DU CERCLE IMAGINAIRE

Ce dernier point est en I, à la rencontre de la ligne HI,

qui passe par les deux points réels, et de la perpendiculaire 01 à ON'. Par conséquent si IQ est perpendiculaire h O'P, Q est l'un des points cherchés.

Les points P et Q étant ainsi déterminés, le point correspondant V du lieu s'obtiendra en menant de Q une droite QV égale et parallèle à OP.

Les asymptotes de toutes les conjuguées sont représentées par les équations

y==± V— 1 {x — a V— l) ; celles de la conjuguée C sont donc, en coordonnées réelles,

Les deux asymptotes d'une même conjuguée sont en conséquence toujours perpendiculaires l'une sur l'autre ; elles partent respectivement des points (0, -{- a), (0, — a) et enfin sont inclinées de 45° sur la droite y = Cx. Quant à leur point de rencontre, il décrit la circonférence du cercle y- -\- x^ = a^ et de plus appartient à la perpendiculaire O'X menée à la droite ON', y = Cx, car les équations de ces asymptotes donnent

(C + l)y = (C-l)x'-|-«(C + l) et

(l-C)?/ = {l + C)a--a(i-C), d'où l'on tire par soustraction

Au reste la ligne O'X,

est un axe de symétrie de la conjuguée C. La règle qui a été dopnée pour la construction des points de cette conjuguée, le montre suffisamment.

1 74. Les formules qui donnent les coordonnées du centre et le rayon de courbure d'une courbe réelle en un de ses points [x, y] sont

Hm\

dx^ . dx* dx^

nous nous bornons ici à les rappeler.

Si on les applique à un point quelconque d'une conjuguée, d'un lieu plan quelconque, elles donneront en général, pour les coordonnées du

centre, des valeurs imaginaires X := a -f~ * V^ — 1» Y= a' -\-b' \J — 1 et, pour le rayon, une valeur aussi imaginaire R = r -[- ^'y — l* Nous nous proposons dans ce chapitre de tirer de ces données les coordonnées réelles da centre de courbure et le véritable rayon de courbure de la conjuguée au point considéré. Mais auparavant nous déterminerons la courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan en un quelconque de ses points.

De la courbure de renveloppe imaginable des conjuguées crun lieu plan.

173. Lorsque deux équations admettent une solution commune et

dy qu'au point correspondant les valeurs de -j- sont, de part et d'autre,

réelles et égales, les enveloppes des deux lieux passent en ce point et s'y

d'^y touchent : il était donc presumable que si les valeurs de -j^ se trouvaient encore les mêmes, de part et d'autre, au point considéré, les deux enveloppes y auraient un contact du second ordre et par conséquent mCme centre et même rayon de courbure.

La démonstration positive du fait présentait toutefois des difficultés inattendues. Les deux enveloppes, une fois tracées, remplissent bien

DE LV COURBURE DES COURBES IMAGINAIRES. i 37

en effet la condition graphique énoncée, mais sans cependant que les conditions supposées entraînent l'existence simultanée, sur les deux enveloppes, de trois points ayant identiquement les mêmes coordonnées. Les grandeurs des coordonnées du troisième point, réalisées, sont bien les mêmes de part et d'autre, mais les valeurs algébriques imaginaires de ces coordonnées ne sont point pareilles. La répartition en parties réelles et imaginaires des coordonnées réalisées du troisième point peut différer d'une enveloppe à l'autre, les sommes seules des parties réelles et imaginaires des deux coordonnées restent identiques.

Lorsque ce théorème sera établi, on pourra prendre pour centre et pour rayon de courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque, en un point de cette enveloppe, le centre et le rayon de courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du cercle osculateur, en ce point, au lieu considéré.

Soit donc [x, y] le point commun aux enveloppes imaginaires des

conjuguées de deux lieux, et supposons que-r^et-r^ aient de part et

ax dx^ ^

d'autre les mêmes valeurs en ce point, -^ y étant d'ailleurs réel.

Si p désigne la valeur réelle de -^,

du:

dy = (/a' -|- dy \ — I

dx = d% -\- dj> \ '— 1 devront satisfaire à la condition

c?a' -\- dy \/— T

qui donne

dx + d'^ \/— 1

dx dV dx

rfa ' d} dp '

d'un autre côté, si f -f- m y — i est la valeur de -j^ au point [x, y], la

, , du valeur de -j- en un point du lieu, voisin de [x, y], sera représentée par

dX et pour que le point

[x-\-da-\-d}\'^, y + tia'-f rf^'yCIT]

i rj8 CHAPITRE XII

appartienne aussi à l'enveloppe, il faudra que l'accroissement

qu'aura subi la dérivée de Y par rapport à X, en passant du prenaier point au second, soit réel. Cette condition donne

wrfa 4- td{i = 0 ou

da t '

Ainsi au point commun aux deux enveloppes considérées, puisque p,

. . ., . d& da 4i' ^ et M sont supposés les mêmes de part et d autre, -7- , -7- et -7- auront

«a «a aa.

les mêmes valeurs d^ part et d'autre.

