Les valeurs remarquables du rayon de courbure
\v —r n-) fj?r -\- 3a*«r' — San*/* — nV
sont, pour a = 0,
et, pour a = X ,
La loi de variation des autres valeurs de R dépend essentiellement de- la marche de la fonction
aV + 3a-nr' — 3anV — nV
considérée comme dépendante de a, puisque w, r et r' sont constants en un même point [x, y] ; il sera donc intéressant d'étudier l'équation
aV + Sa^nr', — 3anV — vi^r = 0.
182 CHAPITRE XII i
On peut d'abord la réduire à
u» 4- dku^ — 'Su — A- = 0,
en posant - = A- et prenant pour variable -au lieu de a. r n
Si l'on fait ensuite disparaître le second terme en posant
u=. t — k, elle devient
La fonction -- +^des coefficients de cette équation est
k^ (k^ -{-ly — {k' -\-]Y== — {k^^ If.
Ainsi les trois racines sont toujours réelles.
Pour obtenir ces trois racines sous leur forme trigonométrique, il faut poser
t = 2 \Jk^-\-i. s;
l'équation devient alors
de sorte que l'angle à diviser en trois parties égales est celui dont la tangente est k.
L'élimination des intermédiaires donne pour a les trois valeurs
arc tang — , \ r 7]
a = n \ 2 ■ sm
( v/;^q:7^ 2^ + arc tang'- ^, a := n \ 2 ■ sin
et
( J'^^+V' 47: + arc tang a = w \ 2 — — sin —
