'origine, en sorte que les éléments de ce lieu qui émergent de l'origine peuvent avoir toutes les directions imaginables : mais quand p et q deviennent réels, tous les plans représentés par l'équation

Z=pX + qY,

plans dont au reste les caractéristiques sont alors liées entre elles par la condition

G ^ C" se confondent géométriquement avec le plan réel

Ainsi en un point réel ou imaginaire où les dérivées partielles de z par rapport k x et k y sont réelles, les éléments du lieu s'aplatissent en un disque plan.

Cette propriété est évidemment caractéristique d'un point de l'enveloppe, soit réelle, soit imaginaire, des conjuguées du lieu.

L'enveloppe totale des conjuguées d'un lieu sera donc définie par les conditions

f{x,y,z) = 0, — = réel et -^ = réel. dz dz

160. Mais il y a pour les lieux superficiels une différence essentielle entre les deux enveloppes réelle et imaginaire, c'est que chaque conjuguée touche en général l'enveloppe réelle, qui n'est autre que la surface réelle représentée par l'équation considérée, suivant toute la courbe de contact de cette surface réelle avec le cylindre qui lui serait circonscrit parallèlement aux cordes réelles de la conjuguée en question ; tandis que au contraire chaque conjuguée ne touche l'enveloppe imaginaire qu'en un nombre limité de points.

En effet si

^ = *+^v/^, y = «' + |?V^ et 2 = a" + pV^

désignent les coordonnées d'un point de l'enveloppe appartenant à la conjuguée [G, C], on aura pour déterminer a, p, <x, a", d'abord les deux équations dans lesquelles se décomposera l'équation delà surface et ensuite les deux conditions de réalité de p et de g; a, ,3, a' et a" seront donc en général déterminés.

Considérons par exemple l'équation

de l'hyperboloïde à une nappe, les dérivées partielles de z par rapport à X ei hy seront

ar X b^ y

z z pour qu elles soient réelles il faudra que - et - soient réels. Soient

x^a + ^sf^i, ^ = a'+^'v':rï, z = «" + p"v/^,

on aura donc

d'un autre côté l'équation de la surface donnera

x^ — fi^ %"- — ^'^ a"* — ^"*

En divisant cette dernière par a", remplaçant ^ par -^ et ", par 4-» puis multipliant par p", il viendrait

l'équation

g' — fi^ g^ — [^'^ __ «^^^ — ^"*

se réduirait donc à

-) /■) lit

d'un autre côté, en divisant

par ^", remplaçant ^, et — par — et -;,, puis chassant le dénominateur a",

il viendrait

l'incompatibilité entre cette condition et

prouve que [3, p' et ^" doivent être nuls, ou bien a, a et a". Dans la première hypothèse, on retrouverait la surface réelle ; dans la seconde, x, y et z se réduisent à

x = ^sP^i, y = i>.'sl^i et z = fsj-~i, et les coordonnées du point correspondant satisfont à l'équation

Si l'on fait(i" = Cj^ et ^" = G',^', il vient

et ^" se trouve déterminé, la conjuguée G, G' de la surface n'a donc que deux points communs avec l'enveloppe imaginaire.

161. Le plan tangent à une surface en un point de l'enveloppe imaginaire des conjuguées, a naturellement ses coefficients angulaires réels, et, réciproquement, si l'équation générale des plans tangents à une surface est

z = mx -{- ny -{- (û {m, ri),

et qu'on donne dans cette équation à m et à n des valeurs qui rendent <f {m,n) imaginaire, le plan correspondant sera tangent à l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la surface proposée.

On tirerait de là, comme pour les lieux plans, cette conséquence que les deux enveloppes sont réciproques l'une de l'autre.

162. La section complète d'une surface par un plan réel se compose de la section faite par ce plan dans la surface réelle et des sections faites dans les conjuguées de la surface réelle dont les cordes réelles sont parallèles au plan sécant. Ces dernières sections sont d'ailleurs les conju^ guées de la section réelle. Ces conjuguées ont généralement dans leur plan une enveloppe imaginaire, mais cette enveloppe imaginaire n'a en général qu'un nombre limité de points communs avec la section, par le plan réel considéré, de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la surface réelle proposée. En effet si l'équation du plan sécant est

ce plan ne peut contenir que des points dont les caractéristiques G et G' satisfassent à la condition

or si les points de l'enveloppe contenus dans un plan parallèle à

Mx + Ny + P:; = 0

formaient une courbe continue, comme ces points ne pourraient pas se présenter de nouveau dans une autre série de plans parallèles, l'enveloppe imaginaire se composerait d'une infinité de surfaces. Supposons qu'on ait pris le plan des xz parallèle aux plans sécants,

—, en un point de la section par un plan ij = h, se confondra avec le

dz coefficient angulaire de la tangente à cette section, -j- sera donc réel en

un point quelconque de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la

. dz section, mais — ne se trouvera réel qu'en quelques points de cette

enveloppe .