Passons aux dérivées secondes -7-7» tt- et -7V : de quelque pomt

[x, p] qu'il s'agisse, on a toujours identiquement

f/Y dY doL (d^ d^ r—\ 1

et, par suite,

rfX2 ^/a U-iJ-'^

\d<x^^da^^ jy^da^ V \da.^ da.^ ) da.'-^

Les dérivées secondes de Y par rapport à X au point [x, y] étant donc supposées égales de part et d'autre et leur valeur commune

étant t -^-usj — i, on aura pour l'un et l'autre lieu . ,

, \doL^^da^^ /\^dx^ 7 {doi^da:^ Jda"-^

t + uM-^

. d^ u du d&'

En remplaçant dans cette équation -7- par ,— par p, et -j- par

— — , valeurs trouvées plus haut, et décomposant, on trouve

d'où l'on conclut

rf-a' t- 4- u^

ly} ~ ~t

Ces deux dernières équations ne se rapportent pas plus à l'enveloppe imaginaire des conjuguées qu'à tout autre lieu partant du point

[^4^a + rf^V-l, y -\- d^' -\- d^' sf-i\

,. , * .• . „ . . d'%' d'^ dy

de 1 enveloppe. Aussi contiennent-elles trois inconnues -— r>-ï-ret -7-r

rfa- dotr dcr

et, par suite, laissent-elles l'une d'elles indéterminée.

Mais ce que la question offre de particulier, c'est que les données ne

suffisent pas pour achever la détermination de -7-- et de -p^ qui restent

fla* dcr

liées entre elles par la seule condition

-rr — P-r-, = ; (^ + " )•

dy} ' d%' t-^ ~ '

Il est évident en effet que, pour exprimer que le troisième point est aussi resté sur l'enveloppe, il faudrait exprimer que le nouvel accroissement subi par — est encore resté réel ; or l'expression de cette con-

[*] L'équation

se retrouverait en dérivant par rapport à a l'équation

dl da' da

da.

qui exprime que ~ est resté réel en passant du point [x, y] au point

[x + da + rf? V^., î/ -i- rfa' + d^' V^] •

dition renfermerait les parties réelle et imaginaire de —- au point

CDSl'.

[x, y], parties que Ton ne connaît pas. Les' valeurs de — ^ n'étant donc pas supposées les mêmes pour les

deux lieux, au point [x, y], —j aura bien de part et d'autre la même

Mot

valeur, puisque les conditions précédentes l'ont séparé ; mais -p- et

aor

~- pourront être différents et seront seulement liés l'un à l'autre par

,1a même condition

Les deux enveloppes auront cependant au point [x, y] la même courbure et le même centre de courbure, puisqu'elles passent toutes deux au point [x, y], qu'elles y ont la même tangente sous le coefficient angulaire jo; qu'elles contiennent par conséquent toutes deux le point

[x -\-doL-{- d^ V— 1 , y + c^«' + <^' V— ÏJ, défini par les conditions

da! dp u dp' u

et qu'enfin elles ont encore en ce point

[a; -f rfa + dp v/^, y + da -f- dp' sj'^]

même tangente, sous le coefficient angulaire

p -\- tdct — udp.

Pour concilier ces résultats, en apparence contradictoires, il faut

donc que la courbure de l'une et de l'autre enveloppe ne dépende pas

séparément de-jY ^^ de , ^^ ^^ pomt commun, mais seulement ce la

somme

La vérification de ce point est en effet aisée à produire.

Car si Xj et y» désignent les coordonnées réalisées d'un point quel-

conque d'un lieu imaginaire, la courbure de ce lieu au point [x^, yj

dépend de -5^^ et de -7^ ; or dx\ dxi

dx d^ dy^ dx -j- d'p' 1^ ■" ~d^

dx, dx 4- <i <i

dx! dy dx dy , dx dx , dx dx

dx dx dx \

dx\

dx dx, dx ' d'i

fd^-x! rf^^'N / d'r,\ /dx f/3'\ d"} [dx' ' f/aV V fW U^^ f^^/ d'Ji'

Mais au point commun aux deux enveloppes qui nous occupent,—,

dnî d%' . , . , du. . ,

-y-et -;- ont identiquement les mêmes valeurs: — a [donc de part et

dcc dx ^ ' dx,

d'y, d'autre la même valeur; d'un autre côté, si , dans l'expression de -j—^,

, d-i dx d}' ' , , ^ , U .

