DU CERCLE IMAGINAIRE
coordonnées du point N' pourra passer par tous les états de grandeur et, dans ce cas, toutes les conjuguées toucheront l'enveloppe chacune en deux points. Dans le cas contraire, les valeurs extrêmes du rapport des coordonnées du point N' seront les coefficients angulaires des tangentes menées de l'origine au cercle O'N'; les conjuguées dont la caractéristique resterait comprise entre ces limites toucheront donc seules l'enveloppe imaginaire.
L'équation
{x - a V-TT)' -\-y' = (r + r s' -7)*
fournira dans ce dernier cas deux points réels par où passeront toutes les conjuguées. En effet les valeurs réelles de x et de y que pourrait comporter cette équation seraient
rr' ^ \l{a*-\-r^)(a* — r''
— — et y=±
mais la réalité des ordonnées dépend de la condition ar'^r'^.
Si a^ était égal à r'^, c'est-à-dire si le cercle O'N' passait par l'origine, les deux points réels se confondraient en un seul et avec l'une des extrémités du diamètre horizontal du cercle ON.
Nous avons supposé, en faisant la figure, que r et r' fussent de même signe ; autrement les rayons ON et O'N' devraient être de sens contraires, et, par suite, le rayon O'M de l'enveloppe, toujours représenté par r-\-r\ serait la différence des rayons ON et O'N'. En effet, les équations
ei
a (â — o) -j- a',3' = rr,
qui se rapportent à un point quelconque de l'enveloppe, montrent, la a a'
première, que et -, ou, par suite, a(,S — a) et o'^', sont tou-
jours de même signe, tandis que la seconde exige ensuite que ces produits ou rapports aient le signe de rr. De sorte que si rr' est né-
g^^^fj ô et - étant négatifs, les rayons ON, O'N' sont de sens con-
traires.
On peut construire par points, avec la règle et le compas, les conjuguées du cercle imaginaire
{x — as—\ / -;- y'- = (r -f r' \/^)'.
En effet,
x = oi-{-py/^l et y= y.' -f ^' v/Hl
désignant maintenant les coordonnées d'un point de la conjuguée C, on doit avoir
«2 4- «'^ r' = (^ ~ af + fo'^ — r'-,
a ([i — a) -|- a'^' = rr' et
La première de ces équations exprime»que les tangentes menées du point [a, a'] au cercle
y^ -\- X- = rsont égales aux tangentes menées du point [p, P'] au cercle
f+{x-ay = 7^'\
LL' étant donc l'axe radical de ces deux cercles 0 et 0', si l'on marque un point S quelconque de cet axe et qu'on décrive les deux circonférences OS et O'S, [«, a] seront les coordonnées d'un point de la pre-
mière et [^, [i] celles d'un point de la seconde. Comme -^^ C, le
point [^, ^'] se trouvera au point de rencontre de la circonférence O'S et de la droite fixe ON' que l'on aura menée pour obtenir le point de contact M de la conjuguée G avec l'enveloppe. Ce point [f>, [â'J sera en P par exemple. D'un autre côté, a et a' doivent satisfaire à la condition
a (fi — ft) + Ca'fi = n- OU
^ (a + Ga') — aa — rr' = 0.
Or cette équation, en y considérant a et a' comme les coordonnées courantes, représente une droite qui, quel que soit [â, passe toujours au point fixe
rr' , 7'?"'
et dont le coefficient angulaire *
--cT °" ~
est l'inverse changée de signe du coefficient angulaire de O'P. Ges deux conditions la déterminent, et il en résulte que le point [a, a'] de la circonférence OS, qui correspond au point [[â, f>'] de la circonférence O'S. doit être sur la perpendiculaire menée à O'P du point fixe
r rr' rr' "j