Asymptotes aux courbes planes.

165. La théorie des asymptotes aux conjuguées des courbes planes se résume dans l'énoncé suivant :

La recherche des asymptotes d'une courbe quelconque fournit en même temps les asymptotes de toutes ses conjuguées; les conjuguées du lieu représenté par l'équation d'une asymptote au lieu considéré sont les asymptotes des conjuguées de mêmes caractéristiques de ce lieu.

Considérons d'abord une asymptote réelle, effectivement asymptote à une branche infinie de la courbe réelle. L'équation

y = ÇiX -\- d

de cette asymptote étant capable de solutions imaginaires ayant pour caractéristique C, les valeurs infinies de a? et de y qui satisferont à la fois à l'équation de la courbe et à celle de l'asymptote ne seront pas plus réelles qu'imaginaires de la forme

Mais pour que x=a-|-^v — 1 et î/=a'-|- i^Cy — 1 forment une solution de l'équation

y = Cx-\-d, il faut que

a' = Ca -j- d;

en ajoutant pC de part et d'autre, il vient

a' + pG = G(a + ^) + C?,

d'où l'on voit que le point correspondant à la solution imaginaire considérée appartient à la même droite

y z=z CiX -\- d.

Ainsi, une asymptote réelle d'une courbe réelle est aussi asymptote à

la conjuguée dont la caractéristique est égale au coeflicient angulaire de cette asymptote.

Considérons par exemple l'hyperbole

dont l'une des asymptotes est

cette asymptote conviendra à la conjuguée dont la caractéristique

est — . En effet posons a

et ^' = P-,

l'équation de l'hyperbole donnera

a*a'* — a^p — é*a* + **,^* = — a*b^ et

en vertu de la condition p' = ^ - ou a-p = ô*,^*, la première relation se réduira à

a-a'- — b-or = — a*i*,

et la seconde à

Oa' — />a = 0 ou a-a'* — i*a* = 0 ;

lès deux conditions tirées de l'équation de l'hyperbole étant donc incompatibles, a et a' devront être infinis. Quant à [i et à ^', ils ne sont assujettis

ô' b qu'à la condition ^ = - : en les faisant infinis et tels que a' -f- ^' et a -[- P

restent finis, on obtiendra tous les points de la droite

c'est-à-dire que la conjuguée de l'hyperbole, dont la caractéristique

est -, se confond géométriquement avec l'asymptote yz=- x de la

courbe, ce que l'on savait déjà, les conjuguées de l'hyperbole étant toutes les ellipses qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun.

Mais si on laisse p' et [â finis, «'-[-&' et a-fli restent infinis et l'on obtient les points à l'infini de la conjuguée, points qui appartiennent à la

droite ?/=-x. Cette droite est donc bien une asymptote commune à la courbe réelle et à celle de ses conjuguées qui a pour caractéristique -.

164. Supposons en second lieu que l'asymptote restant réelle,

y=Cx-}-d,

la courbe réelle n'ait pas de branche infinie correspondante, ou même n'existe pas : Tune des formes de la fonction y définie par l'équation de la courbe devant toujours être

y=Gx-{-d-}- V,

V désignant une fonction de x qui s'annule quand x devient infini, si l'on fait varier x par valeurs réelles dans les deux équations

y = Cx -\-d et y = Cx-\-d -{-Y,

on obtiendra d'une part la droite réelle y = Gx-\-d et de l'autre une branche de conjuguée à ^abscisses réelles de la courbe proposée, et l.es deux lignes seront asymptotes l'une à l'autre.

Mais si l'on faisait subir aux axes une transformation quelconque et qu'on recommençât les calculs, on trouverait, pour équation de l'asymptote, la transformée de y=Cx-\-d et le raisonnement précédent ferait voir que la nouvelle conjuguée à abscisses réelles de la courbe proposée, c'est-à-dire la conjuguée dont la caractéristique aurait eu anciennement pour valeur le coefficient angulaire du nouvel axe des y, serait également asymptote à la même droite.