on remplace x"? t" 6t ^ par leurs valeurs trouvées plus haut, dx dx dct

il vient

d'p II dx dy pu

dx^~l' d^^^' ~d^~~T'

J^.fA (. '!!\f P!!\ 2 d'y, {dx''^da')\ t) [^ tjd:' dx' [ u

cette expression ne dépend en effet que de la somme

'dry__ (P^ dx' P rf? •

Ainsi quand on applique à un. point [x, y] de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu f (x, y) = 0, les formules qui fourniraient le centre et le rayon de courbure de la courbe en un de ses

points réels, l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu représenté par l'équation du cercle osculateur, alors imaginaire, que donnent les formules, passe au point [x, y], et les deux enveloppes y ont même centre et môme rayon de courbure.

Mais si l'équation du cercle osculateur est

(x-a-a' V'=^)' + {y-b-b' sj~iy = (r + r' s/'^)\

l'enveloppe imaginaire des conjuguées coïncide avec le cercle réel

c'est-à-dire que le centre de courbure de cette enveloppe est le point

(a -h a', é + 6] et sa courbure — ; — ,.

Par conséquent donc, si en un point quelconque [x, y] de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu f{x, y) = 0, on a calculé les

valeurs a-\-(i\J — 1, b-\-b'\J — 1 et {r-\-r'\/ — iY de

}HÏ)'

dy dx

dx^

(ày

'^\dx)A

fyV dxi

le cercle osculateur de cette enveloppe au point considéré sera {^jc — a — ay + {y — b — bj = {r-\-ry.

Ce théorème aidera beaucoup à la construction toujours si importante de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu dont on s'occupera.

Des contacts des divers oi^dres des lieux plans en général.

176. Avant d'aller plus loin, nous établirons un théorème général sur les contacts des divers ordres des lieux imaginaires. — Deux courbes réelles,

.f{x,y) = 0 et f\{x,y)=zO,

qui passent en un même point réel [x, y], ont en ce point un contact

du d'u d"u de l'ordre w, lorsque --, -7^,..., t^, tirées des deux équations séparéax dx- dx'^

ment, y ont les mêmes valeurs.

On serait disposé à appliquer, sans nouvelle démonstration, le même

principe aux courbes imaginaires : cependant, outre que l'énoncé doit

en être complété alors par une restriction spéciale destinée à faire

connaître expressément les lieux conjoints auxquels le théorème est

applicable, la vérification en est en quelque sorte rendue nécessaire par

la composition des coordonnées en parties réelles et imaginaires, et par

l'obscurité qui s'attache en conséquence à la notion môme des coef-

ficients différentiels -y-, -j4, etc.

dx dx-

Nous croyons donc devoir établir directement le théorème suivant .

Si deux équations

ont une solution commune, réelle ou imaginaire, [x, y], et qu'au point

du d-tj d"u . , , , , ,

correspondant, —, Tl"-*' "TZ' tirées séparément des deux équations,

présentent les mêmes valeurs, -les lieux partant du point [or, y], qui seraient définis par les équations

et par une relation complémentaire commune, o(a, |i) = 0, établie entre les parties réelle et imaginaire de x, auront au point [x, y] un contact de l'ordre n, c'est-à-dire que x^ et y^ désignant les coordonnées

réelles de l'un ou de l'autre des deux lieux, -p-, -—r,..., -—-, auron

dx^ dx\ ' dxi"

les mêmes valeurs de part et d'autre, au point commun à ces deux

lieux.

• Il suffira pour cela d'établir que

auront les mômes valeurs de part et d'autre ; car -— , —',.., ~r^, dé-

j,dx,'dx\' ' dxf

pendant de

dx\

d"-Xi

d"Xj

dx^'"

dy.

dT. '

■•' dx'

idi

et do

xi:.

dx.

auront par suite aussi les mêmes valeurs, de part et d'autre.

Or la loi de progression de x^ étant, de part et d'autre, réglée par les mêmes équations

les dérivées de tous les ordres ùe, x,, par rapport à a, seront d'ellesmêmes égales de part et d'autre ; de sorte que la démonstration doit porter seulement sur les dérivées de y^ par rapport à a. Mais les dérivées de y^ par rapport à a se déduisant de celles de ?/,

par rapport à la même variable, en y remplaçant y — 1 par 1, tout se réduira, en définitive, à établir l'identité des valeurs de

* dy d-y d"y

tirées séparément des deux équations proposées. Or

i + '^sF^Y+^J^'Il

dct. J dx dy.-

' dx

dhj

dr,'

dx"

Ces équations montrent suffisamment que les dérivées de y par rapport à a ne dépendant que de celles de y par rapport à x, qui sont supposées égales de part et d'autre, et de celles de ^ par rapport à a, qui sont identiques, seront aussi égales.