La même asymptote réelle à une courbe qui n'a pas de branche infinie correspondante convient donc à toutes les conjuguées de cette courbe.

Ce résultat pourrait paraître singulier parce qu'en effet une équation du premier degré à coefficients réels, y = Cx -{-d, n'admet de solutions imaginaires que du système C. Mais cette contradiction apparente est facile à lever. Quelle que soit la direction que l'on donne à l'axe des y, la partie imaginaire de y tend vers zéro, lorsque x croît indéfiniment par valeurs réelles, les parties imaginaires des coordonnées des points situés à l'infini sur une conjuguée quelconque, tendent donc vers zéro,

ou en d'autres termes les caractéristiques de ces points sont en réalité -.

16o. Examinons maintenant le cas où l'asymptote trouvée serait imaginaire, mais aurait son coefficient angulaire réel et serait par conséquent représentée par une équation de la forme

y = Cx + ;j 4- 5- \/— 1 :

si x = a-|-?v' — 1 G*' y = '^'-\-'P'^ — 1 forment une solution de cette équation, on devra avoir

■X = Ct \- p

d'où

ft' la caractéristique ^ d'un point appartenant à l'asymptote pourra donc

varier dans ce cas; mais quant au point lui-même, il appartiendra toujours à la droite unique

y, = Cxj +p + q; d'ailleurs, l'une des formes de la fonction y sera

y = Cx^p + q^[^i+y,

Y désignant toujours une fonction de x qui s'annule pour x=oc ; cette dernière équation, ou sa transformée, si l'on a changé la direction de l'axe des y, donnera donc toujours, lorsqu'on fera croître x par valeurs réelles, une branche de conjuguée asymptote à la même droite

y = Gx-{-p-\-q.

Dans le cas donc où l'on aura trouvé une asymptote imaginaire à

coefficient angulaire réel, y = Cx-\-p-\-q\l — i, la même droite i^=Cx-{-p-\-q sera asymptote à toutes les conjuguées du lieu.

166. Supposons enfin que le calcul ait donné pour asymptote d'un lieu réel ou imaginaire une droite complètement imaginaire

il est aisé de voir que la droite de caractéristique G que fournira cette équation, sera effectivement asymptote à la conjuguée G du lieu.

En efi'et, il est clair d'abord que si l'on faisait croître x par valeurs réelles dans l'équation

y={m + n V— ^)'^'+p-\- g V'— 1 et dans l'équation

y = (m + nyj^) x i- p + q sl^ -\-Y

de la branche correspondante du lieu, on obtiendrait d'une part la droite

et de l'autre une branche de la conjuguée G = oo du lieu, asymptotes l'une à l'autre. D'un autre côté, si l'on faisait subir aux axes une transformation préalable quelconque et qu'on recommençât les calculs, on trouverait pour équation nouvelle de l'asymptote la transformée de

(m -f- n v/^) x + p-{-q sf^;

or, en faisant croître x par valeurs réelles dans les nouvelles équations des deux lieux, on retrouverait les conjuguées du faisceau et de la courbe proposée qui auraient pour caractéristique le coefficient angulaire ancien du nouvel axe des y, et ces deux lignes seraient toujours asymptotes l'une à l'autre, en vertu de la démonstration qui précède.

Dans le cas donc où l'on trouvera pour une courbe une asymptote complètement imaginaire, l'équation de cette asymptote représentera un faisceau d'asymptotes à toutes les conjuguées de la courbe proposée.

Considérons par exemple l'ellipse

dont les asymptotes sont

les conjuguées de l'ellipse sont toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun ; or, si l'on rapporte l'ellipse et le lieu

y = zt-\/—lx

à un système quelconque de diamètres conjugués de l'ellipse, les deux équations deviendront simultanément

si l'on fait varier x par valeurs réelles, la première fournira l'hyperbole a'Y— b'^x^ = —a"b'\

et la seconde ses deux asymptotes

167. Lorsque le coefficient angulaire d'une asymptote imaginaire est réel, cette asymptote est tangente en un point situé à l'infini au lieu

des points fournis par l'équation proposée où —- est réel, c'est-à-dire à

l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Les asymptotes réelles auxquelles il ne correspond aucune branche de la courbe réelle sont, de même, évidemment asymptotes à l'enveloppe imaginaire des conjuguées ; mais une asymptote réelle effectivement asymptote à la courbe réelle, est encore asymptote à l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Il suffira, pour le démontrer, de remarquer d'une part qu'une équation y = mx -\-p est capable de solutions imaginaires où le rapport des parties imaginaires de y et de x soit m et, de l'autre, que l'infini est naturellement indéterminé. On en conclura que l'équation du lieu ayant fourni une asymptote y =: mx -\- p, \\ y a. nécessairement dans le

lieu, à l'infini, un point imaginaire tel que ~ y soit égal à m et que

y — mx soit égal à p.