On pourrait évidemment substituer à la relation cp(a, ,^) = 0 une équation quelconque entre a, fi, a' et fi' : mais la démonstration du théorème montre même qu'à une relation commune cp (a, 1^) = 0, on pourrait substituer deux relations différentes i]/(a, ^) = 0, /(a, li)=0 qui donnassent au point [x, y] les mêmes valeurs pour

rfi^ d-^ d"^

Des contacts des clivei^s ordres des conjuguées, de m^me rnrnrfôristique^ de deux courbes quelconques.

177. Le théorème précédent s'applique de lui-même aux conjuguées de deux courbes

f{x,y) = Q et f,[x,y) = Q

qui passent en un point réel ou imaginaire commun aux deux lieux. C'est-à-dire que si deux équations

f{x,i/) = 0 et f,(x,y) = 0

ont une solution commune [x, y\ et qu'au point correspondant les n premières dérivées de y par rapport à x aient mômes valeurs de part et d'autre, les conjuguées des deux- courbes, dont la caractéristique serait celle du point [x, y'], auront en ce point un contact de l'ordre n. Car la condition que la caractéristique reste constante, fournira une équation '^' =z ^C parfaitementléquivalente à une condition !p(a, ^) = 0.

178. Il résulte de ce qui précède que si l'on détermine, au moyen des formules usuelles, les coefficients A, B, R de l'équation

de manière que cette équation admette une solution réelle ou imaginaire [x, y], d'une équation f{x,y) = 0, et fournisse de plus, au point

correspondant, pour -/■ et -~, les mêmes valeurs que donnerait l'éax dx

quation /"(x, î/) = 0 elle-même, les conjuguées des deux lieux auront au

point [x, y] même centre et même rayon de courbure.

La recherche du centre et du rayon de courbure d'une conjuguée

d'une courbe quelconque en un point de cette conjuguée reviendrait

donc à la recherche du centre et du rayon de courbure de la conjuguée

du cercle imaginaire osculateur en ce point à la courbe proposée; et la

question des courbures des courbes imaginaires serait ramenée à celle

des courbures des conjuguées du lieu

(x-A)^ + Cy-B)^ = R^

C'est en effet la méthode que nous avions en vue d'abord et qui nous a servi effectivement à déterminer les courbures des conjuguées aux points où elles touchent l'enveloppe réelle ou l'enveloppe imaginaire, mais elle ne présente plus d'avantages lorsqu'il s'agit de la recherche de la courbure d'une conjuguée quelconque en un quelconque de ses points, ou du moins le calcul du rayon de courbure dans ce cas général n'est

ni plus simple ni plus compliqué, soit qu'on attaque directement la question ou qu'on la transforme en substituant au lieu proposé son cercle osculateur, parce que ce calcul prend pour données les dérivées première et seconde de l'ordonnée par rapport à l'abscisse, au point considéré et que ces dérivées, étant supposées données numériquement, peu importe de quelle équation elles ont été déduites, pourvu qu'elles aient les mêmes valeurs.

La formule qui donne le rayon de courbure d'une conjuguée quelconque, en un quelconque de ses points, s'applique naturellement en particulier aux points oh la conjuguée touche l'une ou l'autre enveloppe. Nous pourrions donc passer immédiatement à la recherche de cette formule.

Mais nous croyons devoir laisser subsister les solutions des deux questions particulières, à côté de celle de la question générale, à cause d'abord de la différence des méthodes et en second lieu de la simplicité des premiers résultats.

Le la courbure d'une conjuguée en un point où elle touche l'enveloppe réelle.

179. Les courbures de la courbe réelle et d'une de ses conjuguées, aux points où elles se touchent, sont toujours égales et opposées. En effet, quelle qu'en soit la cause, le fait est vrai, comme on le vérifiera aisément, pour le cercle et ses conjuguées. Or il en résulte qu'il est général : car si l'on a déterminé le cercle osculateur à une courbe réelle en un de ses points, la conjuguée de ce cercle qui passera au même point y aura avec la conjuguée de la courbe en question un contact du second ordre, et la conjuguée du cercle ayant en ce point une courbure égale et opposée à celle du cercle, la conjuguée de la courbe aura aussi au même point une courbure égale et opposée à celle de cette courbe.

De la courbure d'une conjuguée en un point oii elle touche l'enveloppe imaginaire.

180. Si l'on a déterminé le cercle imaginaire osculateur à une courbe f (a?, y) = 0 en un point \x, y\ pris sur l'enveloppe imaginaire des conjuguées de cette courbe, les deux enveloppes seront bsculatrices l'une à l'autre, en ce point, et les conjuguées qui y passeront le seront aussi.

La recherche de la courbure d'une conjuguée en an point où elle touche l'enveloppe imaginaire revient donc à celle de la courbure en ce point de la conjuguée du cercle osculateur qui y passe.

Ainsi tout se réduit à obtenir le rayon et le centre de courbure d'une des conjuguées du lieu

DE LÀ COURBLRE DES COLRBES IMAGINAIRES. 167

{x-a-a' yj'^if +{y-b-b' s^^î = ('' + r y -T)'

au point où elle touche l'enveloppe imaginaire de ce lieu.

Soient en conséquence x Qi y les coordonnées d'un point de l'enveloppe des conjuguées du cercle imaginaire

[x — a — a' ^^y -\-{y — b~b' y ^)' = (r -f / \—T)\ si l'on pose

X = oi-\-'i\'—i et ?/ = a' + '5'v— 1, iUèn résultera

[1] (a a)^ {}-a'r 4- {<x'-bf - Cf-f^f = '•'- - r"-

et m (a - a) (? - d) + (a' - b) 0' - b') = rr,

et, pour exprimer que le point [ar, y] appartient à l'enveloppe, c*est-à-

dy dire que -f- est réel en ce pomt, dx

% — fl "i — a' [3]

Mais ces trois équations n'entreront pas dans le calcul aux mêmes titres : les deux premières expriment simplement que le point

x — 'x-^-'ps — l,

appartient au lieu considéré; on pourra donc les différentier une et deux fois pour passer du point Yx. y] aux points voisins de la conjuguée qui passe en ce point; tandis que l'équation (3) exprimant en outre que le point [j?, y\ appartient à l'enveloppe, ne convient qu'au point de départ.

Ainsi en désignant par x^, ^j, les coordonnées réalisées d'un point quelconque de la conjuguée qui touche l'enveloppe imaginaire au point [jc, y\ on pourra poser

et les dérivées de y^ par rapport à x^ résulteront indirectement des équations dérivées des équations (1) et (2) et d'une condition particulière qui exprimera que le point [j:„ yj se déplace sur la même conjuguée.

On aura en effet pour déterminer -~ et — ^ les formules

dx^ dx\

dy^ d%' -\- d'*! dt*. ~d^

dx, ~ doL-\-d^ ~ ~~~df~ ^ + d-a

dv.' d{6' da! d^'

j dct dct da. doi

d^y^ d(x da. ' rfa 1

dx\ da. dxi da. rfS

id-a! d^\ /. 1 6Ç\ (da! d}'\ ^

Ainsi il ne reste qu'à tirer, en fonction de a, [i, a! et ^', les valeurs

^ da! d^ df>' d'à' d'P ^ d'^' ^. V, ^ j . ..

de -T- , ~-, -7-, TT, -7^^ et -rr» au moj^en d abord des équations da da da da- da- da-

différentielles des équations (1) et (2) et de la condition complémentaire - égale constante.

Mais on peut simplifier le calcul en se servant d'une remarque bonne à consigner, du reste, parce qu'elle pourra être souvent utile.

181. Lorsqu'on s'éloigne, sur une conjuguée quelconque, du point

oti elle touche l'une des deux enveloppes, les parties imaginaires des

coordonnées varient seules, lorsque ce .point appartient à l'enveloppe

réelle, tandis que, dans le cas contraire, ce sont les parties réelles qui

, , ,. da da

varient; cest-a-dire que, dans le premier cas, — et ont pour li-

d'i' mites 0, tandis que -^ a pour valeur la caractéristique de la conjuguée,

ou le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppé réelle au point

considéré ; et que, dans le second cas, , et j- ont pour limites 0,

da tandis que — a pour valeur le coefficient angulaire de la tangente à da

l'enveloppe imaginaire au point considéré.

En effet, dans le preniier cas, où le point considéré appartient à l'enveloppe réelle, si l'on regarde la caractéristique G comme une fonction de a et de ^, on pourra poser

de , , dC ,„

Or la dérivée partielle —, prise en un point de l'enveloppe réelle, est toujours identiquement nulle ; car si ^ varie seul, pour que —, qui

petit alors se mettre sous la forme — ' — , ait la valeur G, il

rf.3 \' — 1 faut que f/a' = 0, et que dV = Cd"i; de sorte que

et que par suite la dérivée partielle -r est identiquement nulle ; d'un

autre côté, la dérivée partielle y- ne se trouve nulle qu'en des points

singuliers du lieu, sa valeur est habituellement donnée par celle de -j^.

ax-

prise au point considéré de la courbe réelle.

Dans le cas donc où nous raisonnons,

dC=p-,da:

dx^

pour que dQ. soit nul, c'est-à-dire pour que le point [x, y] soit resté sur la même conjuguée, il faut donc que dx soit nul, et alors d%, comme on l'a déjà dit, est nul aussi.