Ainsi l'enveloppe imaginaire des conjuguées a en général les mêmes asymptotes que la courbe réelle ; elle a en plus les asymptotes à coefficients angulaires réels dont les ordonnées à l'origine sont imaginaires ; mais les asymptotes à coefficients angulaires imaginaires n'appartiennent ni à" l'enveloppe réelle ni à l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Ainsi dans l'exemple traité plus haut de l'hyperbole

aY — b^x^ = — a^b\ les asymptotes réelles,

appartiennent aussi à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, représentée par les solutions de la forme

de l'équation du lieu .

i68. Nous avons, incidemment, dans le chapitre relatif à l'enveloppe des conjuguées d'un lieu plan, expliqué ce que devient la courbe réelle lorsque les coefficients de l'équation prennent des accroissements imaginaires et nous avons choisi pour exemple celui que présente une hyperbole. Nous pouvons compléter ce que nous avons dit alors.

Considérons une hyperbole

et imaginons que les coefficients a et b prennent des accroissements infiniment petits a'\' — 1 et b'\/ — 1, l'équation du système des asymp-

totes deviendra

a-\- a' V — l fb

Chacune de ces équations représentera une infinité de droites qui seront les asymptotes des branches de toutes les conjuguées dans lesi quelles se sera transformée l'hyperbole précédemment réelle.

Les asymptotes des branches indéfinies de la conjuguée C seront parallèles à la direction

elles seront infiniment peu inclinées sur les asymptotes de l'ancienne courbe réelle tant que S et S' resteront infiniment petits, mais elles s'éloigneront de ces directions à mesure que S etT croîtront davantage.

Des plans asymptotes aux surfaces courbes et de leur enveloppe.

169. Nous désignons sous le nom de plans asymptotes à une surface courbe les plans tangents à cette surface en des points situés à l'infini. L'équation du plan tangent à une surface

f{x,y,z) = 0, en un point [x, y, z], est

Les coefficients angulaires sont A, f'y et /'z ; si x, y ei z sont infinis, ces coefficients angulaires se réduisent aux dérivées partielles par rapport à a;, à ?/ et à z de la partie homogène du plus haut degré de f{x, y, z) : soit

^ix,y,z)-\-'^{x,y,z) -f x{x,y,z)+ ....

le premier membre de l'équation proposée, décomposé en parties homogènes, le plan tangent en un point situé à distance infinie sera donc parallèle au plan

Xç'a; -f- Yç'y -f- Ztp'^ = 0.

Soient

les équations de la droite dans la direction' de laquelle le point [x, y, z] s'est éloigné à l'infini, o'x, s'y et o: étant trois fonctions homogènes de degré m — 1, on pourra y remplacer, dans l'équation précédente, x, y et - par a, ^ et y, ce qui donnera pour l'équation du plan parallèle au plan tangent au point [x, y, z], situé à l'intini,

Xcp'. + Yo\ + Zo', = 0.

Ce dernier plan est le plan tangent, suivant la génératrice

au cône

Ainsi les plans asymptotes à une surface

sont parallèles aux plans tangents au cône lieu des rayons infinis,

L'équation

peut s'écrire

XA + YA + ZA = xf, + yfy + z/,, c'est-à-dire

XA'x + Y/"î, + ^f: = "»? (^,y,=^) H- (m - 1) V (a",y,z) + (m - 2) x {x,y,z) -f . . . . ou, en retranchant du second membre la quantité

mo {x, y, z) 4- m'j/ (x, y, z) + w^x (^» y> 2) -f-

qui est nulle d'elle-même, puisque le point [x, y, z] appartient à la surface,

Xrx + YA-fZA = --H^,y,z)-2x{x,y,z)-....

Si le point [x, y, z] est renvoyé à l'infini, les termes, qui au second membre, suivent le premier, disparaissent devant ce premier terme.