Dans le second cas, où le point considéré appartient à l'enveloppe imaginaire, il suffit d'observer que si

dx = dx-\- <i V — 1

ésigne la valei de dy sera

et que p désigne la valeur réelle de -j- au point considéré, la valeur

dy = pdx -\- pd'^ti \ — 1 ,

de sorte que — ayant d'une part la valeur /;, et devant de l'autre être

égal à C, la conciliation n'est possible qu'en faisant d^ et d^' nuls, c'est-à-dire

df>'

dp ~

d[i dv.

à moins que p ne soit égal à G, ce qui n'arrive qu'en des points particuliers de l'enveloppe imaginaire.

182. Dans le cas qui nous occupe, du cercle imaginaire, p est toujours dillerent de G ; car la valeur de p, au point M de l'enveloppe, est le coefficient angulaire réel de la tangente à cette enveloppe, en ce point, tandis que la caractéristique du point M est le coefficient angulaire de ON'. Ainsi dans le calcul que nous nous proposons de faire,

rfô d[i' ,

-j- et -r- devront être faits nuls.

aa dcf.

Gela posé, nous pourrons, pour simplifier les calculs, réduire notre

recherche à ce qui concerne la conjuguée C = 0; cette hypothèse ne

constitue pas un cas'particulier, puisque les axes sont quelconques.

Dans ce cas, S' restant constamment nul, -— sera nul aussi et les valeurs de -~ et de -— se réduiront à

dy.

dXi

dx\

da-

da! d^[i da da-

Les équations (1) et (2) différentiées une fois, par rapport à a, en tenant compte des conditions

(la (la

donnent

, ' , , ,, da

mais ces deux relations se réduisent à une seule

doL

en vertu de la condition (3)

qui se réduit ici à

Les mêmes équations (1) et (2) différentiées deux fois, par rapport à a, en tenant compte des conditions

donnent

on en tire

d^-rt' — (g — d) [(g — g)^, -f (g' — é)^]

'dôtF~ {pi~ b)- [(g — i) (a — a) — b' (> — a')]

f/g- ~" (g' — bf [(g — 6) (g — fl) — b' (3 — a')] "'

ou, en remplaçant ^ — a! par sa valeur tirée de l'équation (3), réduite à a — a ^ — a!

ou bien

tP(t — [(g — fl)- + (g— 6)'j rfa^ ~ (g' — b) [(g — bf + 6'^]

rf-,^ — 1^' [(a — a)' + (a' — ^)']

rfa^ (a' 6) (g — a) [{g' — bf -\- b'^] '

Il en résulte d'abord

^ ^ — ^'[(« — ^)- + (a— ^)'] rfa* </a ~ (g' — b; [(g' — 6)* + b'^)] '

et, par suite,

dj/i g — a

dx\ . OL — b et

d% ia-ofJr(^'-bf

■^ - - («'ôf[(a'-^)^ + Pj t(« - *) +.*J-

Cela posé, il ne reste plus qu'à obtenir g — a et a — b; on les tirerait des équations (1), (2) et (3), après y avoir fait [i' = 0 et avoir éliminé entre elles f> — a'.

Mais on a vu plus haut que ces équations donnent

(g — a)- + (g — b)- = >■' et

{^-a'f+.{^'-br-=7^'K

11 suffira donc de Taire dans celles-ci ^' = 0 et d'y remplacer [â — a

j, ce — a par — b —

u' — b' On en tire alors

du d^ti

En substituant dans les expressions de -~ et de -~, il vient

dx^ dx\

dxj^ , v '" ' — ^'^ dx^ U

rfVi '' /r/y\ __;■'»(;•' ±?-)

Par conséquent le rayon de courbure cherché serait

"(Si).

cette formule, qui se réduit à

quand r' = 0, redonne bien le résultat obtenu précédemment lorsqu'au lieu d'un point de l'enveloppe imaginaire, il s'agit d'un point de l'enveloppe réelle.

183. Mais il est impossible d'admettre concurremment pour R* les deux valeurs qu'on vient de trouver. En effet, chaque conjuguée qui touche l'enveloppe la louche bien en deux points, mais ce ne pourrait être, en tous cas, à cette circonstance que fût due l'ambiguïté qui affecte R-, puisque la conjuguée ayant pour axe de symétrie un diamètre de l'enveloppe elle-même, les deux points de contact doivent être symétriques l'un de l'autre et la conjuguée doit y avoir même courbure.

L'ambiguïté du double signe qui se trouve dans la valeur de R- tient à une autre cause. Si l'on reprend les équations (1), (2), (3) :

f 1] (a a)^ - (^ a'f + (a - i/ - (^' - hj = r- - r\

L2J (a - a) (? - a') + (a - b) (.V - b') = rr

on voit que les deux dernières seules établissent de certaines dépendances entre les signes des quantités a — a, a — b, ,^ — a' et ^' — b'. Or l'équation (3) montre que les produits

(a — û) (^i — d) et (a — b) (.^' — b')

sont toujours de même signe, et l'équation (2) ensuite exige qu'ils aient le signe de rr.

Dans le cas donc où r et r auront le même signe, a' — ô eif>' — b' devront aussi être de môme signe, et par conséquent si l'on a supposé que p' fût nul, ce qui aura réduit ^' — b' k — b', bien qu'on ait trouvé pour a' — è la valeur

on ne devra prendre que la valeur

et si r et / sont de signes contraires, a' — 6 et ^' — h' devant être aussi de signes contraires, on devra prendre encore

Ainsi a' — 6 ne doit jamais recevoir que la seule valeur

d'oîi il résulte que R^ en réalité se réduit à

184. Quant au centre de courbure, il se trouve naturellement sur la normale à l'enveloppe, mais rien, dans ce qui précède, ne prouve qu'il doive être plutôt d'un côté que de l'autre du point de contact.

Pour trancher' la question, il faut calculer l'une au moins des coordonnées de ce centre. Nous allons en déterminer l'y.

L'ordonnée réalisée du centre de courbure est

Or les formules précédentes donnent

^ \dxj __ b'{r'-\-r' ' d^i/i r {r — r

dx\

quant à y^, qui se réduit à a, puisque p' est nul, sa valeur est fournie par l'équation

, rô'

qui donne

br — rb'

Cela posé, il s'agit de savoir si le centre de courbure de la conjuguée du cercle imaginaire, au point où elle touche son enveloppe, est, par rapport à ce point, du même côté que le centre de courbure de l'enveloppe ou du côté opposé : cela se réduit à savoir si les différences des ordonnées du point de l'enveloppe et des deux centres, sont de même signe ou de signes contraires, c'est-à-dire si

sont de même signe ou de signes contraires. Or ces différences se réduisent à

dont le quotient est

de sorte que selon que r* — r^ sera positif ou négatif, le centre de courbure de la conjuguée sera, par rapport au point où elle touche l'enveloppe, du même côté que le centre de courbure de cette enveloppe ou du côté opposé.

183. Tous les calculs qui précèdent se rapportaient à la conjuguée C = 0 du cercle imaginaire

{x — a — a' yf^lY -^ {y — b — b' V^' = (r + r' ^f^)\

mais les résultats auxquels on est parvenu ne contenant aucune des constantes a, a', b, b', qui seules pourraient changer lorsqu'on changerait les axes, ces résultats conviennent à une conjuguée quelconque.

La forme circulaire de l'enveloppe pouvait permettre de présumer cette permanence dans les résultats, et c'est du reste ce qui a engagé à les chercher.

De la courbure d'une conjuguée en U7i quelconque de ses points.

186. On pourrait bien déterminer le centre et le rayon de courbure d'une conjuguée G d'un lieu

en un de ses points, au moyen des éléments a, b, a', b', r, r du cercle osculateur au lieu, en ce point.

L'équation en coordonnées réelles de la conjuguée G du cercle osculateur

serait fournie par le système

(a a)' - {^ - df + (a' - br - (.^C - U'f = r'- - r\ (a — a) (^ — df + (a — b) (fiC — b') = rr,

. ^, , . du d-y , d[i dd d^9> d^d

oui permettrait d obtenir -f- et -~ au moyen de -—, -r-, -A et -7—, ^ *^ dx dx- dot. d<x dar dd^

qu'on pourrait exprimer d'autre part en fonction de a, d et ^.

Mais une pareille solution, capable seulement de fournir les valeurs numériques des résultats dans chaque cas, ne saurait conduire à la constatation d'aucune loi.

Pour arriver à résoudre la question générale de la courbure d'une conjuguée en un quelconque de ses points, nous avons dû la généraliser et considérer toutes les courbes que l'on pourrait déterminer à partir d'un môme point du lieu

•»=«o+?oV— i, y = a'o + f^'o V— 1

au moyen des équations complémentaires renfermées dans

ft' ft'

■- = constante arbitraire.

P ro

La solution obtenue pour une valeur quelconque de la constante se

trouvait comprendre le cas où elle aurait la valeur -^^ c'est-à-dire le cas

OÙ le point mobile [x, y] aurait décrit la conjuguée issue du point de départ.

187. La théorie des courbures des courbes que Ton peut tracer d'un point [x, y] d'un lieu f{x, y) = 0 sur la portion du plan recouverte par les conjuguées de ce lieu serait analogue à celle des courbures des sections planes qu'on peut, obtenir dans une surface à partir d'un point de cette surface. Car la courbure d'une courbe définie par une condition complémentaire

jointe à l'équation

rfô' du lieu total, ne dépend en un de ses points [x, y] que de ■—, si la

et ne dépend, dans le cas contraire, que de -^ et de ■^.