D'un autre côté, on a déjà vu que fx, f'y et /'-, dans le premier membre, peuvent être réduits à <p'x, cp'y et cp'-, de sorte que l'équation du plan asymptote, tangent au point [ar, y, z], peut être réduite à

cp'.X + cp'yY 4- ç'.Z + ^ {x, y, z) = 0,

ou^ comme tous les termes sont maintenant de degré m — i GXix,y et z,

cp'„X + cpVY + cp',Z-f <f(a,^,Y) = 0, a, p et Y désignant les coefficients directeurs d'un rayon inSni.

169. Rien ne sera changé aux conclusions du numéro précédent si a, ^ et 7 deviennent imaginaires ; le plan

ç',X + cpVY+cp',Z + J.(a,p,y) = 0

sera alors asymptote à la conjuguée de la surface

f{x,y,z) = 0, qui contiendra le point imaginaire situé à l'infini dans la direction

Soient

Y de sorte que les équations de la direction considérée soient

X = [în -\-n V — i) z et

y = [m' -\- n' sj — {) z\ soient d'ailleurs

^ = a + -V^, y^d-\.^-^J^ et z = a"^b"sj^i les coordonnées d'un point satisfaisant aux équations

X = [m -\- n \/ — i) z et y z=^ [m' -\- n' y — 1 ) z,

on aura, d'une part,

b" a z= ma" - nb" et — = ^à" -f na",

et, de l'autre,

a = m'a" — n'b" et 77; = >n'b" -f- '*'«" î en éliminant a" entre

— = mô" -f- na" et ttt = '^t'^" + ^0,",

il vient

--- = mn-nm.

Les points de la surface f{x, y, z) = 0, situés à l'infini dans la direction

appartiendront donc aux conjuguées de f{x, y, z)=0 dont les caractéristiques satisferont à la condition

— — — = mn — nm :

les plans, de mêmes caractéristiques, représentés par l'équation

seront asymptotes à ces conjuguées.

Par exemple

où a, ^ et Y seront supposés satisfaire à la condition

sera l'équation générale des plans asymptotes aux conjuguées de l'ellipsoïde

Considérons en particulier la direction

m, n et m seront nuls et n' sera égal à ±:-, Téquation

y-v/~ÏY + -Z 0 c

représentera donc les plans asymptotes aux conjuguées de l'ellipsoïde dont les caractéristiques satisferont à la condition

= 0 ou C = GO ,

G c'est-à-dire aux conjuguées ayant leurs abscisses réelles.

1 70. Toute asymptote à une section plane d'une surface est asymptote à la surface, en ce sens qu'elle lui est tangente à l'infini. Une surface a donc une infinité d'infinités d'asymptotes.

Mais il sera intéressant d'en considérer une classe particulière que nous allons faire connaître.

L'intersection de deux plans tangents à une surface en deux points infiniment voisins [x, y, z] et [x -\- dx, y-\-dy, z-\- dz] passe au point [x, y, z] et y est tangente à la surface, puisqu'elle est contenue dans le plan tangent en ce point.

L'intersection de deux plans asymptotes infiniment peu inclinés l'un sur l'autre, correspondant à deux rayons infinis

a-f rf* ■ ^-{-dp y + c/y'

sera de même une asymptote de la surface, mais d'une classe particulière.

Ces asymptotes formeront une surface réglée et développable, enveloppe des plans asymptotes, qu'il est intéressant de considérer.

L'équation de cette surface s'obtiendra évidemment en éliminant a, {i

et -7- entre les équations ofa

i-^W'^yM, 1)X +<?'>{«,>,!) Y + o%(«,P,l)Z + •yyM,i)] = 0.

ASYMPTOTES ET PLANS ASY.MPTOTIQCES. 149

Les conjuguées de la surface obtenue seront également des surfaces réglées et développables. Car le système des équations de deux plans asymptotes en deux points infinimeilt voisins d'une même conjuguée de la surface proposée, représentant entre autres une asymptote de cette surface, remplira de lui-même la condition pour que ces équations admettent une infinité de solutions de mêmes caractéristiques, de sorte

que les équations entre lesquelles on aura éliminé a, ^ et -7^ seront capables d'une infinité de solutions de mêmes caractéristiques représentant des points en ligne droite.

Ces conjuguées de l'enveloppe des plans asymptotes à la surface réelle seront donc les enveloppes des plans asymptotes aux conjuguées de la surface réelle.

Considérons par exemple l'ellipsoïde

pour trouver l'enveloppe des plans asymptotes, on aura à éliminer «, ^

et -7- entre les équations

1 ,, , 1 ,, cVi»

-X4--Y-^ = 0, a- 0- dx

qui donneront

c'est-à'dire le cône asymptote de l'ellipsoïde. Les conjuguées de ce cône seront les cônes asymptotes des conjuguées de l'ellipsoïde.