Dans le premier cas, la courbure de la courbe ne dépend que de la direction de sa première tangente, comme la courbure d'une section normale ; dans le second elle dépendrait de la direction de sa première tangente et d'une quantité analogue à l'inclinaison du plan d'une section oblique sur le plan de la section normale qui a même trace sur le plan tangent, mais nous n'examinerons que le premier cas, qui seul se rapporte à Tobjet que nous nous proposons.

rfô' 188. Nous désignerons par G la valeur de ■—■ le long du chemin con-

sidéré. Ce rapport ne sera autre chose que la caractéristique constante de celle des droites du faisceau variable

qui sera parallèle à l'élément de la courbe, issu du point mobile [x, y].

Nous supposerons, pour simplifier les calculs, qu'on ait pris l'axe des X parallèle au grand axe du faisceau des éléments du lieu au point [x, y],, de façon que l'équation du faisceau des droites parallèles à ces éléments soit réduite à la forme

n étant moindre que 1.

La direction du premier élément de la courbe décrite est celle de- la droite représentée dans le système G par l'équation

c'est-à-dire de la droite

la difiérentielle de x étant

dx = «fa -j- c^fi V — 1 , celle de y est

dy = dit -\- d^' \J-~ i = n \j — 1 ((ia -f- d[^ \j— l) = — nd[^ -\- nda. y — 1 , de sorte que la condition que

revient à

nda.

c?p = - 6/a, et que, par suite, dx prend la forme

dx = c/a M + ^ V=T

La différentielle de -^ s'exprime donc par

= P±Zlld. + 'iS±I±d.sJ—i.

Le faisceau des droites parallèles aux éléments du lieu au- point [x -{-dx, y -\- dy] est donc

et par suite le second élément de la courbe décrite est parallèle à la droite

pG — ng-\-qC + np , , V "'" C 7

doi-\-n-\ — ^

pC-ng--qC-np^^^^

qui est la conjuguée C du faisceau. L'angle de contingence <i» est donc

pL-nr^^±n2 ^ ',. <i^

(/>C — nq) {C -f 2C« — n») + (^C -f- np) (C^ — ^G» — «*-) '^- C[(n4-C/ + nVn-C)-']

' C[{n + CY-\-n^n-Cy] '''

ou encore

(p-{-q) (C^ — 3Cn^) -\- jp — q) (SCn — n^)

D'un autre côté, l'élément de chemin réellement parcouru du point [x-, y] au point [x -\- dx, y -f- «?y] est

ds = V(rfa -f d'^f -\- {d%' + rfS7

de sorte que la courbure cherchée est

rfo ^ (/> 4- q) (C^ — 3Cn') + (/> — g) 1 3C^^ — n^) 1 ^*' [(n 4- C)- + «» (n — C)*] î ~ "h" *

189. On peut, dans cette formule, aux constantes /> et ^ substituer les parties r et r du rayon de courbure r -{-;•' y' — 1 au point [x, y].

180 CHAPITRE Xll.

La formule générale de r -f r' y/ — 1 est

ici elle devient

et comme n^ est moindre que 1, on en tire

Il en résulte pour le rayon de courbure R la nouvelle valeur

r(n + C)' + n^(n-Cn 2

3Cn^) + (y + r') (3G*n — n«) *

190. On peut aussi introduire dans la formule, au lieu de la variable C, la tangente a de l'angle que la tangente à la courbe tracée, au point [x, y], fait avec le grand axe du faisceau des éléments du lieu en ce point, grand axe qui est actuellement parallèle à l'axe des x. Cette substitution présente plusieurs avantages évidents.

La valeur de a est fournie par la formule

rfoe' + 4V ~"g"~*" " — n^ + Cn ^~ dai-\-d^~ n ~ G + w '

d'où l'on déduit

±r? „ n-l-G 2an

n + G = et n — C= — a- —

n — a rt n — a

La substitution donne

f}' -j- 'Snah' — 3n-ar — n^r' 191. On peut vérifier sur cette formule celle que nous avons donnée

plus haut, du rayon de courbure d'une conjuguée au point où elle touche l'une des enveloppes. Cette formule était

des X, -j- est nul, par conséquent

^ dy

Or en un point de l'une des deux enveloppes n est nul, puisque -^ est

réel ; d'un autre côté, si la tangente à l'enveloppe a été prise pour axe

nséquent

doL -\- <i V— i

ce qui exige que dct et d^' soient nuls, d'où il résulte que C est nul aussi et par suite a, qui du reste doit être préalablement remplacé par n, comme on le verrait aisément dans les formules posées plus haut.

La substitution donne immédiatement