L'enveloppe des plans asymptotes à une surface se réduira à un cône toutes les fois que Téquation de la surface manquera des termes de degré m — 1. Le sommet de ce cône sera l'origine des coordonnées correspondant à cette forme de l'équation.

DU CERCLE lUAGINATRE

171. Nous nous proposons dans ce chapitre de construire les conjuguées du lieu représenté par l'équation

en coordonnées rectangulaires, lieu dont la connaissance est indispensable à la théorie de la courbure des courbes imaginaires.

Nous ferons d'abord tourner les axes autour de l'origine d'un angle tel, que la partie imaginaire de l'ordonnée du centre disparaisse.

La transformation n'affectera pas le rayon, qui restera toujours représenté par r-\-r' \J — 1 ; quant aux coordonnées du centre, la transformation les changera de la même manière que si elle ne se faisait que pour ce point. De sorte que si m désigne l'angle dont on aura fait tourner les axes, l'équation nouvelle du lieu sera

\x — \a -\- a' V — l) cos o> — \b -\- b' sj — l) sin wj' -\-[y •{. (a + a' V^) sin to — (é -|- // V— 1 ) cos w]' '— (r + / V^)'-

On fera donc disparaître la partie imaginaire de l'ordonnée du centre en faisant

tang co =: — .

L'équation du lieu ainsi simplifiée sera

{x-a-a' v/^)' -h (y - bf = (r -{- r' ^J^if ;

en transportant ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes au point réel [a, b], on ramènera cette équation à la forme

(x - a v/^)' -}-y'- = {r + r' sj'^if. C'est cette équation que nous allons discuter.

172. Nous déterminerons d'abord l'enveloppe imaginaire des courbes qu'elle représente.

Les coordonnées d'un point de l'enveloppe étant

DU CERCLE IMAGINAIRE. iSi

la condition que devront remplir les variables a, ^, a', [à' sera

c'est-à-dire

équation qu'il faudra adjoindre à celles qui exprimeraient que le point [x, y] appartient au lieu proposé, et qui sont

«2 — Ci — ay + a'- — ^'^ = r* — r'S a (,^ — a) + a>' = rr'.

• En éliminant successivement ^ et ^' d'abord, ensuite a et a' entre ces équations, on trouve

a^ + a'^ = rS

Il résulte de ces équations que l'enveloppe cherchée est la circonférence décrite du point [x = «, y = 0] comme centre, avec un rayon égal à r -j- 7'',

En effet, d'après l'équation

les coordonnées d'un point N quelconque {fiy. 5) de la circonférence décrite autour de l'origine, avec un rayon r, sont des valeurs conjointes de a et de a'; et de même, d'après l'équation

les coordonnées d'un point N' quelconque de la circonférence décrite autour du point 0' {x = a, y=0), avec un rayon r', sont aussi des valeurs conjointes de ^ et de ,^'; mais d'un autre côté, en raison de l'équation

les quatre valeurs conjointes de a, a, ,^, f>' doivent être les coordonnées de points N et N' situés aux extrémités de rayons parallèles ON, O'N' des deux circonférences.

a-fl^ et a'-f-|^'sont donc les coordonnées du point M situé sur la circonférence décrite du point 0' comme centre, avec un rayon égal à r-{-7'', à l'extrémité du rayon de cette circonférence qui se trouve couché sur O'N'.

Fig. 5.

Ainsi l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

est le cercle

{x-af^y^^^{r-^r')\

Si l'on avait conservé à l'équation du cercle imaginaire sa forme primitive

[a: -a- a' y^)* J^ [y - h - h' ^flZif = (,. + / s/^lY,

on aurait trouvé pour équation en coordonnées réelles de l'enveloppe imaginaire

(x-a- af J^{y-b- br = {r + rj.

Ce résultat est remarquable.

175. Pour obtenir le point de contact M d'une conjuguée désignée C avec l'enveloppe, il suffira de constiniire le point N' qui lui correspond, car en prolongeant ensuite O'N' on aura le point M; or les coordonnées [i' et ^ du point N' devant fournir un rapport égal à C, on obtiendra ce point en menant la droite ON' dont l'angle avec l'axe des x ait pour tangente C.

Lorsque l'origine sera dans l'intérieur du cercle O'N', le rapport des